史勝楠

(陜西科技大學(xué)理學(xué)院， 陜西 西安 710021)

0 引 言

線(xiàn)性微分方程在很多科技領(lǐng)域有著廣泛而重要的應(yīng)用，如生態(tài)學(xué)、空間技術(shù)以及彈道計(jì)算等.目前對(duì)一階線(xiàn)性微分方程的通解公式、常系數(shù)線(xiàn)性微分方程的求解方法和線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)已有確定的結(jié)論[1-3]，但在實(shí)際應(yīng)用中我們經(jīng)常會(huì)遇到高階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程，一般情況下這類(lèi)方程無(wú)法利用初等積分法求解，而一些特殊類(lèi)型的高階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程可以通過(guò)變量代換等方法求得通解，例如歐拉方程.為了滿(mǎn)足理論研究和實(shí)際應(yīng)用的需要，人們不斷地利用各種方法來(lái)研究高階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程的可解性，并且給出了很多可解類(lèi)型[4-10].本文利用帶導(dǎo)數(shù)的變量代換，討論了三階、四階和五階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程常系數(shù)化的充分條件，總結(jié)其變化規(guī)律最終得到了n階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程的一個(gè)新的可積類(lèi)型，同時(shí)給出實(shí)例加以驗(yàn)證.

1 預(yù)備知識(shí)

令z=y′-uy，則有

y′=z+uy

y″=z′+u′y+uy′=z′+uz+(u′+u2)y

y?=z″+uz′+(2u′+u2)z+(u″+3uu′+u3)y

y(4)=z?+uz″+(3u′+u2)z′+(3u″+5uu′+u3)z+[u?+3(u′)2+4uu″+6u2u′+u4]y

可見(jiàn)，y(n+1)可用z(n)、z(n-1)、…、z′、z、y線(xiàn)性表示,表示規(guī)律如下：

(1)y(n+1)中z(n)的系數(shù)為1. (n=0,1,2,…)

(2)y(n+1)中z(k)的系數(shù)=[y(n)中z(k-1)的系數(shù)]+[y(n)中z(k)系數(shù)的導(dǎo)數(shù)].(k=1,2,…,n-1;n=0,1,2,…)

(3)y(n+1)中z的系數(shù)=[y(n)中y的系數(shù)]+[y(n)中z系數(shù)的導(dǎo)數(shù)].(n=1,2,…)

(4)y(n+1)中y的系數(shù)=[y(n)中y系數(shù)的導(dǎo)數(shù)]+u×[y(n)中y的系數(shù)].(n=0,1,2,…)

根據(jù)以上遞推規(guī)律，可由y(n)的表達(dá)式推出y(n+1)的表達(dá)式.

例如:已知y(4)的表達(dá)式,利用以上規(guī)律可得

y(5)=z(4)+uz?+(4u′+u2)z″+(6u″+7uu′+u3)z′+[4u?+8(u′)2+9uu″+9u2u′+u4]z

+[u(4)+10u′u″+5uu?+15u(u′)2+10u2u″+10u3u′+u5]y

經(jīng)檢驗(yàn)y(5)的表達(dá)式是正確的.

2 主要內(nèi)容

對(duì)于一般形式的三階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程

P3(x)y?+P2(x)y″+P1(x)y′+P0(x)y=f(x)

(1)

作變換

z=y′-uy

(2)

方程(1)被轉(zhuǎn)化為

Q3z″+Q2z′+Q1z+Δ1y=f(x)

(3)

其中Q3=P3

Q2=P3u+P2=uQ3+P2

當(dāng)以上3式同時(shí)成立時(shí)，方程(3)可化簡(jiǎn)為

z″+c2z′+c1z=f(x)/P3(P3≠0)

(4)

如上推導(dǎo)可得以下結(jié)論.

定理1：一般形式的三階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程

P3(x)y?+P2(x)y″+P1(x)y′+P0(x)y=f(x)

(1)

的系數(shù)滿(mǎn)足關(guān)系式

z″+c2z′+c1z=f(x)/P3(P3≠0)

(4)

注:定理1中方程(4)為二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程，求出通解后，將其帶入變換z=y′-uy中,此變換是關(guān)于y的一階線(xiàn)形微分方程，可求通解.

利用以上方法還可以得到四階、五階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程可解的充分條件.

定理2：一般形式的四階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程

P4(x)y(4)+P3(x)y?+P2(x)y″+P1(x)y′+P0(x)y=f(x)

(5)

的系數(shù)滿(mǎn)足以下關(guān)系式

z?+c3z″+c2z′+c1z=f(x)/P4(P4≠0)

(6)

定理3：一般形式的五階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程

P5(x)y(5)+P4(x)y(4)+P3(x)y?+P2(x)y″+P1(x)y′+P0(x)y=f(x)

(7)

系數(shù)滿(mǎn)足以下關(guān)系式

z(4)+c4z?+c3z″+c2z′+c1z=f(x)/P5(P5≠0)

(8)

觀(guān)察總結(jié)一般形式的三階、四階和五階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程可解條件的規(guī)律，可得n階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程可解的充分條件如下：

設(shè)一般形式的n階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程

Pn(x)y(n)+P(n-1)(x)y(n-1)+…+P1(x)y′+P0(x)y=f(x)

(9)

z(n-1)+cn-1z(n-2)+…+c2z′+c1z=f(x)/Pn(Pn≠0) (k=0,1,2,…,n-1;m=1,2,…,n)

(10)

(2)在A(yíng)n(n+1)中：aij=0 (i>j)；ai(n+1)=ci-1-cicn-1(i=1,2,…,n)，規(guī)定cn=1,c0=0.

(3)由aij(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n)構(gòu)成一個(gè)n階方陣Bn=(aij)n，該方陣關(guān)于副對(duì)角線(xiàn)對(duì)稱(chēng).

(4)在Bn中:a1j=cn+1-j=a(n+1-j)n(j=1,2,…,n).

(5)Bn中的其余元素aij可由a(i-1)j和ai(j+1)確定.

根據(jù)Bn關(guān)于副對(duì)角線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，可設(shè)a(i-1)j=k1cm，ai(j+1)=k2cm,則有aij=(k1+k2)cm+1.

綜上可知Bn為一個(gè)上三角矩陣，且ci(i=1,2,…,n)的系數(shù)排列滿(mǎn)足楊輝三角形的規(guī)律.

按以上規(guī)律可直接得到六階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程可解的充分條件：

定理5：一般形式的六階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程

P6(x)y(6)+P(5)(x)y(5)+…+P1(x)y′+P0(x)y=f(x)

(11)

系數(shù)滿(mǎn)足以下規(guī)律(k=0,1,2,…,4;m=1,2,…,6):

z(5)+c5z(4)+c4z?+c3z″+c2z′+c1z=f(x)/P6(P6≠0)

(12)

據(jù)以上結(jié)論，可得到n階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程一個(gè)新的可解類(lèi)型.

推論1：對(duì)于一般形式的n階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程

Pn(x)y(n)+P(n-1)(x)y(n-1)+…+P1(x)y′+P0(x)y=f(x)

(9)

當(dāng)系數(shù)滿(mǎn)足如下規(guī)律時(shí)：

3 例 題

例1求解下列方程

(13)

其中c1=1，c2=0,c3=2,c4=0,故方程(13)可解.

(14)

代入方程(13)中，可將原方程轉(zhuǎn)化為

z(4)+2z″+z=kx+m

(15)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文利用帶導(dǎo)數(shù)的變量代換討論了三階、四階和五階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程可解的充分條件，觀(guān)察其中規(guī)律，最終得到了一般形式n階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程的一個(gè)新的可解類(lèi)型.本文所做變量代換僅含有未知函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，在以后的研究中，作者會(huì)嘗試?yán)脦Ц唠A導(dǎo)數(shù)的變量代換來(lái)處理三階以及三階以上的變系數(shù)線(xiàn)性微分方程，期望得到更多高階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程的可解類(lèi)型.

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