劉曉娜, 陳斯養(yǎng)

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710062)

0 引 言

1973年May研究了以下模型[1]

的穩(wěn)定性和Hopf分支問題. 文獻[2]研究了一類Logistic模型

的正平衡態(tài)局部穩(wěn)定性和Hopf分支方向及周期解穩(wěn)定性問題.

考慮到環(huán)境對食餌種群增長的影響,本文研究了以下模型

(1)

的局部穩(wěn)定性及Hopf分支問題, 其中H(t)和p(t)分別表示食餌種群和捕食者種群在t時刻的密度, 參數(shù)r,K,α,β,b,c為正常數(shù),τ表示捕食者從幼年到成年的成熟期(捕食者只有成年后才具有捕食能力)和被捕食者從幼年到成為食餌的生長期. 食餌的增長受時滯密度制約和其他因素的持續(xù)影響,取弱核函數(shù)F(t)=me-mt. 模型(1)滿足初值條件

H(s)=φ1(s)≥0,p(s)=φ2(s)≥0,s∈[-τ,0],φi(0)>0,φi(t)∈C([-τ,0,R+),i=1,2

(2)

(3)

證明 選取Lyapunov泛函

則V(t;X1,X2,X3)沿著系統(tǒng)(3)的全導(dǎo)數(shù)為

由Lyapunov穩(wěn)定性理論可知定理1得證.

2 正平衡態(tài)的穩(wěn)定性與Hopf分支存在的條件

作變換H(t)=X1(t)+H*,p(t)=X2(t)+p*,u(t)=X3(t)+u*得到式(2)在E*處的線性系統(tǒng)

(4)

系統(tǒng)(4)特征方程如下

λ3+a1λ2+a2λ+a2λ2e-λτ+a4λe-λτ+a5λe-2λτ+a6e-λτ+a7e-2λτ+a8=0

(5)

其中a1=b-αp*+m,a2=rcH*m-αbp*+mb-αmp*,a3=-b+r(1-cH*),

a4=2αbp*+br(1-cH*)-bm+mr(1-cH*),a5=-br(1-cH*),

a6=2αbmp*+brm-2rbcmH*,a7=-brm(1-cH*),a8=rbcmH*-αbmp*.

引理2 當(dāng)τ=0時,式(5)的所有根均具有負實部.

證明 假設(shè)式(5)存在一對純虛根±iω(ω>0)，把λ=iω代入式(5), 分離實虛部得:

(6)

經(jīng)計算可知

(7)

d5=a1a4-a2a3-a3a5-a6,d6=-a4a7-a4a8+a2a6+a5a6,

d7=a4-a1a3,d8=a3a8+a4a5+a1a6-a3a7-a2a4,d9=a6a7-a6a8.

因為sin2ωτ+cos2ωτ=1,由式(7)可得

ω12+f1ω10+f2ω8+f3ω6+f4ω4+f5ω2+f6=0

(8)

令z=ω2, 則式(8)化簡為

z6+f1z5+f2z4+f3z3+f4z2+f5z+f6=0

(9)

從而

其中

由以上分析可得如下定理2.

3 Hopf分支的方向與周期解的穩(wěn)定性

在這一部分，將采用規(guī)范型方法及中心流形定理分析系統(tǒng)(2)在臨界值τ0處的Hopf分支方向及周期解的穩(wěn)定性.

引理5[4]μ2決定了Hopf分支的方向,如果μ2>0(0),則Hopf分支是超臨界(亞臨界)的, 在τ>τ0(<τ0)時,分支周期解存在.β2決定了分支周期解的穩(wěn)定性,β2<0(>0)分支周期解是穩(wěn)定的(不穩(wěn)定的).T2決定了分支周期解的周期,如果T2>0(<0)周期是增加(減少)的.

4 數(shù)值模擬

例1

從圖1(a)～(f)中可以看出τ<τ0時出現(xiàn)Hopf分支, 周期解是不穩(wěn)定的, 振幅減小(見圖1(a)～(b)), 周期比τ=τ0時增大(見圖1(c)～(d)),與引理5結(jié)論相符.τ<τ0時振幅減小,最終趨于穩(wěn)定(見圖1(e)). 當(dāng)τ大于τ0系統(tǒng)(2)的正平衡點E*是不穩(wěn)定的, 種群可能趨于滅絕(見圖1(f)).

例2

從圖2(a)～(f)可以看出τ>τ0時出現(xiàn)Hopf分支, 周期解是穩(wěn)定的(見圖2(a)～(b)),周期比τ=τ0時減小, 與引理5結(jié)論相符(見圖2(c)～(d)).τ<τ0時(微小鄰域), 系統(tǒng)(2)的正平衡點E*是漸近穩(wěn)定的(見圖2(e)～(f)),與定理1結(jié)論相符.

圖1 τ取不同值時周期解擾動情況

圖2 τ對穩(wěn)定性的影響

例3 對模型中不同參數(shù)取值進行對比分析,其中c,m對系統(tǒng)(1)的影響見表1;α,β,b,c,r,K對系統(tǒng)(1)的影響見表2.

表1 系數(shù)c,m對系統(tǒng)(1)的影響

從表1可以看出環(huán)境對食餌增長率的影響可以擴散至整個系統(tǒng):

表2 其它參數(shù)對系統(tǒng)(1)的影響

從表2中可以看出:

圖3 τ=0.389<τ0產(chǎn)生Hopf分支

圖4 τ=6.783 7>τ0產(chǎn)生Hopf分支

圖5 τ=0.418<τ0產(chǎn)生Hopf分支

圖6 τ=1.3>τ0產(chǎn)生Hopf分支

圖7 τ=0.3>τ0產(chǎn)生Hopf分支

參考文獻

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