肖波齊， 蘭金標(biāo)， 張 偉， 李秋杰

(三明學(xué)院物理與機(jī)電工程系， 福建 三明 365004)

0 引 言

單擺的周期是物理學(xué)中的一個(gè)重要問題.在大學(xué)物理的力學(xué)教學(xué)中都要研究單擺，單擺周期的求解有許多種近似方法[1-9],如余弦函數(shù)近似法、拋物線函數(shù)近似法、疊代法等[1].建立物理模型是研究和解決物理問題的關(guān)鍵，而單擺模型是討論和處理有關(guān)單擺運(yùn)動(dòng)必不可少的要素，尤其是對(duì)于研究單擺的運(yùn)動(dòng)周期.由于單擺或者類單擺的運(yùn)動(dòng)都是在一定的環(huán)境中進(jìn)行,在運(yùn)動(dòng)過程中或多或少會(huì)受到阻力的作用,而筆者所看到的很多有阻力的單擺的研究文獻(xiàn)都是基于小角度情況下的,因此具有一定的局限性.在小角度下，一般在θ≤5°考慮，過于簡單和理想化,而在很多情況下單擺的擺角都是大于5°.

在研究單擺問題時(shí)，大部分的學(xué)者都是運(yùn)用近似方法對(duì)sinθ角度近似(角度近似也都是通過三角函數(shù)近似或者二倍角近似)，最終使單擺公式簡化，得到比較簡單的單擺運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,從而分析其周期T和一些因素(擺角、擺長、小球半徑、阻尼介質(zhì)等)的關(guān)系.也有的是直接分析所得到的單擺運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，然后經(jīng)過計(jì)算機(jī)模擬得到其運(yùn)動(dòng)軌跡圖像，從圖像中來研究單擺現(xiàn)象.

筆者在本文中通過對(duì)空氣阻力大擺角單擺的方程進(jìn)行近似，運(yùn)用泰勒級(jí)數(shù)展開sinθ，用大角近似，然后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)微分方法計(jì)算單擺的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)計(jì)算出周期T0，該方法避免了在解周期T時(shí)十分復(fù)雜和困難的積分運(yùn)算.在空氣阻力下大角度的研究對(duì)單擺周期的理論有重要的意義和科學(xué)價(jià)值，本文的研究成果對(duì)單擺的理論認(rèn)識(shí)具有很好的指導(dǎo)作用.

1 考慮空氣阻力時(shí)大角度單擺運(yùn)動(dòng)學(xué)方程及其解析解

與理想的單擺的模型相比，本模型考慮到空氣阻力及單擺運(yùn)動(dòng)的角度較大(90°>θ>5°).單擺在受到阻力、驅(qū)動(dòng)力下由牛頓第二定理可知運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

(1)

公式(1)在沒有驅(qū)動(dòng)力的情況下可以轉(zhuǎn)化為：

(2)

在大擺角情況下sinθ可按級(jí)數(shù)展開：

sinθ=θ-θ3/3!+θ5/5!-…

(3)

當(dāng)θ=π/2時(shí)，θ3/3!≈0.645，θ5/5!≈0.079 5<<0.645，θ7/7!≈0.004 665<<0.079 5，θ9/9!<<0.004 665,……, 所以如果θ的取值范圍在θ<π/2時(shí)，該級(jí)數(shù)是收斂的, 我們后面的討論也是在θ<π/2的范圍內(nèi)進(jìn)行的，這樣可以省略(3)式5次方以上的項(xiàng)，得到：

sinθ=θ-θ3/3!

(4)

將(4)式代入(2)式中得：

(5)

已有文獻(xiàn)得到在大角度和有阻尼時(shí)單擺的運(yùn)動(dòng)方程的解析解為[3]：

θ=θ0e-β tsin(ωt)

(6)

對(duì)(6)式求一階和二階導(dǎo)數(shù)：

(7)

(8)

式(8)中β>0,t>0，可知e-β t和e-3β t指數(shù)函數(shù)圖像取右端的一部分，它們在[0～1]取值，故在誤差范圍內(nèi)誤差比較小，可近似得到：

e-β t≈e-3β t

(9)

分別將(6)式與(9)式代入(4)式近似得到：

(10)

又因?yàn)椋?/p>

sin3(ωt)]=[3sin(ωt)-sin(3ωt)]/4

(11)

將(11)式代入(10)式進(jìn)行近似得到：

(12)

然后將(7)、(8)及(12)式一起代入(2)式可得：

(13)

(13)式兩邊同時(shí)除以(6)式可得：

(14 )

整理(14)式可得：

(15)

又由周期T=2π/ω，可以得到在考慮空氣阻力下大角度單擺的周期為：

(16)

在理想情況下單擺的周期為：

T0=2π/ω0

(17)

在考慮空氣阻力下大角度單擺的周期T與在理想情況下單擺的周期T0的比值為：

(18)

2 結(jié)果分析

表1 x=θ0π/180與y=T0/T的關(guān)系

圖1 y=T0/T與x=θ0π/180的關(guān)系曲線

從圖1可以看出，隨著弧度的增大，T0/T的值是減小的.T0/T與θ0的關(guān)系曲線呈下降趨勢，這是與實(shí)際情況符合的，因?yàn)槿绻覀兛紤]空氣阻力，則大角度單擺的周期T是隨著角度的增大而增大的.

3 結(jié)束語

本文在考慮空氣阻力情況下推導(dǎo)出大角度單擺的動(dòng)力學(xué)方程近似解，在這里進(jìn)行近似的目的是為了將大角度單擺的動(dòng)力學(xué)方程用數(shù)學(xué)方法來簡化，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與微分的方法來計(jì)算單擺的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程, 通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到其周期T，該方法避免了在解周期T時(shí)十分復(fù)雜和困難的積分運(yùn)算.在空氣阻力下的大角度的研究對(duì)單擺周期的理論有重要的意義和科學(xué)價(jià)值.本文的研究成果對(duì)單擺的理論認(rèn)識(shí)具有很好的指導(dǎo)作用，有助于日常生活中一些類單擺的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)問題的解決.有空氣阻力大擺角單擺的運(yùn)動(dòng)學(xué)研究充實(shí)了對(duì)單擺的研究，而且該近似方法的運(yùn)用能夠使一些復(fù)雜的問題和公式得以簡化. 當(dāng)然本問題的近似解與精確解相比還存在一定的誤差，這也是今后需要改進(jìn)的，有待于我們進(jìn)行進(jìn)一步的研究.

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