惠 錦 楊洪耕

（四川大學(xué)電氣信息學(xué)院 成都 610065）

1 引言

間諧波和閃變的研究在電能質(zhì)量領(lǐng)域已引起廣泛關(guān)注[1-8]，變頻裝置及高壓直流輸電的使用導(dǎo)致大量間諧波注入電力系統(tǒng)。間諧波頻率與基頻的不同步會(huì)使信號(hào)峰值和有效值發(fā)生周期性波動(dòng)，從而引發(fā)信號(hào)閃變。在閃變的成因上，研究表明，由間諧波引起的電壓閃變已逐步占據(jù)主導(dǎo)地位[7-8]。目前對(duì)間諧波分析的研究重點(diǎn)主要為：①如何判定間諧波是否存在；②若間諧波存在，如何準(zhǔn)確檢測(cè)出主導(dǎo)間諧波成分。

離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform,DFT）和快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform,FFT）是目前分析諧波、間諧波的最常用工具。但是觀測(cè)數(shù)據(jù)的有限性和采樣的非同步性會(huì)使信號(hào)在頻域出現(xiàn)頻譜泄漏。抑制泄漏影響最簡(jiǎn)單的方法就是加長(zhǎng)采樣窗口或者選取合適的窗口長(zhǎng)度，使信號(hào)中各個(gè)頻率成分近似相互同步[9]。但是當(dāng)信號(hào)中含有間諧波時(shí)，滿足同步條件的采樣窗口往往非常長(zhǎng)，不能滿足IEC61000?4?7 的推薦標(biāo)準(zhǔn)[10]（對(duì)于60Hz和50Hz 系統(tǒng)分別為十二個(gè)周波和十個(gè)周波），在信號(hào)非平穩(wěn)的情況下也是不適用的?，F(xiàn)有的同步鎖相技術(shù)或軟件插值方法已可使采樣頻率同步跟蹤信號(hào)基頻，此時(shí)由諧波間干擾引發(fā)的檢測(cè)誤差已占據(jù)次要地位或接近于零。由于間諧波頻率的不可預(yù)見(jiàn)性，采樣在十個(gè)周波內(nèi)很難做到對(duì)間諧波同步，此時(shí)諧波和間諧波之間的頻譜干擾必然存在。而引起閃變的間諧波往往與諧波非常接近，它們的相互干擾成了檢測(cè)誤差的主要來(lái)源。

文獻(xiàn)[11]根據(jù)IEC61000?4?7，提出了一種同步采樣下（以下的同步采樣均是指采樣對(duì)基頻的同步）基于時(shí)域平均（Time Domain Averaging，TDA）的檢測(cè)方法，該方法在一定程度上抑制了諧波和間諧波間的頻譜干擾[11-12]。但其計(jì)算所得諧波參數(shù)與對(duì)信號(hào)直接進(jìn)行DFT 所得參數(shù)完全相等，間諧波對(duì)諧波的干擾仍然存在[12]。當(dāng)某一間諧波頻率與諧波頻率非常接近（小于一個(gè)頻率分辨率）時(shí)，主瓣發(fā)生重疊，上述方法和以往的加窗插值方法[13-21]在此情況下對(duì)于區(qū)分諧波和間諧波成分是無(wú)能為力的。

本文同樣以 IEC 推薦的采樣窗口長(zhǎng)度和形狀（矩形窗）為前提，提出了一種諧波、間諧波分離檢測(cè)法。其關(guān)鍵在于利用非諧波頻點(diǎn)的離散頻譜，估算間諧波在諧波頻點(diǎn)上的泄漏值，從而準(zhǔn)確提取出信號(hào)中的諧波成分，實(shí)現(xiàn)諧波、間諧波的分離。在計(jì)算泄漏值時(shí)，通過(guò)變量重組，把非線性方程組轉(zhuǎn)化為線性方程組來(lái)求解，提高了計(jì)算速度和精度。仿真和現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)算例證明了此方法即使在諧波和間諧波發(fā)生主瓣重疊的情況下，依然可以得到滿意的結(jié)果。

2 間諧波引起閃變

間諧波頻率和基頻的不同步，使信號(hào)峰值和有效值發(fā)生周期性波動(dòng)，引起信號(hào)閃變。如圖1 所示為一含有間諧波的波動(dòng)信號(hào)。波動(dòng)頻率為

式中，if 為間諧波頻率；hf 為離間諧波最近的諧波頻率。對(duì)應(yīng)圖1，。

圖1 含47Hz 間諧波的信號(hào)波形 Fig.1 Waveform of a signal containing 47Hz interharmonic

3 諧波間諧波之間的頻譜干擾

3.1 間諧波對(duì)諧波頻譜的干擾

令諧波信號(hào)：

表1 諧波信號(hào)參數(shù) Tab.1 Harmonic signal parameters

DFT/FFT 是對(duì)信號(hào)連續(xù)頻譜 DTFT（Discrete Time Fourier Transform）的采樣。當(dāng)信號(hào)中只含諧波成分且采樣同步時(shí)，DFT/FFT 所得諧波參數(shù)完全準(zhǔn)確，各諧波成分在離散頻譜上不存在相互干擾，如圖2 所示。

圖2 諧波信號(hào)的幅值頻譜圖 Fig.2 Amplitude spectra of a signal without interharmonic

當(dāng)信號(hào)中含有間諧波時(shí)

采樣對(duì)間諧波而言是非同步的，其連續(xù)頻譜DTFT 在諧波對(duì)應(yīng)頻點(diǎn)上不為零，通過(guò)DFT/FFT 檢測(cè)到的諧波參數(shù)會(huì)有誤差，如圖3 所示。根據(jù)時(shí)域頻域的相互關(guān)系，可以通過(guò)加長(zhǎng)采樣窗口的長(zhǎng)度以減小間諧波對(duì)諧波的干擾，但是，這正是矛盾所在，IEC 標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定為10 個(gè)周波，因此如何在10 個(gè)周波條件下作準(zhǔn)諧波和間諧波檢測(cè)是本文要討論的。

圖3 含間諧波信號(hào)的幅值頻譜圖 Fig.3 Amplitude spectra of a signal with interharmonic

3.2 諧波對(duì)間諧波頻譜的干擾

圖3 看出諧波對(duì)間諧波在連續(xù)頻譜DTFT 上存在干擾；但對(duì)于離散頻譜DFT/FFT 而言，由于諧波頻譜在除了各自對(duì)應(yīng)頻點(diǎn)外的其他頻點(diǎn)上為零，以5Hz 為頻率分辨率的離散頻譜（去除諧波對(duì)應(yīng)頻點(diǎn)）為間諧波單獨(dú)作用的結(jié)果。但對(duì)于目前的頻域雙峰譜線插值而言，當(dāng)諧波與間諧波的頻率差大于半個(gè)主瓣寬度時(shí)（對(duì)應(yīng)矩形窗為5Hz），諧波在DFT/FFT結(jié)果上對(duì)間諧波的兩根峰值譜線沒(méi)有影響，間諧波檢測(cè)的誤差主要是由柵欄效應(yīng)和各個(gè)間諧波之間的頻譜干擾所引起。但當(dāng)間諧波的頻率與某一諧波頻率之差小于半個(gè)主瓣寬度時(shí)，諧波在DFT/FFT 結(jié)果上就會(huì)對(duì)間諧波的兩根峰值譜線產(chǎn)生較大影響。

4 基于TDA 的諧波間諧波檢測(cè)法[11]

同步采樣下抑制諧波和間諧波間頻譜干擾的研究始于文獻(xiàn)[11]。其通過(guò)時(shí)域平均提取擬諧波信號(hào)，原始采樣信號(hào) [ ]s k 減har[ ]s k′ 得到差分信號(hào)，對(duì)應(yīng)擬間諧波信號(hào)，通過(guò)對(duì)差分信號(hào)做CZT 或補(bǔ)零DFT 分析得到間諧波參數(shù)。

差分信號(hào)與真實(shí)間諧波信號(hào)之間差異的大小主要取決于擬諧波信號(hào)的準(zhǔn)確程度。真實(shí)的間諧波信號(hào)為

與差分信號(hào)相差一個(gè)偏差量har[ ]s kΔ ，稱(chēng)之為擬諧波偏差信號(hào)，這是由間諧波對(duì)諧波頻譜的干擾所引起的。它可以作為度量諧波、間諧波分離水平或誤差的標(biāo)志。

通過(guò)基于TDA 方法檢測(cè)到的諧波參數(shù)與信號(hào)直接做DFT 所得結(jié)果完全相同[12]，其本質(zhì)只是把采樣窗口從一個(gè)周波擴(kuò)展到M（M＞1）個(gè)周波，通過(guò)加長(zhǎng)采樣窗口長(zhǎng)度來(lái)使各信號(hào)在頻域接近脈沖信號(hào)以減少頻譜干擾而已。間諧波和諧波之間的干擾依然存在，在其頻率非常接近時(shí)尤為明顯。

5 諧波間諧波分離檢測(cè)法

5.1 DFT 的理論分析

設(shè)某一電力信號(hào)包含多個(gè)頻率成分，其中某一成分

式中，A 為其幅值；? 為其相角；f 為其頻率。以sT為采樣周期對(duì)信號(hào)采樣得到

其離散傅里葉變換（DFT）為 轉(zhuǎn)換形式得到

當(dāng)sT 足夠小的時(shí)候，可以認(rèn)為

把信號(hào)的頻率寫(xiě)成

則

根據(jù)IEC61000?4?7，以50Hz 系統(tǒng)為例，推薦的采樣基波周期數(shù) 10M = 。下面分別討論Mh 為整數(shù)和非整數(shù)兩種情況。

Mh l= 為整數(shù)，則 /10h l= （l 為整數(shù)），對(duì)應(yīng)信號(hào)頻率。此時(shí)很容易得出

信號(hào)DFT 結(jié)果在除了其對(duì)應(yīng)頻點(diǎn)外的其他頻點(diǎn)上為零。若信號(hào)中各成分的頻率都是5Hz 的整數(shù)倍，那么各個(gè)成分之間不存在頻譜干擾。同步采樣下，各個(gè)諧波成分正是如此。

由此得出，采樣對(duì)諧波同步時(shí)，信號(hào)DFT 結(jié)果如果在除了諧波對(duì)應(yīng)頻點(diǎn)以外的其他頻點(diǎn)出現(xiàn)了非零值，說(shuō)明間諧波必然存在，并且這些非零值由間諧波單獨(dú)產(chǎn)生。若能夠準(zhǔn)確估算出間諧波在諧波頻點(diǎn)上的泄漏值，那么諧波參數(shù)就可以得到準(zhǔn)確估計(jì)。而本文方法估算的核心就在于，利用諧波頻點(diǎn)左右的DFT 值（由間諧波單獨(dú)產(chǎn)生）估算得到間諧波在諧波頻點(diǎn)的泄漏值。

5.2 間諧波泄漏估算

令 h ma 為所有間諧波成分在h 次諧波附近m 個(gè)頻 點(diǎn)的泄漏值（m＞0 表示在諧波頻點(diǎn)右邊，m＜0 表示在左邊）。

任一頻率為f 的間諧波頻域表達(dá)式如式（10）所示。在h 次諧波頻點(diǎn)右邊m 個(gè)頻點(diǎn)的泄漏值為

簡(jiǎn)化式（14），得

5.2.1 計(jì)及諧波附近的一個(gè)主導(dǎo)間諧波成分

設(shè)計(jì)及的主導(dǎo)間諧波頻率為1f ，則

求得系數(shù) 1fC 、1fD ，估算得到間諧波在此諧波頻點(diǎn)上的泄漏值：

5.2.2 計(jì)及諧波附近的兩個(gè)主導(dǎo)間諧波成分

設(shè)計(jì)及的主導(dǎo)間諧波頻率分別為1f 和2f ，則

重組變量：

得到線性方程組

估算得到間諧波在此諧波頻點(diǎn)上的泄漏值

用泄漏值修正原始頻譜得到真實(shí)的h 次諧波參數(shù)

若考慮負(fù)頻率成分或者多個(gè)間諧波成分，同樣可以通過(guò)變量重組把非線性方程轉(zhuǎn)換為線性方程，從而估算得到所有間諧波在各個(gè)諧波頻點(diǎn)的泄漏值。

5.3 諧波間諧波分離法的步驟

本方法的思想在于把諧波信號(hào)從原始信號(hào)中準(zhǔn)確分離出來(lái)，由此去除諧波和間諧波之間的頻譜干擾。具體步驟如下：

圖4 算法流程 Fig.4 Flow chart of the proposed method

6 算例分析

6.1 計(jì)算機(jī)仿真算例

采用文獻(xiàn)[11]中的兩個(gè)仿真信號(hào)進(jìn)行分析，具體參數(shù)見(jiàn)表2。分別對(duì)應(yīng)間諧波、諧波之間頻率差小于和大于5Hz 兩種情況：

采樣頻率對(duì)應(yīng) 200N = ， 10M = 。

表2 仿真信號(hào)參數(shù) Tab.2 Signal parameters

分別采用四種方法對(duì)各成分參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，方法1 為加矩形窗的雙譜線插值法[17]，方法2 為加Nuttall 窗的雙譜線插值法[18]，方法3 為基于TDA的方法[11]，方法4 為本文方法。

對(duì)于信號(hào)1，由于間諧波信號(hào)頻率和二次諧波頻率只相差3.5Hz，對(duì)于IEC61000?4?7 的頻率分辨率而言，在頻域其主瓣會(huì)和諧波主瓣發(fā)生干擾。對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行DFT 計(jì)算，得到離散頻譜和補(bǔ)零后的擬DTFT 連續(xù)頻譜圖如圖5 所示，從中可以看出間諧波和二次諧波無(wú)法準(zhǔn)確分離，采用以往的頻域插值算法得到的結(jié)果顯然是不可信的。對(duì)于信號(hào)2，間諧波信號(hào)頻率和基頻差 12.5Hz， 這對(duì)于IEC61000?4?7 推薦的加矩形窗的頻譜分析而言，不存在諧波和間諧波的主瓣干擾。但是對(duì)于文獻(xiàn)[18]所提方法而言，它們存在主瓣的相互干擾，因?yàn)榧哟暗哪康闹皇且种屏伺园晷孤?，而?0 個(gè)周波這么 短的窗口內(nèi)，各頻率成分間主瓣之間干擾的可能性會(huì)隨著加窗而增大。一般加窗插值的方法的采樣窗口長(zhǎng)度都不能滿足IEC 的要求。

圖5 幅值頻譜圖 Fig.5 Amplitude spectra of the signals with interharmonics

圖6 擬間諧波信號(hào)的幅值頻譜圖 Fig.6 Amplitude spectra of the interharmonic

通過(guò)表3 和表4 可以看出，本文方法可以很好地區(qū)分諧波和間諧波，計(jì)算精度上也有明顯的優(yōu)勢(shì)。雖然基于TDA 的方法也可以分辨出諧波和間諧波，但從圖7 所示的擬諧波偏差信號(hào)可看出，基于TDA的方法得到的分離誤差要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于本文方法。

圖7 擬諧波偏差信號(hào)的時(shí)域圖 Fig.7 Waveforms of the harmonic error signal

表3 間諧波頻率計(jì)算結(jié)果誤差對(duì)比 Tab.3 Calculation errors of interharmonic frequency

表4 各成分幅值相角誤差 Tab.4 Calculation errors of magnitudes and phase angles

6.2 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析算例

實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)自浙江某金屬制品廠的中頻電爐。采用橫河 DL750 為數(shù)據(jù)采集裝置，采樣頻率為1000Hz，測(cè)得基波頻率在49.99～50Hz，認(rèn)為采樣對(duì)諧波同步。測(cè)得某相電壓電流波形如圖8 所示。

從電流波形看出，負(fù)荷的波動(dòng)導(dǎo)致電流峰值和有效值發(fā)生波動(dòng)。根據(jù)這種波動(dòng)特點(diǎn)，可以判定信號(hào)中含有間諧波成分。電流中的間諧波成分流經(jīng)系統(tǒng)阻抗，形成間諧波電壓；因此測(cè)得的電壓波形也是波動(dòng)的。從波形看出，波動(dòng)頻率為3Hz 左右。

分別對(duì)電壓電流信號(hào)進(jìn)行分析，采樣窗口為IEC 推薦的十個(gè)周波，得到的DFT 離散幅值頻譜如圖9 所示。發(fā)現(xiàn)在200Hz 和300Hz 附近存在導(dǎo)致信號(hào)波動(dòng)的主導(dǎo)間諧波成分，但是由于頻譜泄漏及頻率分辨率（5Hz）的限制，無(wú)法準(zhǔn)確提取出真實(shí)的間諧波參數(shù)。

圖9 采樣信號(hào)DFT 離散幅值頻譜 Fig.9 Discrete DFT amplitude spectra of the sampled signal

對(duì)于諧波，采用基于TDA 的方法與直接對(duì)信號(hào)做DFT 得到的結(jié)果完全一致，間諧波在諧波頻點(diǎn)的 泄漏沒(méi)有考慮。對(duì)于200Hz 和300Hz 的偶數(shù)次諧波而言，由于其本身含量很小，間諧波在這兩個(gè)頻點(diǎn)的泄漏造成的影響較大，因此檢測(cè)誤差較大。若采用雙譜線插值，由于兩根譜線大部分是間諧波泄漏引起的，插值得到諧波參數(shù)顯然是完全不準(zhǔn)確的。

對(duì)于間諧波，分別采用第6.1 節(jié)中方法3 和方法4 對(duì)其進(jìn)行分析得到的補(bǔ)零DFT 結(jié)果如圖10 所示（圖中深色線為方法4，淺色線為方法3），兩個(gè)主導(dǎo)間諧波和各自對(duì)應(yīng)的諧波之間頻率差小于5Hz。此時(shí)若采用插值的方法計(jì)算間諧波參數(shù)，計(jì)算得到的間諧波成分是不可信的。

基于TDA 的方法在本質(zhì)上忽略了間諧波在諧波頻點(diǎn)的泄漏，把泄漏值包含在諧波成分里面，因此差分信號(hào)里面含有和泄漏值相對(duì)應(yīng)的擬諧波偏差信號(hào)；此偏差信號(hào)對(duì)間諧波的干擾沒(méi)有考慮，而實(shí)際上，若間諧波和對(duì)應(yīng)諧波的頻率差小于5Hz 時(shí)，擬諧波偏差信號(hào)對(duì)間諧波的干擾是非常大的。從頻域圖10 上看，就是把間諧波的一部分主瓣歸并到了諧波頻點(diǎn)的另一側(cè)，出現(xiàn)兩個(gè)虛擬主瓣，所測(cè)間諧波頻率發(fā)生右偏。這和6.1 節(jié)的仿真結(jié)果是一致的。

圖10 通過(guò)補(bǔ)零得到間諧波密集頻譜 Fig.10 Intensive amplitude spectra of interharmonics by zero-padding

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的有效性，把采樣窗口長(zhǎng)度擴(kuò)大10 倍以減小頻譜干擾，并通過(guò)補(bǔ)零峰值搜索法求得間諧波參數(shù)如圖11 所示，得到的波動(dòng)頻率都為3.2Hz；對(duì)比圖10 結(jié)果，本文方法得到間諧波頻率較為準(zhǔn)確，而基于TDA 的方法所測(cè)的頻率發(fā)生右偏約1Hz。其中幅值的差異是由信號(hào)的非平穩(wěn)性引起的，但是實(shí)際情況下，在測(cè)量的十個(gè)周波內(nèi)信號(hào)完全可以認(rèn)為是穩(wěn)態(tài)的。測(cè)量結(jié)果也表明了這點(diǎn)。

圖11 采樣窗口加長(zhǎng)后的DFT 離散頻譜 Fig.11 Discrete DFT amplitude spectra after lengthening the sampling window

7 結(jié)論

（1）同步采樣下，間諧波和諧波之間的頻譜干擾是形成檢測(cè)誤差的根本原因。信號(hào)非諧波頻點(diǎn)的DFT/FFT 值完全由間諧波產(chǎn)生。

（2）在IEC 推薦的檢測(cè)條件下，采用基于TDA的方法時(shí)，間諧波在諧波頻點(diǎn)的泄漏影響依然存在，特別是在間諧波和諧波頻率非常接近時(shí)尤為明顯。以往的插值方法，同步采樣下計(jì)算得到的諧波參數(shù)中混入了間諧波泄漏帶來(lái)了誤差；在諧波和間諧波主瓣發(fā)生干擾時(shí)，無(wú)法準(zhǔn)確分離出間諧波成分。復(fù)雜窗函數(shù)的使用會(huì)大大增加諧波和間諧波間主瓣干擾的可能性。

（3）本文的思想在于準(zhǔn)確提取信號(hào)對(duì)應(yīng)諧波頻點(diǎn)DFT 值中包含的間諧波泄漏成分。利用單一頻率信號(hào)DFT 近似結(jié)果的特點(diǎn)，變量重組，把非線性方程組轉(zhuǎn)化為線性方程組求解間諧波泄漏值。即使間諧波和諧波頻率差小于一個(gè)頻率分辨率，所提方法仍能實(shí)現(xiàn)諧波和間諧波成功分離。

（4）如何精確檢測(cè)多個(gè)鄰近間諧波成分，考慮間諧波之間的頻譜干擾是下一步研究的重點(diǎn)。

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