羅林，高曉蓉，王澤勇，王黎

(西南交通大學(xué) 光電工程研究所，四川 成都610031)

提高光學(xué)系統(tǒng)成像的分辨力水平，一直是光學(xué)設(shè)計(jì)的主要目標(biāo)，如何減少或消除光學(xué)系統(tǒng)像差是光學(xué)設(shè)計(jì)研究領(lǐng)域的重要課題。除了傳統(tǒng)的消除像差方法外［1-4］，最近幾年，一些作者提出了采用數(shù)字圖像處理來(lái)消除像差對(duì)圖像分辨率影響的方法［5-9］，Dowski 和Cathey 等［10-12］提出在傳統(tǒng)光學(xué)系統(tǒng)入瞳處放置特別制作的相位板，對(duì)像差或低分辨圖像進(jìn)行波前編碼。在采用波前編碼的混合光學(xué)成像系統(tǒng)中，通過(guò)相位板編碼物生成的圖像，用數(shù)字圖像處理復(fù)原編碼圖像，所恢復(fù)圖像的分辨率已達(dá)到近光學(xué)系統(tǒng)衍射極限水平。

本文提出了一種隨機(jī)波前編碼消除光學(xué)像差的方法。采用一種能在光學(xué)系統(tǒng)入瞳面上產(chǎn)生隨機(jī)波前的相位板，使像差圖像轉(zhuǎn)變?yōu)殡S機(jī)編碼圖像，該隨機(jī)相位板不同于Dowski 所提出的，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于加工，對(duì)于隨機(jī)波前并不需要精確設(shè)計(jì);用盲反卷積解碼中間像成無(wú)像差圖像。如果這種方法能夠成功引入傳統(tǒng)光學(xué)系統(tǒng)中，就可以選用犧牲一部分儀器加工設(shè)計(jì)精度，而采用數(shù)字圖像處理方法最終獲得高分辨圖像輸出，同時(shí)可以校正成像過(guò)程中的對(duì)準(zhǔn)誤差和減小噪聲。

1 隨機(jī)波前編碼成像

隨機(jī)波前編碼成像系統(tǒng)和傳統(tǒng)光學(xué)成像的區(qū)別是在成像系統(tǒng)孔徑光闌處放置了一個(gè)可產(chǎn)生隨機(jī)波前的相位板，使具有光學(xué)像差的圖像受到隨機(jī)擾動(dòng)，成為中間像。用位于像面上的數(shù)字CCD 采集中間像，并通過(guò)數(shù)字圖像處理解碼中間像。相位板在混合光學(xué)成像系統(tǒng)中的作用是在光學(xué)系統(tǒng)的入瞳面上產(chǎn)生隨機(jī)波前，從而改變了系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的性質(zhì)，使中間像對(duì)傳統(tǒng)光學(xué)固定像差的影響不敏感，并通過(guò)控制相位屏隨機(jī)波前特性，使獲得的隨機(jī)擾動(dòng)中間像更利于數(shù)字圖像處理算法復(fù)原。

按照光學(xué)系統(tǒng)非相干成像原理，系統(tǒng)成像特性由點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)表示，也就是

式中:P(u)為理想非相干光學(xué)系統(tǒng)光瞳函數(shù);φ(u)為入瞳上的波前相位

式中:WS(u)為相位板產(chǎn)生的隨機(jī)像差，WD(u)為光學(xué)系統(tǒng)產(chǎn)生的固定像差。

常見(jiàn)的光學(xué)系統(tǒng)初級(jí)像差的二維形式為［13］

離焦:

球差:

慧差:

像散:

式中Ai為各種像差系數(shù)。當(dāng)波前WD(u，v)=0 時(shí)，光學(xué)系統(tǒng)為理想成像情況，儀器的分辨率由孔徑的衍射效應(yīng)決定。存在光學(xué)像差時(shí)，圖像的分辨率降低，系統(tǒng)成像特性由(1)式?jīng)Q定，以此評(píng)價(jià)光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量。當(dāng)在光學(xué)系統(tǒng)入瞳上加入特殊相位板控制其波前，可改變光學(xué)系統(tǒng)成像特性。

隨機(jī)波前編碼用特別制作的隨機(jī)相位板實(shí)現(xiàn)，相位板隨機(jī)波前模型采用［14］

式中:C 為常數(shù);k 為波數(shù);R(k)為0 均值、單位方差的復(fù)高斯隨機(jī)過(guò)程;Fφ(k)為具有Kolmogorov 統(tǒng)計(jì)分布的相位起伏功率譜

式中r0為相干長(zhǎng)度，控制相位板的隨機(jī)波前特性。

相位板的制作有2 種方法:1)在隨機(jī)波前編碼中，采用特定軟件按(7)式生成一組隨機(jī)波前數(shù)據(jù)，用微光學(xué)加工技術(shù)制作已知波前隨機(jī)特性的相位板;2)采用本文中的激光散斑干涉方法，用全息干板記錄散斑干涉圖作為相位板。

圖1分別表示光學(xué)系統(tǒng)在衍射、單獨(dú)存在離焦像差和在有離焦像差加隨機(jī)波前擾動(dòng)情況下的光學(xué)系統(tǒng)調(diào)制傳遞函數(shù)一維曲線，其中離焦像差最大邊緣值為Wm=2λ，經(jīng)隨機(jī)波前擾動(dòng)后，調(diào)制傳遞函數(shù)離焦的特征被明顯削弱，說(shuō)明相位板的隨機(jī)波前擾動(dòng)可以減小固定像差對(duì)圖像的影響。

圖1 像差為衍射、離焦和離焦加隨機(jī)擾動(dòng)情況的光學(xué)調(diào)制傳遞函數(shù)Fig.1 Optical modulation transfer functions with diffraction or defocuses aberration，and defocus added random wave front

2 波前編碼圖像解碼

經(jīng)波前編碼成像系統(tǒng)后的目標(biāo)圖像是編碼退化圖像，等于目標(biāo)函數(shù)和系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的卷積，頻域表示成

式中:G(u)、H(u)、O(u)、N(u)分別為編碼像、點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)、原始目標(biāo)和噪聲的頻域表示。

由于未知系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，解碼方法采用盲反卷積。在許多場(chǎng)合如天文領(lǐng)域，使用盲反卷積消除大氣隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)圖像分辨率的影響［15-16］，同樣的方法適用于隨機(jī)波前編碼圖像的恢復(fù)。

假設(shè)所有的測(cè)量數(shù)據(jù)都有高斯統(tǒng)計(jì)分布形式，每個(gè)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)獨(dú)立無(wú)關(guān)。按照Bayes 原則，測(cè)量數(shù)據(jù)、物分布和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)3 者滿足條件聯(lián)合概率密度

式中P(·)為概率密度函數(shù)，優(yōu)化時(shí)采用對(duì)數(shù)形式的負(fù)值作為價(jià)值函數(shù)即

盲反卷積過(guò)程通過(guò)最小化(11)式和對(duì)可能的解進(jìn)行約束來(lái)得到(x)和(x)的估計(jì)。式中的第1 項(xiàng)常稱之似然項(xiàng)，它形式取決于噪聲統(tǒng)計(jì)特性;第2、第3 項(xiàng)分別表示有關(guān)物分布和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的先驗(yàn)知識(shí);第4 項(xiàng)代表測(cè)量偏差，如果探測(cè)器是無(wú)偏的，該項(xiàng)是一常數(shù)，優(yōu)化時(shí)可以忽略不計(jì)。

考慮到頻域中圖像的對(duì)稱性，在頻域中實(shí)施優(yōu)化可減少估計(jì)的變量數(shù)，加快優(yōu)化速度。不考慮物分布有關(guān)的支持域約束，對(duì)噪聲進(jìn)行低通濾波，并加入傳遞函數(shù)頻率有限帶寬約束，則價(jià)值函數(shù)表示為

式中:W(u)為低通濾波器，起到抑制噪聲的作用;Bc(u)為帶通濾波器，作用是限制所估計(jì)(x)的頻率處于光學(xué)系統(tǒng)截止頻率uc之內(nèi)，當(dāng)u ＜uc時(shí)取1，u ＞uc取0.可見(jiàn)，價(jià)值函數(shù)的優(yōu)化是一個(gè)最小二乘方問(wèn)題，用共軛梯度優(yōu)化法進(jìn)行優(yōu)化［17］。一個(gè)簡(jiǎn)化的梯度優(yōu)化迭代算法如下，每一步算法迭代為

式中α 為收斂參數(shù)。算法迭代的每一步所得到的估計(jì)^hk(x)，^o(x)，均使價(jià)值函數(shù)減小，因此反復(fù)的迭代，并通過(guò)給定迭代次數(shù)或中止條件，算法最后可得到(x)，(x)的優(yōu)化估計(jì)。算法的收斂性取決于對(duì)所估計(jì)(x)，(x)施加的約束條件，最簡(jiǎn)單和最有力的約束是(x)，(x)變量正性化，而點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)歸一化則保證優(yōu)化過(guò)程中的能量守恒。調(diào)整低通濾波器W(u)的濾波強(qiáng)度，能進(jìn)一步提高算法的收斂性，對(duì)減少恢復(fù)圖像虛假信息有利。

3 實(shí)驗(yàn)?zāi)M結(jié)果

為了測(cè)試所提出方法的有效性，進(jìn)行了計(jì)算機(jī)模擬和實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)。在計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)時(shí)，首先用軟件生成一組獨(dú)立的隨機(jī)相位數(shù)據(jù)，模擬相位板，實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)則采用激光散斑干涉法制作相位板。

模擬實(shí)驗(yàn)像差包括離焦、像散和同時(shí)有離焦像散的3 種成像情況，并用256 像素×256 像素的土星作為測(cè)試圖像。

計(jì)算機(jī)模擬時(shí)，用調(diào)整相干長(zhǎng)度r0控制相位板的隨機(jī)特性，圖像噪聲信噪比為40 dB，采用盲反卷積算法解碼碼圖像，每次用10 幅圖像，100 次算法迭代。

圖2為像散像差模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果，最大像散2λ，中心波長(zhǎng)500 nm，包括原始圖像、像散圖像、編碼短曝光像和復(fù)原圖像，以及對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)振幅譜圖像(lg(1+ |·|2)).圖2(b)為未編碼的像散圖像，從振幅譜圖像可見(jiàn)明顯的像散特征，圖2(c)為經(jīng)編碼后的像散圖像，可以看出像散已被削弱，圖2(d)為圖2(c)的復(fù)原解碼圖像，像差已被消除。

圖3為混合像差編碼模擬實(shí)驗(yàn)，同時(shí)有3λ 離焦和2λ 像散圖像的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。圖3(b)是同時(shí)有離焦和像散的像差圖像，圖3(c)是圖3(b)的編碼圖像，圖中可見(jiàn)像差經(jīng)編碼后明顯被削弱，圖3(d)是編碼圖像的復(fù)原，結(jié)果像差已被消除。

從模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，所提出的方法不僅能消除單一的像差，而且能消除混合像差，包括非對(duì)稱像差的情況。實(shí)驗(yàn)中有意在土星附近添加3 顆衍射成像不可分辨的小星，通過(guò)實(shí)驗(yàn)展示所提出方法的分辨力特性。從圖中的結(jié)果可以看出，隨機(jī)波前擾動(dòng)使光學(xué)像差的影響力下降，這在振幅譜圖像中更加明顯。從復(fù)原解碼圖像的振幅譜顯示，恢復(fù)圖像的頻率成分超過(guò)了光學(xué)衍射截止頻率，已達(dá)到或接近超衍射極限分辨率的水平。

圖4為復(fù)原解碼圖像的估計(jì)誤差與算法迭代次數(shù)的關(guān)系，顯示了算法的收斂特性，估計(jì)誤差的定義為

圖2 像散圖像模擬實(shí)驗(yàn)Fig.2 Astigmatic image simulation experiment

由圖4中可見(jiàn)，圖像估計(jì)誤差隨迭代次數(shù)增加而下降，在迭代達(dá)到一定次數(shù)時(shí)，估計(jì)誤差變化已很小，說(shuō)明這時(shí)增加迭代次數(shù)對(duì)改進(jìn)恢復(fù)圖像的質(zhì)量已無(wú)多大意義;無(wú)噪聲與有噪聲的復(fù)原解碼情況相比，無(wú)噪聲情況下估計(jì)誤差較小，算法收斂更快。

計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果表示，通過(guò)隨機(jī)波前編碼和數(shù)字圖像處理方法可以消除光學(xué)像差對(duì)圖像的影響，相位板產(chǎn)生的隨機(jī)波前改變了光學(xué)系統(tǒng)入瞳面上的波前性質(zhì)，光學(xué)像差從原來(lái)固定性質(zhì)變?yōu)殡S機(jī)特性，當(dāng)隨機(jī)波前的隨機(jī)性達(dá)到一定的水平，光學(xué)像差對(duì)圖像的影響就會(huì)被削弱。雖然隨機(jī)波前使光學(xué)像差的影響減弱，圖像分辨率由此下降，但是真實(shí)物的信息仍然隱藏在擾動(dòng)圖像中，當(dāng)用盲反卷積算法在消除圖像中隨機(jī)波前擾動(dòng)時(shí)，光學(xué)像差隨著一起被消除。還可以看出，通過(guò)數(shù)字圖像處理隨機(jī)擾動(dòng)圖像，復(fù)原解碼圖像的分辨率不僅好于像差圖像，而且分辨率達(dá)到光學(xué)系統(tǒng)衍射極限水平。

圖3 混合光學(xué)像差圖像模擬實(shí)驗(yàn)Fig.3 Mixed optical aberrations simulation experiment

為了測(cè)試混合成像系統(tǒng)的性能，進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)。在Coolsnap 數(shù)字CCD 相機(jī)近入瞳處放置隨機(jī)相位板，對(duì)模擬圖像進(jìn)行成像，拍攝時(shí)故意產(chǎn)生一定離焦，如圖5(a)所示。圖5(b)為盲反卷積算法100 次迭代復(fù)原解碼圖像，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示復(fù)原解碼后圖像已沒(méi)有離焦的影響。

圖4 算法迭代次數(shù)與復(fù)原圖像估計(jì)誤差關(guān)系Fig.4 Relationship of algorithm iterations and restored image estimate error

圖5 實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)圖像Fig.5 Experiment image of laboratory

4 結(jié)論

本文展示了一種對(duì)傳統(tǒng)光學(xué)像差不敏感的混合光學(xué)成像系統(tǒng)，系統(tǒng)包括2 部分:傳統(tǒng)光學(xué)系統(tǒng)和數(shù)字圖像處理。在光學(xué)系統(tǒng)的孔徑光闌上加裝一個(gè)隨機(jī)相位板，對(duì)有像差的圖像進(jìn)行編碼，用數(shù)字圖像處理方法復(fù)原編碼圖像獲得高分辨圖像。編碼圖像復(fù)原算法采用盲反卷積，并采用頻域共軛梯度優(yōu)化方法，提高復(fù)原速度，通過(guò)盲反卷積復(fù)原編碼圖像，使圖像中隨機(jī)擾動(dòng)和噪聲得到有效消除。計(jì)算機(jī)模擬和實(shí)驗(yàn)室結(jié)果顯示，所提出的混合光學(xué)成像系統(tǒng)在一定像差范圍內(nèi)具有不受光學(xué)像差影響，并具有抑制噪聲的能力，成像質(zhì)量達(dá)到或接近光學(xué)系統(tǒng)衍射極限水平。通過(guò)采用隨機(jī)編碼相位板混合光學(xué)成像系統(tǒng)，可以降低光學(xué)設(shè)計(jì)和加工成本，在消除傳統(tǒng)光學(xué)系統(tǒng)像差和提高光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的方法上提供了一個(gè)新的途徑。

References)

［1］ Born M，Wolf E.Principles of optics［M］.7th ed.London:Cambridge University Press，1999.

［2］ Geiser Martial.Strehl ratio and aberration balancing［J］.J Opt Soc Am，1991，8:164-170.

［3］ Berge T.Aberration balancing in rotationally symmetric lenses［J］.J Opt Soc Am，1974，64:1083-1091.

［4］ Castaneda J O，Berriel-Valdos L R.Zone plate for arbitrary high focal depth［J］.Appl Opt，1990，29:994-997.

［5］ Ben-Eliezer E，Zalevsky Z，Marom E，et al.Radial mask for imaging system that exhibit high resolution and extended depth of field［J］.Appl Opt，2006，45:2001-2013.

［6］ Pauca V P，Plemmons R J，Prasad S T，et al.Intergrated opticaldigital approaches for enhancing image restoration and focus invariance［J］.Proc of SPIE，2003，5205:348-357.

［7］ Zalevsky Z，Shemer A，Zlotnik A，et al.All-optical axial super resolving imaging using low-frequency binary-phase mask［J］.Opt Express，2006，14:2631-2643.

［8］ Hui Z，Huajun F，Qi L.Research on design of optimum phase mask for wave-front coded imaging system［J］.Proc of SPIE，2007，6834:68342.

［9］ George N，Chi W.Computational imaging with the logarithmic asphere:theory［J］.J Opt Soc Am，2003，A20:2260-2273.

［10］ Dowski E R，Cathey W T，Bradburn S C.Aberration invariant optical/digital incoherent systems［J］.Optical Review，1996，3(6A):429-432.

［11］ Cathey W T，Dowski E R.New paradigm for imaging system［J］.Appl Opt，2002，41(29):6080-6092.

［12］ Amikam Borkowski，Zeev Zalevsky，Emanuel Marom，et al.Enhanced geometrical superresolved imaging with moving binary random mask［J］J Opt Soc Am，2011，A28:566-575.

［13］ 馬拉卡拉D.光學(xué)車(chē)間檢驗(yàn)［M］.白國(guó)強(qiáng)，薛君敖，譯.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1983，461.Malacara D.Optical shop testing［M］.BAI Guo-qiang，XUE Jun-ao，translated.Beijing:China Machine Press，1983，461.(in Chinese)

［14］ Tatarski V I.Wave propagation in a turbulent medium［M］.New York:McGraw-Hill，1961.

［15］ Ayers G，Dainty J.Iterative blind deconvolution method and its application［J］.Opt Lett，1988，13(7):547-549.

［16］ Schulz T.Muliframe blind deconvolution of astronomical images［J］.J Opt Soc Am，1993，A10(5):1064-1073.

［17］ Press W H，Teukolsky S A，Vetterling W T，et al.Numerical recipes in C++:the art of scientific computing［M］.2nd ed.Cambridge:Cambridge University Press，2002.