夏唐代,孫苗苗,陳 晨,陳煒昀

（浙江大學(xué) 巖土工程研究所,杭州 310058）

車輛荷載、建筑施工等引起的振動因其干擾人們的日常生活而對周圍環(huán)境產(chǎn)生了不容忽視的影響,并已成為學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)問題。采用屏障是隔離環(huán)境振動的有效措施。目前采用較多的有2種屏障形式,一種是連續(xù)屏障,主要有空溝、填充溝,混凝土墻等形式,對于連續(xù)屏障的研究已較為成熟。最早由Barkan[1]和Richart[2]對空溝和鋼板樁屏障進(jìn)行了試驗(yàn)研究;其后Woods[3]進(jìn)行了一系列的現(xiàn)場原位測試,并首次提出用無量綱振幅比ARC來評價屏障的隔振效果;但是在地下水位較高或者軟土地區(qū),連續(xù)屏障的施工難度加大因而增加了施工和維護(hù)的費(fèi)用,非連續(xù)屏障便成為近年來在軟土地區(qū)運(yùn)用廣泛的隔振手段之一。

非連續(xù)屏障對彈性波的散射研究起步較晚,目前較多采用排樁和排孔等形式。Woods[4]運(yùn)用全息照相技術(shù)原理,對瑞利波波場中圓孔屏障隔振進(jìn)行了研究;Liao和Sangrey[5]用模型樁屏障做試驗(yàn)得出柔性樁比剛性樁的隔振效果更好的結(jié)果;Boroomand和Kaynia[6]用簡化的地基模型來檢驗(yàn)單排樁的隔振效果;Avilés和 Sánchez-Sesma[7-8]研究了單排實(shí)心樁對P波、S波及R波的散射問題;Kattis[9-10]等運(yùn)用三維頻域邊界元技術(shù)分析了實(shí)心樁和方樁的隔振作用;徐平等[11-12]研究了剛性空心管樁屏障對平面P、SH和SV波的隔離效果;Cai[13-14]等分析了飽和多孔彈性介質(zhì)中單排樁的屏蔽作用;Lu[15-16]等對用排樁隔離移動荷載產(chǎn)生的振動進(jìn)行了詳細(xì)的研究。

迄今為止,上述文中所述的計(jì)算非連續(xù)屏障對平面波的隔離問題都只考慮了單重散射,單重散射假設(shè)的不足在于它忽略了散射體也就是樁列作為一個整體相互之間相干相位關(guān)系,僅僅在樁間距較大的時候才是正確的;而在實(shí)際工程中,通常采用的排樁間距較小,排樁體系作為整體屏障起到作用。并且,多個任意排列,任意半徑大小的樁屏障對平面波多重散射問題的精確解尚未見報道。該文引入圓柱體對聲波和電磁波的多重散射解[16-17],提出了一種新的考慮多重散射的方法來求解平面SH波入射下任意排列任意直徑的剛性樁的散射問題。

1 波函數(shù)展開

1.1 問題的基本公式

如圖1所示,各向同性的無限均質(zhì)彈性介質(zhì)的土體中含有任意排列的任意半徑圓柱形剛性樁,假設(shè)樁長遠(yuǎn)大于樁徑,則該問題可以簡化為二維平面問題。入射平面SH波（偏振方向平行于樁身軸線）應(yīng)滿足Helmholtz方程：

圖1 任意布置、任意半徑圓柱形樁對SH波的散射計(jì)算簡圖

式中ks=ω/c,稱為土體中SH波的波數(shù),ω為圓頻率,c=G/ρ,其中G和ρ分別為土體的剪切模量和密度。

在第s根樁的坐標(biāo)系下,滿足上述方程的入射SH波可以表示為

式中上角標(biāo)inc表示入射,這里為了研究和討論方便,運(yùn)動量中的時間因子exp（-iωt）（i= -1為虛數(shù)單位,t為時間）均被省略。

基于變量分離法,設(shè)第s根樁對SH波第m重散射解可表示為

式中上角標(biāo)sc表示散射,H n（?）為第一類Hankel函數(shù),n為階數(shù)。s Am為每根樁第m重散射的待定復(fù)系數(shù)（s Am系數(shù)隨散射重數(shù)m而不同）。

因此可得總共s根樁的總散射波解為

1.2 散射系數(shù)的求解

對于任意排列的剛性圓柱樁,計(jì)算簡圖如圖1所示。以第s樁為例,假定樁半徑為as,選定s=0時的樁中心為參考坐標(biāo)系原點(diǎn),每根樁各自坐標(biāo)軸都平行于參考坐標(biāo)軸。遠(yuǎn)場P點(diǎn)可以用與s樁的距離rs和角度θs確定,s′樁相對于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)可用（rss′,θss′）確定 。例如P點(diǎn)對于s′樁坐標(biāo)系的坐標(biāo)為（rs′,θs′）,s′樁相對 于 0 樁 的坐標(biāo)為（r0s′、θ0s′）等 。為了求出散射系數(shù)s Am,首先考慮m=1的第一重散射的散射系數(shù)s A1,因剛性樁埋置得足夠深,假設(shè)土體與剛性樁界面完全聯(lián)結(jié),即樁與周圍土體界面處滿足位移連續(xù)條件,則第一重散射的邊界條件為：

其中s A=-Jn（ks as）/H n（ksas）,r0s為s=0時遠(yuǎn)場P點(diǎn)到0樁的距離矢量。

其次考慮第s根樁被其余樁的第一重散射波所激發(fā),產(chǎn)生第二重散射波,同樣可以假設(shè)第二重散射在樁土界面處也滿足邊界條件

即可求出第二重散射系數(shù)s A2：

為了便于相加,需要把s′u1sc化為s點(diǎn)坐標(biāo)下的函數(shù),根據(jù)Graf加法原理,

2 數(shù)值計(jì)算和分析

2.1 單排樁計(jì)算結(jié)果分析

假設(shè)樁為無限長,入射穩(wěn)態(tài)平面SH波振幅為u0,入射角α,樁排布于同一直線上,樁半徑as和樁間距sp均相同,樁數(shù)N,為了便于討論,對位移場的頻率進(jìn)行歸一化處理

定義歸一化位移幅值為排樁后某處總波場引起的位移幅值與入射波在該處引起的自由場位移幅值的比值。各變量參數(shù)取值如下：α=π/2,as=1,sp/as=3.,N=8,ηs=0.4。此算例計(jì)算中Bessel函數(shù)階數(shù)n截斷到8階已滿足精度的要求。

式中λs為土體中SH波長。

圖2 單排N根樁屏障計(jì)算模型及參考坐標(biāo)系

圖3分別為不同散射重數(shù)（m=1～4）屏障后中線上土體無量綱位移幅值隨y/as（-20≤y/as≤500）的變化曲線,首先從圖3中可以得到,屏障前的區(qū)域因入射波與散射波的干涉產(chǎn)生振幅放大現(xiàn)象,而在屏障后,靠近屏障處的隔振效果優(yōu)于遠(yuǎn)離屏障處。其次當(dāng)散射重數(shù)取3和4時,屏障后無量綱位移的增量很小,當(dāng)y/as≥150時的值幾乎沒有變化,曲線重合,說明該理論計(jì)算方法同實(shí)際情況相符。

在實(shí)際工程中,近場主動隔振的區(qū)域在2.5～3.0倍波長內(nèi),從圖3中可以看到屏障后10≤y/as≤60左右范圍內(nèi)相同位置處的位移幅值隨著計(jì)算時所取的散射重數(shù)增加而減少,多重散射的理論計(jì)算結(jié)果與以往只考慮單重散射的相比更接近工程實(shí)際情況,有一定的工程應(yīng)用價值。從圖3還可以看出,當(dāng)多重散射的重數(shù)取到3重時已經(jīng)能夠滿足計(jì)算的精度要求,且此結(jié)果與文獻(xiàn)[7]的結(jié)果較為吻合。

圖4為位移場不同歸一化頻率入射波下的單排樁屏障后無量綱位移等值線圖,低頻波（ηs=0.4）入射時屏障后無量綱位移分布較為平均,靠近屏障區(qū)域隔振效果較好,在10≤y/as≤60范圍內(nèi)可以有效隔離80%左右的入射波,因此低頻波用單排樁屏障已經(jīng)能起到較好的屏蔽作用。然而,對于高頻波（ηs=1.0）入射時屏障后中心范圍內(nèi)集中出現(xiàn)振幅放大效應(yīng),最佳隔離區(qū)域向兩側(cè)分散,屏蔽作用較為不均勻,單排樁已不能起到較好的屏蔽作用,故可以考慮多排樁屏障進(jìn)行隔振。

2.2 雙排樁計(jì)算結(jié)果分析

實(shí)際工程中對高頻入射波較多采用雙排樁進(jìn)行振動污染的隔離,因此雙排樁理論計(jì)算分析的結(jié)果對于工程應(yīng)用具有重要意義。為了與單排樁屏障進(jìn)行對比,同樣選取屏障參數(shù)如下：N=8,α=π/2,as=1,sp/as=3.0,N=8,ηs=1。排樁按兩排梅花型布置,計(jì)算模型及參考坐標(biāo)系見圖5。

圖5 雙排N根樁屏障計(jì)算模型及參考坐標(biāo)系

雙排樁與單排樁屏障的區(qū)別在于雙排樁的隔振效果與屏障的厚度即排間距有較大關(guān)系。圖6考查了排距對隔振效果的影響（排間距0≤h/as≤3.5）。

從圖6可以看出,屏障后等值線分布規(guī)律基本相同,越靠近屏障處屏蔽效果越好。當(dāng)h/as=0時,雙排樁即退化為單排樁,退化解與單排樁屏障的數(shù)值計(jì)算結(jié)果一致,進(jìn)一步說明本文理論計(jì)算方法的正確性。由之前的研究可得,單排樁隔振的屏蔽區(qū)域較小,且排樁前中心處有明顯的振幅放大效應(yīng)。隨著雙排樁排距的增加（0.5≤h/as≤2.0）,屏障后20≤y/as≤100范圍內(nèi)無量綱位移減小,屏障后振幅放大效應(yīng)趨于平均,說明雙排樁逐漸作為一個整體對入射波進(jìn)行隔離。當(dāng)排間距h/as=3.5時,屏障后20≤y/as≤200較大范圍內(nèi)都能隔離70%～80%的入射波,隔振效果明顯優(yōu)于單排樁。工程中可以選擇排間距h/as=3.5作為雙排樁隔振屏障的設(shè)計(jì)依據(jù)。

為了討論樁間距對雙排樁隔振效果的影響,考查了不同樁間距下（2.5≤sp/as≤5.0）屏障后中線上無量綱位移隨y/as的變化。圖7表明樁間距較小時（2.5≤sp/as≤3.0）,屏障后位移減小不明顯,屏障未能起到較好的屏蔽作用;當(dāng)sp/as=3.0時,屏障后一定區(qū)域內(nèi)（20≤y/as≤200）無量綱位移減小,振幅放大效應(yīng)明顯,能有效隔離約70%的入射波,表明此時雙排樁作能為整體取得較好的隔振效果;隨著樁間距增加（3.0≤sp/as≤5.0）,屏障后無量綱位移明顯增加,振幅放大效應(yīng)減弱,雙排樁不再作為整體屏障起到屏蔽作用,因此在實(shí)際工程中為了能形成整體屏障,雙排樁間距一般應(yīng)滿足sp/as≤3.0。

3 結(jié) 論

對排樁隔離環(huán)境振動的問題,提出了一種新的計(jì)算任意排列任意直徑的剛性樁對平面SH波的散射問題方法—多重散射法。通過對單排,以及雙排樁后土體豎向位移振幅的研究,對環(huán)境振動的污染隔離提出了有意義的建議。數(shù)值分析計(jì)算的結(jié)果表明：

1）排樁作為隔振體以整體屏障發(fā)揮作用,文中提出的考慮多重散射的計(jì)算方法優(yōu)于以往只考慮單重散射而不考慮散射波之間相干相位關(guān)系假設(shè)的單重散射解。散射重數(shù)越多,計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況符合得越好,一般取到四重時已滿足工程要求。

2）當(dāng)入射SH波頻率較高時可以考慮多排樁進(jìn)行隔離,多排樁數(shù)值計(jì)算結(jié)果可以退化至單排樁,表明本文理論計(jì)算方法的正確性。

3）多排樁隔離效果與屏障厚度和及整體性有關(guān),屏障厚度即排間距,排間距h/as=3.5左右能取得較佳的隔離效果;同時隔振設(shè)計(jì)中樁間距應(yīng)滿足sp/as≤3.0,屏障才能作為整體發(fā)揮作用。

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（編輯王秀玲）