王玉萍

(陜西科技大學(xué)理學(xué)院， 陜西 西安 710021)

0 引 言

法國(guó)數(shù)學(xué)家劉維爾(Liouville)在1841年證明了著名的黎卡提(Riccati)方程

(1)

一般是不可積的,即不能用初等積分法求解.由于它在流體力學(xué)和彈性振動(dòng)理論等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用,因此,對(duì)Riccati方程的求解仍不失時(shí)代意義.許多學(xué)者對(duì)Riccati方程的可積性做過(guò)大量研究[1-8].本文將Riccati方程(1)推廣成Riccati型方程：

(2)

利用變量代換的方法，給出其可積性的幾個(gè)充分條件及其對(duì)應(yīng)的通積分.值得一提的是，所得一些結(jié)果既包含了已有文獻(xiàn)中的一些結(jié)論，同時(shí)也豐富了Riccati方程的可積性理論.

1 主要結(jié)論

定理1 若存在可微函數(shù)φ=φ(x)滿足：

(3)

則方程(2)可積且對(duì)應(yīng)的通積分為

(4)

證明 作變換

(5)

把y,y′代入方程(2)得

整理得

由條件(3)得,u′=Pu2+(Q-2φ)u,這是伯努利方程，其通解為

故方程(2)可積，由式(5)得式(2)的通積分為式(4).

證明 在定理1中令φ=Q即得.

注 在推論中取f(y)=y，可得方程(1)可積的條件及通積分.

推論1.2 若R=Q-P,則方程(2)可積且通積分為

證明 在定理1中令φ=P即得.

證明 在定理1中令φ=R即得.

推論1.4 若R=Q2(1-P)-Q′,則方程(2)可積且通積分為

證明 在定理1中令φ=PQ即得.

證明 在定理1中令φ=Q/2即得.

注：在推論1.5中令f(y)=y，則結(jié)論為文獻(xiàn)[7]的定理4.

定理2 若存在函數(shù)φ=φ(x)滿足

(6)

則方程(2)可積且通積分為

(7)

(8)

將式(7)、(8)代入方程(2)得

所以

(9)

這是一個(gè)以u(píng)為未知元的Riccati方程，由條件(6)及引理知方程(9)可積且其通積分為

由式(7)得方程(2)的通積分為

證明 在定理2中令φ=0即得.

注：在定理2中令f(y)=y即得引理，顯然引理是定理2的推廣.

證明 在定理2中令φ=-Q即得.

推論2.3 若存在k≠0，使得P=kQ-k2R，則方程(2)可積.

證明 在定理2中令φ=Q-kR(k≠0常數(shù))即得.

注：當(dāng)取k=1，得R=Q-P時(shí)可積，這與推論1.2可積性結(jié)論一致. 當(dāng)取k=1/K，則結(jié)論為文獻(xiàn)[3]定理4.

整理得

注：在定理及推論中取f(y)=y，可得方程(1)可積的一系列條件，從而擴(kuò)大了Riccati方程可解的范圍.

2 舉例

解 該方程變形為

(10)

(11)

參考文獻(xiàn)

[1] 馮錄祥.關(guān)于一類Riccati方程可積性條件的注記[J].科學(xué)技術(shù)與工程,2010，10(18):4 469-4 471.

[2] ZHAO Lin-long. The intergrable condition of Riccati differential equation[J]. Chinese Quarterly Journal of Mathematics, 1999, 14(3):67-70.

[3] 馮錄祥.一類Riccati方程的推廣[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2000，30(2):235-239.

[4] 竇霽虹. Riccati方程的可積性條件[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2006,22(1):19-24.

[5] 王玉萍. Riccati型微分方程可積性的充分條件[J].陜西科技大學(xué)學(xué)報(bào),2006,(6):141-143.

[6] 馮錄祥，魏列萍.Riccati方程可積的若干充分條件[J].咸陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào),2000,(3):16-18.

[7] 趙有為.Riccati方程可積的一些可積形式[J].益陽(yáng)師專學(xué)報(bào),2000，17(5):6-8.

[8] Li Hongxiang.Elementary quadratures of ordinary differential equations[J].Amer.Math. Monthly,1982,89(3):198-208.