畢 湧, 肖湘萍

(中北大學理學院， 山西 太原 030051)

0 引 言

關于傳染病傳播的數(shù)學模型的研究是從En′ko(1889)開始的，作為奠基性的工作是1927年Kerinark和Mekendrick的工作．他們將總人口分為易感者(S)、染病者(I)和恢復者(R)3類，利用動力學的方法建立了SIR傳染病模型，并對其傳播規(guī)律和流行趨勢進行了研究，提出了閾值理論：若種群中易感者的數(shù)量高于閾值，傳染病將維持；低于閾值，傳染病將趨于絕滅．近20年來，國際上傳染病動力學的研究進展迅速，大量的數(shù)學模型被用于分析各種各樣的傳染病問題．這些數(shù)學模型大多適用于各種傳染病的一般規(guī)律的研究，也有部分是針對諸如麻疹(measles)、瘧疾(malaria)、肺結核(tuberculosis)、 流感(influenza)、 天花(smallpox)、淋病(gonorrhea)、艾滋病(ADIS)等諸多具體疾病的模型.從傳染病的傳播機理來看，這些模型涉及接觸傳染、垂直傳染、媒介傳染等不同傳染方式以及是否考慮因病死亡、因病或預防接種而獲得暫時免疫或終身免疫.種群生長的不同動力學規(guī)律等因素構成了豐富多彩的傳染病模型．

1 具有標準傳染率的模型分析

1.1 建立模型

我們考慮如下模型：

(1)

1.2 平衡點及其穩(wěn)定性

下面我們研究無病平衡點E0的全局性態(tài)．

定理1.1 對于系統(tǒng)(1)，若基本再生數(shù)R0≤1，則無病平衡點E0全局穩(wěn)定．

證明：定義一個全局Lyapunov函數(shù)

求導可得:

定理1.1的生物意義如下：若一個病毒在其存活的周期內繁殖的病毒不多于1個，則病毒不能成功的入侵宿主并且它會很快被清除．

下面我們討論正平衡點

的局部穩(wěn)定性.

引理(Hurwitz判據(jù)) 考慮多項式方程

λn+a1λn-1+a2λn-2+…+an-1λ+an=0

所有根具有負實部的充要條件是

k=1,2,…,n.其中j>n時，補充定義aj=0．

定理1.2 對于系統(tǒng)(1)，若R0>1，則系統(tǒng)存在唯一正平衡點E*，且此平衡點E*是局部穩(wěn)定的．

證明：對于系統(tǒng)(1)，其Jacobian矩陣為

A的特征矩陣xE-A為

A的特征方程|B|=0為

其中：

因為rdII=dVV，所以rdII2TdT-ITdTVdV=0，得a3的分子為

a31=-dI(-VλdVI-VλdVT+dIITVdV+dIIT2dIr)

=-dI[-VλdVI-VλdVT+dITI(VdV+TdTr)]

=-dI(-VλdVI-VλdVT+dITIrλ)

=VdIdVI(TdT+dII)

由于rdII=dVV，所以a2的分子為a21=-dI2ITV+VλdVI+VλdII+VλdIT+dIITdTV,再整理得:

顯然a1，a2都大于0．

顯然a1a2-a3>0．因此H1，H2，H3都大于0，所以A的所有特征值均具有負實部，本系統(tǒng)的零解漸進穩(wěn)定，可見E*局部穩(wěn)定．

定理1.2所表示的生物意義如下：若一個病毒在其存活的周期內繁殖的病毒多于1個，則病毒能成功的入侵宿主細胞．

參考文獻

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