張英杰,李 亮,張英豪,羅春松

(1.湖南大學(xué)計(jì)算機(jī)與通信學(xué)院,湖南長(zhǎng)沙 410082;2.湖南機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院,湖南長(zhǎng)沙 410151)

一種基于雙子群的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法*

張英杰1?,李 亮1,張英豪2,羅春松1

(1.湖南大學(xué)計(jì)算機(jī)與通信學(xué)院,湖南長(zhǎng)沙 410082;2.湖南機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院,湖南長(zhǎng)沙 410151)

針對(duì)粒子群優(yōu)化算法易于陷入局部最優(yōu)解并存在早熟收斂的問(wèn)題,提出了一種基于雙子群的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法(TS-IPSO),通過(guò)2組搜索方向相反的主、輔子群之間的相互協(xié)同,擴(kuò)大搜索范圍,借鑒遺傳算法的雜交機(jī)制,并采用慣性權(quán)值的非線性遞減策略,加快算法的收斂速度和提高粒子的搜索能力,降低了算法陷入局部極值的風(fēng)險(xiǎn).實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該算法較標(biāo)準(zhǔn)PSO算法提高了全局搜索能力和收斂速度,改善了優(yōu)化性能.

收斂性;粒子群優(yōu)化算法;子群;雜交機(jī)制;遺傳算法

粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Op timization,PSO)是一種基于群體的演化算法,是通過(guò)群體內(nèi)粒子間的合作與競(jìng)爭(zhēng)產(chǎn)生的群體智能指導(dǎo)優(yōu)化策略,最早由Kennedy和Eberhart于 1995年提出的[1].該算法操作簡(jiǎn)單,前期收斂速度快、設(shè)置參數(shù)少、容易實(shí)現(xiàn)、能有效地解決復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題,在函數(shù)優(yōu)化、模式識(shí)別、機(jī)器人學(xué)習(xí)、組合優(yōu)化以及一些工程領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.但由于PSO算法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)薄弱,存在早熟收斂、搜索精度不高、后期迭代效率低[2]的缺點(diǎn),尤其是當(dāng)解空間為非凸集時(shí),應(yīng)用PSO算法容易在后期陷入局部極優(yōu)點(diǎn).針對(duì)這些問(wèn)題,目前出現(xiàn)了許多改進(jìn)算法,如文獻(xiàn)[3]用動(dòng)態(tài)調(diào)整慣性權(quán)重來(lái)平衡搜索能力和收斂速度;文獻(xiàn)[4]通過(guò)對(duì)粒子位置或速度引入一個(gè)小概率隨機(jī)變異操作來(lái)增強(qiáng)種群的多樣性,使算法能有效地進(jìn)行全局搜索;文獻(xiàn)[5]提出了一種帶有混沌變異算子的量子粒子群優(yōu)化算法,文中利用混沌序列代替隨機(jī)序列從而增加粒子的多樣性,防止粒子陷入局部收斂;文獻(xiàn)[6]提出了一種新的雙子群PSO算法(TSPSO).

大量研究實(shí)驗(yàn)表明,設(shè)法保持種群的多樣性,或引入跳出局部最優(yōu)點(diǎn)的機(jī)制,或與其他算法融合可以克服全局優(yōu)化算法早熟收斂.鑒于此,本文在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上提出了一種改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法(TSIPSO),該算法在不增加粒子規(guī)模的情況下充分?jǐn)U展搜索范圍,挖掘搜索域內(nèi)的有用信息,并借鑒了遺傳算法的雜交機(jī)制,還采用慣性因子的非線性遞減策略,以有效地提高粒子的探索能力,解決粒子群算法的局部收斂問(wèn)題.

1 標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化算法

PSO算法通過(guò)模擬鳥(niǎo)群捕食行為實(shí)現(xiàn)優(yōu)化問(wèn)題的求解.首先在解空間內(nèi)隨機(jī)初始化鳥(niǎo)群,鳥(niǎo)群中的每一只鳥(niǎo)稱為粒子,這些粒子在解空間內(nèi)按照某種規(guī)則移動(dòng),經(jīng)過(guò)若干次修正后找到最優(yōu)解.在每一次修正中,粒子通過(guò)跟蹤兩個(gè)極值來(lái)更新自己的速度和位置.一個(gè)是粒子本身的最優(yōu)解p,另一個(gè)是整個(gè)種群目前找到的最優(yōu)解g.每個(gè)粒子根據(jù)p和g修正自身的飛行方向和飛行速度,使得每個(gè)粒子最終能夠發(fā)現(xiàn)并到達(dá)解空間內(nèi)最優(yōu)解位置.

假設(shè)搜索空間是D維,粒子群由m個(gè)粒子組成.Xi=(xi1,xi2,…,xid)表示D維空間中的第i個(gè)粒子,其速度為Vi=(vi1,vi2,…,vid),其最大值為一個(gè)指定閾值 V max.粒子的速度-位置進(jìn)化方程為:

式中:i=1,2,…,m;d=1,2,…,D;C1,C2為非負(fù)常數(shù),一般取2.0;rand1,rand2為介于[0,1]之間服從均勻分布的隨機(jī)數(shù);Pi=(pi1,pi2,…,pid)為粒子i當(dāng)前所經(jīng)歷的最優(yōu)位置,稱為個(gè)體最優(yōu)位置;Pg =(pg1,pg2,…,pg d)為群體中所有粒子所經(jīng)歷的最優(yōu)位置,稱為全局最優(yōu)位置.慣性權(quán)值ω按式(3)線性遞減:

式中:ωstart為始權(quán)值;ωend為終權(quán)值 ,并建議 ωstart和ωend分別取0.9和0.4;Iter max和Iter分別為最大迭代次數(shù)和當(dāng)前迭代次數(shù).

2 基于雙子群的TS-IPSO算法

2.1 雙子群PSO算法(TSPSO)[6]

TSPSO算法是一種操作簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)的雙子群的PSO算法,其實(shí)現(xiàn)思想為:在隨機(jī)初始化一組粒子群之后,將其等分為2個(gè)相互獨(dú)立的子群,其中一組子群按標(biāo)準(zhǔn)PSO算法迭代搜索,稱為主子群;另一組子群沿主子群的相反方向迭代搜索,即位置進(jìn)化方程按下式更新:

該子群稱為輔子群.在每次迭代結(jié)束時(shí),比較2個(gè)子群個(gè)體最優(yōu)位置所對(duì)應(yīng)的適應(yīng)值大小,適應(yīng)值較差的個(gè)體最優(yōu)粒子被更優(yōu)者替代.這樣通過(guò)主、輔2個(gè)子群相互補(bǔ)充、協(xié)同進(jìn)化,在不增加粒子規(guī)模的情況下,充分?jǐn)U展搜索范圍,挖掘搜索域內(nèi)的有用信息,降低PSO算法陷入局部最優(yōu)點(diǎn)的風(fēng)險(xiǎn).

2.2 雜交機(jī)制

遺傳算法是模擬達(dá)爾文的自然選擇學(xué)說(shuō)的生物進(jìn)化過(guò)程的一種計(jì)算模型,是一種隨機(jī)搜索最優(yōu)化計(jì)算方法,具有的基本操作運(yùn)算是選擇、雜交和變異等.文獻(xiàn)[2]借鑒遺傳算法的雜交操作運(yùn)算思想,最早提出了雜交PSO算法的概念.該算法在每次迭代中,選取指定數(shù)量的粒子放入一個(gè)池中,種群中被選中的粒子被賦予了一個(gè)隨機(jī)的與適應(yīng)值無(wú)關(guān)的雜交概率,依據(jù)雜交概率對(duì)池中的粒子隨機(jī)進(jìn)行雜交操作,產(chǎn)生同樣數(shù)目的孩子粒子,并用孩子粒子代替父母粒子,以保持種群的粒子數(shù)目不變.孩子粒子位置由父母粒子位置的算數(shù)加權(quán)來(lái)計(jì)算[7],即

式中:X1(t)和X2(t)為選擇進(jìn)行雜交操作的粒子,且都是D維的位置向量;r為D維均勻分布的且每個(gè)分量都在[0,1]取值的隨機(jī)向量.

孩子粒子的速度由下面的公式得到:

式中:V1(t)和V2(t)為進(jìn)行雜交操作的雙親粒子的速度.這樣,子代粒子的位置和速度的信息來(lái)自父代粒子的位置和速度的交叉操作.交叉操作使后代粒子繼承了雙親粒子的優(yōu)點(diǎn),這在理論上加強(qiáng)了對(duì)粒子間區(qū)域的搜索能力.假設(shè)兩個(gè)雙親粒子均處于不同的局部最優(yōu)區(qū)域,那么兩者交叉產(chǎn)生的后代粒子往往能夠擺脫局部最優(yōu),獲得改進(jìn)的搜索結(jié)果.數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,雜交粒子群算法比原始粒子群算法搜索速度更快,收斂精度更高.

2.3 慣性因子選擇策略

慣性權(quán)值ω的取值對(duì)算法性能有影響,如果 ω的取值隨著算法迭代的進(jìn)行而線性減小,那么算法的性能可明顯地得到改善.若ω取值較大,則粒子的全局搜索能力較強(qiáng);若ω取值較小,則粒子的局部挖掘能力增強(qiáng).

根據(jù)文獻(xiàn)[8]選擇一種自適應(yīng)的非線性慣性權(quán)值遞減函數(shù),具體表達(dá)式為:

式中:t max為群體的最大迭代次數(shù);ti為當(dāng)前的迭代代數(shù);ωstart,ωend分別為初始慣性權(quán)重的最大值和最小值.以式(9)構(gòu)造的慣性因子,初期具有最大值,迭代的最后一步達(dá)到最小值,中間迭代周期是非線性減小的,目的是在迭代的早期加大慣性權(quán)值的遞減速度來(lái)讓算法更快地進(jìn)入局部搜索,均衡全局和局部搜尋能力.文獻(xiàn)[8]證明了采用慣性因子非線性遞減機(jī)制的算法性能相對(duì)線性縮小慣性因子的PSO的收斂速度更快,能獲得更好的求解質(zhì)量.

2.4 TS-IPSO的算法步驟

綜上所述,本文提出了一種新的粒子群優(yōu)化算法 ——基于雙子群的改進(jìn)粒子群算法(TS-IPSO),其算法步驟如下:

1)隨機(jī)初始化粒子群中粒子的位置與速度.

2)將隨機(jī)初始化的粒子群等分為2組子群.計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)值,設(shè)置Pi為初始群體的當(dāng)前位置,Pg為最優(yōu)粒子位置.

3)判斷算法收斂準(zhǔn)則是否滿足,如果滿足執(zhí)行8),否則轉(zhuǎn)向4).

4)主子群根據(jù)式(1),式(2)和式(9)更新粒子的位置與速度,輔子群按式(1),式(4)和式(9)更新粒子的位置與速度;并對(duì)主、輔子群進(jìn)行速度、位置限制.當(dāng)Vi＞V max或Vi＜V m in時(shí),則令Vi=V max或Vi=Vmin;當(dāng) Xi＞Xmax或 Xi＜Xmin時(shí) ,則令 Xi= X max或Xi=X min.

5)更新主、輔子群個(gè)體最優(yōu)位置和全局最優(yōu)位置,如果粒子的適應(yīng)值優(yōu)于Pi的適應(yīng)值,則Pi更新為新位置,反之保持不變;如果粒子的適應(yīng)值優(yōu)于Pg的適應(yīng)值,則Pg更新為新位置,反之保持不變;然后比較兩組子群的個(gè)體最優(yōu)位置所對(duì)應(yīng)的適應(yīng)值,優(yōu)者更新為兩組子群共同的個(gè)體最優(yōu)位置.同樣,比較兩組子群的全局最優(yōu)位置所對(duì)應(yīng)的適應(yīng)值,優(yōu)者更新為整個(gè)粒子群的全局最優(yōu)位置.

6)根據(jù)適應(yīng)度值計(jì)算每個(gè)個(gè)體的選擇概率,通常按線性排名計(jì)算.

7)執(zhí)行選擇、雜交操作,按式(7),式(8)對(duì)每2個(gè)粒子的速度進(jìn)行雜交操作,若當(dāng)Vi＞V max或Vi＜Vmin時(shí),則令Vi=Vmax或Vi=Vmin;按式(5),式(6)對(duì)每2個(gè)粒子的位置進(jìn)行雜交操作,若當(dāng)Xi＞X max或Xi＜X min時(shí),則令Xi=X max或Xi=X m in,生成新一代種群.

8)檢查是否滿足PSO算法終止條件,若否,轉(zhuǎn)向4),繼續(xù);若是,則求出最優(yōu)解.

3 TS-IPSO算法仿真

下面采用4個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)[9]來(lái)評(píng)價(jià)所提出的基于雙子群的改進(jìn)粒子群算法(TS-IPSO)的性能,并與標(biāo)準(zhǔn)PSO算法進(jìn)行了比較.這4個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)如下所示:

其中:函數(shù)f1(x)為一個(gè)簡(jiǎn)單的單峰函數(shù),在(0,0,…,0)達(dá)到極小值;f2(x)的全局極小點(diǎn)在xi=0(i =1,2,…,n),且有眾多的局部極小點(diǎn),可用來(lái)考查算法避免陷入局部最優(yōu)點(diǎn),并進(jìn)行全局探索的能力; f3(x)為具有大量局部極值點(diǎn)的多峰函數(shù),一般算法難以求得最優(yōu)解,且函數(shù)存在一個(gè)全局最小值f min=0;f4(x)是一個(gè)非凸函數(shù),在(1,1,…,1)時(shí)達(dá)到最小值0.文獻(xiàn)[10]論述了上述4個(gè)函數(shù)能有效驗(yàn)證PSO算法的尋優(yōu)性能及代表性.4個(gè)測(cè)試函數(shù)的參數(shù)設(shè)置如表1所示.

表1 4個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的參數(shù)設(shè)置Tab.1 Parameter settings of four benchmark functions

在TS-IPSO算法中,學(xué)習(xí)因子 C1,C2均取1.496 2,rand1,rand2為在區(qū)間[0,1]內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù),慣性權(quán)重 ω按照式(9)進(jìn)行計(jì)算.每個(gè)函數(shù)運(yùn)行50次,以平均值作為優(yōu)化結(jié)果.通過(guò)表2的數(shù)據(jù)可以看出,本文提出的TS-IPSO算法的尋優(yōu)結(jié)果,無(wú)論是50次優(yōu)化運(yùn)行得到的函數(shù)最優(yōu)解或是平均最優(yōu)解,都明顯優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)PSO算法的優(yōu)化結(jié)果.

表2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.2 Experiment results

為了更直觀地體現(xiàn)TS-IPSO算法的性能,分別將4個(gè)測(cè)試函數(shù)迭代的收斂曲線與標(biāo)準(zhǔn)PSO算法的尋優(yōu)曲線進(jìn)行對(duì)比,如圖1～圖4所示.

圖1 Sphere函數(shù)尋優(yōu)曲線Fig.1 Comparison of optim izing process on Sphere function

圖2 G riewank函數(shù)尋優(yōu)曲線Fig.2 Comparison of optim izing process on Griewank function

圖3 Rastrigin函數(shù)尋優(yōu)曲線Fig.3 Com parison of op tim izing process on Rastrigin function

圖4 Rosenbrock函數(shù)尋優(yōu)曲線Fig.4 Comparison of optim izing process on Rosenbrock function

由圖1～圖4可知,本文提出的TS-IPSO算法的優(yōu)化效果和優(yōu)化過(guò)程明顯好于標(biāo)準(zhǔn)PSO算法.對(duì)于函數(shù) f1(x),f2(x)和 f3(x),本文算法都取得了理論最優(yōu)值,都能經(jīng)過(guò)較少的迭代次數(shù)而獲得最優(yōu)解;對(duì)于 f4(x),改進(jìn)算法也取得了較標(biāo)準(zhǔn)PSO算法更好的結(jié)果.同時(shí)對(duì)于搜索目標(biāo)函數(shù)全局最優(yōu)值,標(biāo)準(zhǔn)PSO算法不是陷入局部極值,就是計(jì)算逐步趨于停頓,而基于雙子群的TS-IPSO算法則表現(xiàn)出更為強(qiáng)大的搜索能力和更快的收斂速度.

4 結(jié) 語(yǔ)

基于雙子群的改進(jìn)粒子群算法TS-IPSO以搜索方向相反的主、輔2組子群協(xié)同搜索,擴(kuò)展了搜索范圍,結(jié)合遺傳算法的雜交機(jī)制并采用慣性因子非線性遞減策略,具有良好的優(yōu)化效果和探索性能,從而降低了優(yōu)化算法陷入局部最優(yōu)點(diǎn)的風(fēng)險(xiǎn),同時(shí)加快了收斂速度.實(shí)驗(yàn)表明該算法不僅具有較強(qiáng)的全局搜索能力,而且能有效避免常規(guī)算法的早熟收斂問(wèn)題,顯著提高了優(yōu)化性能.

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An Im proved Particle Swarm Op timization A lgorithm Based on Two-subpopulation

ZHANG Ying-jie1?,LI Liang1,ZHANG Ying-hao2,LUO Chun-song1
(1.Co llege of Computer and Communication,H unan Univ,Changsha,H unan 410082,China; 2.H unan Mechanical and Electrical Polytechnic,Changsha,H unan 410151,China)

Particle Sw arm Optimization algorithm easily gets stuck at localoptimal solution and shows premature convergence.An imp roved Particle Swarm Optimization algorithm based on tw o-subpopu lation(TS-IPSO)was proposed.Thesearch range of the algorithm w asextended through main subpopulation particle swarm and assistant subpopulation particle swarm,w hose search direction was inversed comp letely.It also adopts the crossbreeding mechanism in genetic algorithm,and uses non-linear inertia weight reduction strategy to accelerate the op timization convergence and improve the search capabilitiesof particles,then effectively decrease the risk of trapping into localoptima. Experiment resultshave shown that the TS-IPSO can greatly improve the global convergence ability and enhance the rate of convergence,compared with SPSO.

convergence;Particle Swarm Optimization(PSO)algorithm;subpopulation;crossbreeding;genetic arithmetic

TP18

A

1674-2974(2011)01-0084-05 *

2010-05-30

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60634020);湖南省科技計(jì)劃重點(diǎn)資助項(xiàng)目(2010GK 2022)

張英杰(1970-),男,湖南邵陽(yáng)人,湖南大學(xué)副教授,博士

?通訊聯(lián)系人,E-mail:zy j18502@hnu.cn