夏唐代,孫苗苗,陳 晨,陳煒昀

（浙江大學(xué) 巖土工程研究所,杭州 310058）

車輛荷載、建筑施工等引起的振動(dòng)因其干擾人們的日常生活而對(duì)周圍環(huán)境產(chǎn)生了不容忽視的影響,并已成為學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題。采用屏障是隔離環(huán)境振動(dòng)的有效措施。目前采用較多的有2種屏障形式,一種是連續(xù)屏障,主要有空溝、填充溝,混凝土墻等形式,對(duì)于連續(xù)屏障的研究已較為成熟。最早由Barkan[1]和Richart[2]對(duì)空溝和鋼板樁屏障進(jìn)行了試驗(yàn)研究;其后Woods[3]進(jìn)行了一系列的現(xiàn)場(chǎng)原位測(cè)試,并首次提出用無(wú)量綱振幅比ARC來(lái)評(píng)價(jià)屏障的隔振效果;但是在地下水位較高或者軟土地區(qū),連續(xù)屏障的施工難度加大因而增加了施工和維護(hù)的費(fèi)用,非連續(xù)屏障便成為近年來(lái)在軟土地區(qū)運(yùn)用廣泛的隔振手段之一。

非連續(xù)屏障對(duì)彈性波的散射研究起步較晚,目前較多采用排樁和排孔等形式。Woods[4]運(yùn)用全息照相技術(shù)原理,對(duì)瑞利波波場(chǎng)中圓孔屏障隔振進(jìn)行了研究;Liao和Sangrey[5]用模型樁屏障做試驗(yàn)得出柔性樁比剛性樁的隔振效果更好的結(jié)果;Boroomand和Kaynia[6]用簡(jiǎn)化的地基模型來(lái)檢驗(yàn)單排樁的隔振效果;Avilés和 Sánchez-Sesma[7-8]研究了單排實(shí)心樁對(duì)P波、S波及R波的散射問(wèn)題;Kattis[9-10]等運(yùn)用三維頻域邊界元技術(shù)分析了實(shí)心樁和方樁的隔振作用;徐平等[11-12]研究了剛性空心管樁屏障對(duì)平面P、SH和SV波的隔離效果;Cai[13-14]等分析了飽和多孔彈性介質(zhì)中單排樁的屏蔽作用;Lu[15-16]等對(duì)用排樁隔離移動(dòng)荷載產(chǎn)生的振動(dòng)進(jìn)行了詳細(xì)的研究。

迄今為止,上述文中所述的計(jì)算非連續(xù)屏障對(duì)平面波的隔離問(wèn)題都只考慮了單重散射,單重散射假設(shè)的不足在于它忽略了散射體也就是樁列作為一個(gè)整體相互之間相干相位關(guān)系,僅僅在樁間距較大的時(shí)候才是正確的;而在實(shí)際工程中,通常采用的排樁間距較小,排樁體系作為整體屏障起到作用。并且,多個(gè)任意排列,任意半徑大小的樁屏障對(duì)平面波多重散射問(wèn)題的精確解尚未見(jiàn)報(bào)道。該文引入圓柱體對(duì)聲波和電磁波的多重散射解[16-17],提出了一種新的考慮多重散射的方法來(lái)求解平面SH波入射下任意排列任意直徑的剛性樁的散射問(wèn)題。

1 波函數(shù)展開(kāi)

1.1 問(wèn)題的基本公式

如圖1所示,各向同性的無(wú)限均質(zhì)彈性介質(zhì)的土體中含有任意排列的任意半徑圓柱形剛性樁,假設(shè)樁長(zhǎng)遠(yuǎn)大于樁徑,則該問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為二維平面問(wèn)題。入射平面SH波（偏振方向平行于樁身軸線）應(yīng)滿足Helmholtz方程：

圖1 任意布置、任意半徑圓柱形樁對(duì)SH波的散射計(jì)算簡(jiǎn)圖

式中ks=ω/c,稱為土體中SH波的波數(shù),ω為圓頻率,c=G/ρ,其中G和ρ分別為土體的剪切模量和密度。

在第s根樁的坐標(biāo)系下,滿足上述方程的入射SH波可以表示為

式中上角標(biāo)inc表示入射,這里為了研究和討論方便,運(yùn)動(dòng)量中的時(shí)間因子exp（-iωt）（i= -1為虛數(shù)單位,t為時(shí)間）均被省略。

基于變量分離法,設(shè)第s根樁對(duì)SH波第m重散射解可表示為

式中上角標(biāo)sc表示散射,H n（?）為第一類Hankel函數(shù),n為階數(shù)。s Am為每根樁第m重散射的待定復(fù)系數(shù)（s Am系數(shù)隨散射重?cái)?shù)m而不同）。

因此可得總共s根樁的總散射波解為

1.2 散射系數(shù)的求解

對(duì)于任意排列的剛性圓柱樁,計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖1所示。以第s樁為例,假定樁半徑為as,選定s=0時(shí)的樁中心為參考坐標(biāo)系原點(diǎn),每根樁各自坐標(biāo)軸都平行于參考坐標(biāo)軸。遠(yuǎn)場(chǎng)P點(diǎn)可以用與s樁的距離rs和角度θs確定,s′樁相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)可用（rss′,θss′）確定 。例如P點(diǎn)對(duì)于s′樁坐標(biāo)系的坐標(biāo)為（rs′,θs′）,s′樁相對(duì) 于 0 樁 的坐標(biāo)為（r0s′、θ0s′）等 。為了求出散射系數(shù)s Am,首先考慮m=1的第一重散射的散射系數(shù)s A1,因剛性樁埋置得足夠深,假設(shè)土體與剛性樁界面完全聯(lián)結(jié),即樁與周圍土體界面處滿足位移連續(xù)條件,則第一重散射的邊界條件為：

其中s A=-Jn（ks as）/H n（ksas）,r0s為s=0時(shí)遠(yuǎn)場(chǎng)P點(diǎn)到0樁的距離矢量。

其次考慮第s根樁被其余樁的第一重散射波所激發(fā),產(chǎn)生第二重散射波,同樣可以假設(shè)第二重散射在樁土界面處也滿足邊界條件

即可求出第二重散射系數(shù)s A2：

為了便于相加,需要把s′u1sc化為s點(diǎn)坐標(biāo)下的函數(shù),根據(jù)Graf加法原理,

2 數(shù)值計(jì)算和分析

2.1 單排樁計(jì)算結(jié)果分析

假設(shè)樁為無(wú)限長(zhǎng),入射穩(wěn)態(tài)平面SH波振幅為u0,入射角α,樁排布于同一直線上,樁半徑as和樁間距sp均相同,樁數(shù)N,為了便于討論,對(duì)位移場(chǎng)的頻率進(jìn)行歸一化處理

定義歸一化位移幅值為排樁后某處總波場(chǎng)引起的位移幅值與入射波在該處引起的自由場(chǎng)位移幅值的比值。各變量參數(shù)取值如下：α=π/2,as=1,sp/as=3.,N=8,ηs=0.4。此算例計(jì)算中Bessel函數(shù)階數(shù)n截?cái)嗟?階已滿足精度的要求。

式中λs為土體中SH波長(zhǎng)。

圖2 單排N根樁屏障計(jì)算模型及參考坐標(biāo)系

圖3分別為不同散射重?cái)?shù)（m=1～4）屏障后中線上土體無(wú)量綱位移幅值隨y/as（-20≤y/as≤500）的變化曲線,首先從圖3中可以得到,屏障前的區(qū)域因入射波與散射波的干涉產(chǎn)生振幅放大現(xiàn)象,而在屏障后,靠近屏障處的隔振效果優(yōu)于遠(yuǎn)離屏障處。其次當(dāng)散射重?cái)?shù)取3和4時(shí),屏障后無(wú)量綱位移的增量很小,當(dāng)y/as≥150時(shí)的值幾乎沒(méi)有變化,曲線重合,說(shuō)明該理論計(jì)算方法同實(shí)際情況相符。

在實(shí)際工程中,近場(chǎng)主動(dòng)隔振的區(qū)域在2.5～3.0倍波長(zhǎng)內(nèi),從圖3中可以看到屏障后10≤y/as≤60左右范圍內(nèi)相同位置處的位移幅值隨著計(jì)算時(shí)所取的散射重?cái)?shù)增加而減少,多重散射的理論計(jì)算結(jié)果與以往只考慮單重散射的相比更接近工程實(shí)際情況,有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。從圖3還可以看出,當(dāng)多重散射的重?cái)?shù)取到3重時(shí)已經(jīng)能夠滿足計(jì)算的精度要求,且此結(jié)果與文獻(xiàn)[7]的結(jié)果較為吻合。

圖4為位移場(chǎng)不同歸一化頻率入射波下的單排樁屏障后無(wú)量綱位移等值線圖,低頻波（ηs=0.4）入射時(shí)屏障后無(wú)量綱位移分布較為平均,靠近屏障區(qū)域隔振效果較好,在10≤y/as≤60范圍內(nèi)可以有效隔離80%左右的入射波,因此低頻波用單排樁屏障已經(jīng)能起到較好的屏蔽作用。然而,對(duì)于高頻波（ηs=1.0）入射時(shí)屏障后中心范圍內(nèi)集中出現(xiàn)振幅放大效應(yīng),最佳隔離區(qū)域向兩側(cè)分散,屏蔽作用較為不均勻,單排樁已不能起到較好的屏蔽作用,故可以考慮多排樁屏障進(jìn)行隔振。

2.2 雙排樁計(jì)算結(jié)果分析

實(shí)際工程中對(duì)高頻入射波較多采用雙排樁進(jìn)行振動(dòng)污染的隔離,因此雙排樁理論計(jì)算分析的結(jié)果對(duì)于工程應(yīng)用具有重要意義。為了與單排樁屏障進(jìn)行對(duì)比,同樣選取屏障參數(shù)如下：N=8,α=π/2,as=1,sp/as=3.0,N=8,ηs=1。排樁按兩排梅花型布置,計(jì)算模型及參考坐標(biāo)系見(jiàn)圖5。

圖5 雙排N根樁屏障計(jì)算模型及參考坐標(biāo)系

雙排樁與單排樁屏障的區(qū)別在于雙排樁的隔振效果與屏障的厚度即排間距有較大關(guān)系。圖6考查了排距對(duì)隔振效果的影響（排間距0≤h/as≤3.5）。

從圖6可以看出,屏障后等值線分布規(guī)律基本相同,越靠近屏障處屏蔽效果越好。當(dāng)h/as=0時(shí),雙排樁即退化為單排樁,退化解與單排樁屏障的數(shù)值計(jì)算結(jié)果一致,進(jìn)一步說(shuō)明本文理論計(jì)算方法的正確性。由之前的研究可得,單排樁隔振的屏蔽區(qū)域較小,且排樁前中心處有明顯的振幅放大效應(yīng)。隨著雙排樁排距的增加（0.5≤h/as≤2.0）,屏障后20≤y/as≤100范圍內(nèi)無(wú)量綱位移減小,屏障后振幅放大效應(yīng)趨于平均,說(shuō)明雙排樁逐漸作為一個(gè)整體對(duì)入射波進(jìn)行隔離。當(dāng)排間距h/as=3.5時(shí),屏障后20≤y/as≤200較大范圍內(nèi)都能隔離70%～80%的入射波,隔振效果明顯優(yōu)于單排樁。工程中可以選擇排間距h/as=3.5作為雙排樁隔振屏障的設(shè)計(jì)依據(jù)。

為了討論樁間距對(duì)雙排樁隔振效果的影響,考查了不同樁間距下（2.5≤sp/as≤5.0）屏障后中線上無(wú)量綱位移隨y/as的變化。圖7表明樁間距較小時(shí)（2.5≤sp/as≤3.0）,屏障后位移減小不明顯,屏障未能起到較好的屏蔽作用;當(dāng)sp/as=3.0時(shí),屏障后一定區(qū)域內(nèi)（20≤y/as≤200）無(wú)量綱位移減小,振幅放大效應(yīng)明顯,能有效隔離約70%的入射波,表明此時(shí)雙排樁作能為整體取得較好的隔振效果;隨著樁間距增加（3.0≤sp/as≤5.0）,屏障后無(wú)量綱位移明顯增加,振幅放大效應(yīng)減弱,雙排樁不再作為整體屏障起到屏蔽作用,因此在實(shí)際工程中為了能形成整體屏障,雙排樁間距一般應(yīng)滿足sp/as≤3.0。

3 結(jié) 論

對(duì)排樁隔離環(huán)境振動(dòng)的問(wèn)題,提出了一種新的計(jì)算任意排列任意直徑的剛性樁對(duì)平面SH波的散射問(wèn)題方法—多重散射法。通過(guò)對(duì)單排,以及雙排樁后土體豎向位移振幅的研究,對(duì)環(huán)境振動(dòng)的污染隔離提出了有意義的建議。數(shù)值分析計(jì)算的結(jié)果表明：

1）排樁作為隔振體以整體屏障發(fā)揮作用,文中提出的考慮多重散射的計(jì)算方法優(yōu)于以往只考慮單重散射而不考慮散射波之間相干相位關(guān)系假設(shè)的單重散射解。散射重?cái)?shù)越多,計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況符合得越好,一般取到四重時(shí)已滿足工程要求。

2）當(dāng)入射SH波頻率較高時(shí)可以考慮多排樁進(jìn)行隔離,多排樁數(shù)值計(jì)算結(jié)果可以退化至單排樁,表明本文理論計(jì)算方法的正確性。

3）多排樁隔離效果與屏障厚度和及整體性有關(guān),屏障厚度即排間距,排間距h/as=3.5左右能取得較佳的隔離效果;同時(shí)隔振設(shè)計(jì)中樁間距應(yīng)滿足sp/as≤3.0,屏障才能作為整體發(fā)揮作用。

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（編輯王秀玲）