戴雋文 郝瑞祥 游小杰

（北京交通大學(xué)電氣工程學(xué)院 北京 100044）

1 引言

電弧加熱器是一種能產(chǎn)生高溫的熱源設(shè)備，近年來在航空、航天、材料加工等領(lǐng)域中起著日益重要的作用。等離子電弧是一種非線性負(fù)載，為研制安全可靠、控制品質(zhì)優(yōu)越的大功率直流電弧加熱器電源系統(tǒng)，等離子電弧模型的建立顯得尤為重要。

目前國(guó)內(nèi)外研究較多的電弧模型主要有基于熱力學(xué)、等離子體物理學(xué)、電磁場(chǎng)理論等各門學(xué)科的磁流體（MHD）模型[1]，基于等離子體控制方程的電弧模型[2]，基于數(shù)值擬合的電弧模型[3]，基于經(jīng)驗(yàn)公式的電弧模型[4]，以及基于麥也爾（Mayr）模型和克西（Cassie）模型的電弧黑盒模型[5]。MHD模型推導(dǎo)嚴(yán)密，物理概念清晰，但其邊界條件的推導(dǎo)需要大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)支持，否則難以實(shí)現(xiàn)?；诘入x子體控制方程的電弧模型能較好地描述電弧特性，但其求解方法復(fù)雜，結(jié)果有發(fā)散或振蕩的可能?；跀?shù)值擬合的電弧模型能準(zhǔn)確描述某特定場(chǎng)合的電弧特性，但其不具備通用性?；诮?jīng)驗(yàn)公式的電弧模型表達(dá)式簡(jiǎn)單，但精度不高，且參數(shù)確定較為困難。

本文討論的電弧模型是基于黑盒模型Mayr 模型和Cassie 模型提出的。Mayr 模型和Cassie 模型物理意義明確，表達(dá)式簡(jiǎn)練，能較好地描述電弧特性，對(duì)電弧的定性分析有著重大意義[6]。常見的電弧黑盒模型大多應(yīng)用在小功率交流場(chǎng)合，而本文對(duì)黑盒模型在大功率直流場(chǎng)合中的應(yīng)用進(jìn)行了探索。在實(shí)際工程中，電弧加熱器工作時(shí)弧室中的氣流量會(huì)發(fā)生一定變化，而這些變化不能直接在Mayr 模型和Cassie 模型中體現(xiàn)出來。為解決該問題，本文在文獻(xiàn)[7]提出的模型基礎(chǔ)上，增加了黑盒模型參數(shù)，并就每個(gè)參數(shù)對(duì)電弧特性的影響進(jìn)行了分析。此外，本文還對(duì)Mayr 模型和Cassie 模型之間過渡函數(shù)的選取展開了討論，使改進(jìn)后的電弧模型能更真實(shí)地反映大功率直流電弧加熱器的工作情況。在Matlab/Simulink 仿真環(huán)境下，用靈活的S 函數(shù)編寫電弧的核心部分，令其作為負(fù)載，與恒流輸出的18脈晶閘管全控整流橋組成一體，模擬實(shí)際大功率電弧加熱器電源系統(tǒng)的工作情況。最后，通過與大功率直流電弧加熱器實(shí)測(cè)工作數(shù)據(jù)的對(duì)比，驗(yàn)證了該等離子電弧模型的有效性。

2 電弧模型的建立

2.1 Mayr 模型和Cassie 模型

當(dāng)把電弧作為電路的組成部分時(shí)，可以把它看成一個(gè)黑盒模型[6]。Mayr 模型和Cassie 模型是基于熱平衡、熱慣性、熱游離三個(gè)基本平衡原理推導(dǎo)得出的兩大經(jīng)典的電弧黑盒模型，對(duì)于電弧的定性分析有著重大意義。

Mayr 認(rèn)為電弧具有一個(gè)圓柱形氣體通道的形狀，其直徑是恒定的。電弧散出能量是常數(shù)，即Ploss=P0=常數(shù)，因此Mayr 模型描述的電弧靜特性曲線為雙曲線形狀，表達(dá)式為

Mayr 模型適用于小電流大電阻的情況，包括電流過零區(qū)的電弧工作情況，其模型微分表達(dá)式為

式中 u—瞬時(shí)電弧電壓；

i—瞬時(shí)電弧電流；

P0—電弧散出功率；

gM—基于Mayr 模型的電弧電導(dǎo)。

Mayr 電弧模型的物理意義很明確，當(dāng)電弧的輸入功率ui 大于散出功率P0時(shí)，電弧溫度將升高，熱游離加強(qiáng)，電弧電導(dǎo)gM有增大的趨勢(shì)。由于電弧有熱慣性，因此有時(shí)間常數(shù)τ ，描述電弧電導(dǎo)變化速度。同樣，當(dāng)電弧產(chǎn)生的能量ui 小于散出功率P0時(shí)，電弧溫度將降低，熱游離減弱，電弧電導(dǎo)gM有減小的趨勢(shì)。

Cassie 也認(rèn)為電弧具有一個(gè)圓柱形氣體通道的形狀，但他認(rèn)為其直徑會(huì)隨著電弧電流變化，以保持電弧電流密度恒定。Cassie 模型適用于大電流小電阻的情況，其模型微分表達(dá)式為

式中 u—瞬時(shí)電弧電壓；

E0—電弧暫態(tài)穩(wěn)定電壓，E0的取值只受氣流有關(guān)的弧柱形變過程影響，而與電流無關(guān)；

gC—基于Cassie 模型的電弧電導(dǎo)。

2.2 過渡函數(shù)的選取

電弧的伏安特性曲線是呈U 形變化的[8]，當(dāng)電流較小時(shí)，符合Mayr 模型描述的情況；當(dāng)電流較大時(shí)，符合Cassie 模型描述的情況。因此，要建立能完整描述電弧特性的模型，就要把兩個(gè)模型綜合起來。文獻(xiàn)[9]提出了一種從電弧穩(wěn)定性考慮的過渡函數(shù)，但由于函數(shù)值域問題，綜合后的模型僅能描述大電流時(shí)電弧的工作情況，不能完整地描述小電流適用的Mayr 模型。

考慮到Mayr 模型和Cassie 模型分別描述了不同電流范圍下的電弧特性，因此可建立以電流為變量的過渡函數(shù)σ (i)，令其以式（4）的形式，連接Mayr 模型和Cassie 模型。

式中，過渡函數(shù)σ (i)∈（0，1]，是一個(gè)單調(diào)函數(shù)。通過對(duì)具有以上特性的函數(shù)進(jìn)行多次仿真比較，選擇過渡函數(shù)為

式中 i—電弧瞬時(shí)電流；

I0—過渡電流。

圖1 是一組n 取不同值時(shí)，σ (i)變化的曲線簇。由圖可知，n 越大，σ (i)變化速率越快，兩個(gè)模型間過渡界限越明顯。由于等離子電弧從負(fù)阻變化到正阻的過渡區(qū)，即U 形曲線的平直區(qū)較自由電弧明顯減小[8]，因此n 取值稍大。經(jīng)過多次比較，當(dāng)n取1.2 時(shí)，仿真電弧靜態(tài)曲線與實(shí)際電弧靜態(tài)曲線擬合較好，此時(shí)，電弧模型表達(dá)式為

當(dāng)電流較大時(shí)，σ (i)趨于0，電弧模型表現(xiàn)為Cassie 模型；當(dāng)電弧電流較小時(shí)，σ (i)趨于1，電弧模型表現(xiàn)為Mayr 模型。因此，式（6）所示模型能夠完整地描述電弧特性。

圖1 n 對(duì)過渡函數(shù)的影響 Fig.1 Effect of n on the transition function

2.3 電弧模型的提出

本文所討論的等離子電弧模型應(yīng)用在如圖2 所示的等離子電弧加熱器中，涉及的變量主要有弧室氣壓p、氣流量m、喉道尺寸d 等。當(dāng)加熱器工作時(shí)，p 和d 基本保持常量，但氣流量m 會(huì)產(chǎn)生一定的變化。因此為了更真實(shí)地描述電弧加熱器工作情況，要使模型能反映氣流量m 的作用。

圖2 等離子電弧加熱器結(jié)構(gòu)圖 Fig.2 Configuration of arc heater

文獻(xiàn)[10-11]指出，對(duì)于工作在恒流狀態(tài)下的電弧，Mayr 模型和Cassie 模型中的參數(shù)P0、E0與氣流量m 之間的關(guān)系可用式（7）和式（8）表示，式中n1、n2 為常數(shù)。

設(shè)某一時(shí)刻P0=0?P ，E0=0?E ，m=m0，根據(jù)式（7） 和式（8），當(dāng)氣流量為m 時(shí)，有如下表達(dá)式：

將式（9）、式（10）代入式（2）、式（3），經(jīng)整理，則Mayr 模型和Cassie 模型可分別表示為

由此可得本文提出的電弧模型為 其中，參數(shù)P0、E0、I0以及系數(shù)n1、n2 的選取與電弧加熱器結(jié)構(gòu)、氣體介質(zhì)、功率大小等因素有關(guān)，它們的確定方法將在下文中結(jié)合電弧加熱器電源系統(tǒng)模型實(shí)現(xiàn)具體討論。

3 電弧模型在Matlab 中的實(shí)現(xiàn)

3.1 電弧加熱器電源系統(tǒng)模型

等離子電弧具有U 形伏安特性曲線，為了保證電弧有一個(gè)穩(wěn)定的工作點(diǎn)，電弧供電電源應(yīng)具備垂直陡降的外特性。本文中，電弧加熱器電源為一個(gè)經(jīng)PI 調(diào)節(jié)恒流輸出的18 脈晶閘管全控整流電源，該電源由三個(gè)6 脈晶閘管全控整流橋經(jīng)移相變壓器移相串聯(lián)而成，以減少諧波并獲得高壓。其控制框圖如圖3 所示。

圖3 電弧加熱器電源系統(tǒng)控制框圖 Fig.3 Control scheme of arc heater power supply system

該電弧加熱器電源系統(tǒng)在 Matlab/Simulink 中建模實(shí)現(xiàn)。其中，每個(gè)移相變壓器之間的角度相差 20°，電弧模塊是由S 函數(shù)控制且符合歐姆定律的可控電壓源，用于表示動(dòng)態(tài)的電弧電阻Rarc。S 函數(shù)是根據(jù)式（13）編寫的。其中電弧電流由電流傳感器直接在電路中測(cè)得，電弧電壓根據(jù)歐姆定律在每次電弧阻值發(fā)生變化后更新并反饋給S 函數(shù)，參與下一采樣周期電弧電阻值及電弧電壓值的計(jì)算。為了消除仿真算法可能引起的代數(shù)環(huán)問題，每個(gè)變量必須通過存儲(chǔ)模塊再反饋到S 函數(shù)中。

3.2 電弧模型參數(shù)的確定

模型中參數(shù)的正確選取對(duì)模型的準(zhǔn)確性有著重要的意義。為了能更好地確定各參數(shù)大小，首先考察各參數(shù)對(duì)模型的影響。首先，用一個(gè)幅值可從零到某一較大值變化的可控直流電壓源代替恒流電壓源給電弧負(fù)載供電，以獲得電弧模型的靜特性曲線。其次，在保持其他參數(shù)值不變的情況下，通過改變某一模型參數(shù)的大小，得到不同的靜特性曲線，以考察該參數(shù)對(duì)電弧模型的影響。

設(shè)初始條件為P0=106W，E0=3000V，I0=2000A，τ =0.0001s，m=160g/s，分別改變P0、E0和I0，得到圖4～圖6 所示三組曲線簇。

圖4 P0 對(duì)電弧靜態(tài)曲線的影響 Fig.4 Effect of P0 on U-I characteristic curve

圖5 E0 對(duì)電弧靜態(tài)曲線的影響 Fig.5 Effect of E0 on U-I characteristic curve

圖6 I0 對(duì)電弧靜態(tài)曲線的影響 Fig.6 Effect of I0 on U-I characteristic curve

從這三組曲線簇中，可得到如下結(jié)論：

（1）小電流區(qū)電弧靜特性曲線呈雙曲線分布，電弧表現(xiàn)為負(fù)阻，即電弧電壓隨著電弧電流的上升而下降。電弧靜特性曲線的位置主要受P0影響，當(dāng)P0增大時(shí)，小電流區(qū)的靜態(tài)曲線也隨之上移。

（2）大電流區(qū)電弧靜特性曲線呈上升趨勢(shì)，電弧表現(xiàn)為正阻，即電弧電壓隨著電弧電流的上升而上升。電弧靜特性曲線的位置主要受 E0影響，當(dāng) E0增大時(shí)，大電流區(qū)的靜態(tài)曲線也隨之上移。

（3）I0決定了小電流向大電流過渡的區(qū)域，I0越大，過渡區(qū)域越后移，且較為平坦。

根據(jù)實(shí)際應(yīng)用情況改變P0、E0、I0大小，即可調(diào)整電弧靜特性曲線位置，得到需要的電弧模型。對(duì)于參數(shù)τ，經(jīng)多次仿真比較并參考文獻(xiàn)[7，12]，對(duì)于工作在電流大于1000A 的電弧，τ 可視為常數(shù)，取τ =0.0001s。對(duì)于氣流量m 的上標(biāo)n1、n2，首先固定某一個(gè)氣流量m，通過與實(shí)驗(yàn)測(cè)得的電弧靜特性曲線比較，確定P0、E0、I0的值。然后加入氣流量變化，根據(jù)仿真結(jié)果確定n1、n2 的值，得到合適的電弧模型。

4 仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

當(dāng)氣流量為m=112g/s 時(shí)，電弧模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的靜特性曲線擬合如圖7 所示，其中“×”為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，“—”為仿真模擬電弧靜特性曲線。此時(shí)P0= 8.5×105W，E0=6000V，I0=2200A。

當(dāng)電弧加熱器穩(wěn)定工作時(shí)，模型仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較見下表，其中n1=n2=0.33。

圖7 m=112g/s 時(shí)，電弧模型靜特性曲線擬合 Fig.7 U-I characteristic curve fitting when m=112g/s

表 仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比 Tab. Comparison between simulated and experimental results

當(dāng)氣流量發(fā)生擾動(dòng)時(shí)，如在1s 時(shí)突降，0.3s 后恢復(fù)，此時(shí)電弧電壓、電弧電流以及電弧阻值波形如圖8 所示。

圖8 氣流量發(fā)生擾動(dòng)時(shí)電弧電壓、 電流、電弧阻值的波形 Fig.8 Waveforms of arc voltage,current and resistance when mass flowrate disturbed

當(dāng)氣流量突減時(shí)，電弧中等離子運(yùn)動(dòng)速度減小，電弧電壓降低。但是由于電流環(huán)PI 調(diào)節(jié)的緣故，電源保持恒流輸出，電弧電流不變，電弧電阻值減小，這與上述波形描述的情況一致。

項(xiàng)目實(shí)測(cè)的電弧電壓、電流波形如圖9 所示。圖10 為對(duì)應(yīng)的電弧電壓和電弧電流仿真波形。

圖9 電弧電壓、電流的實(shí)測(cè)波形 Fig.9 Experimental waveforms of Uarc,Iarc

圖10 電弧電壓、電流的仿真波形 Fig.10 Simulated waveforms of Uarc,Iarc

由上述波形及數(shù)據(jù)對(duì)比可知，本文所述的電弧模型具有較高的準(zhǔn)確性，且能較好地描述實(shí)際電弧的動(dòng)態(tài)特性和靜態(tài)特性。

5 結(jié)論

本文分析了Cassie 電弧模型和Mayr 電弧模型，并在這兩個(gè)模型的基礎(chǔ)上，提出了一種適用于直流大功率電弧加熱器的等離子電弧模型。該模型加入了氣流量參數(shù)，使模型能直接反映氣流量對(duì)電弧工作的影響。同時(shí)，本文就Cassie 電弧模型和Mayr電弧模型之間的過渡函數(shù)的選取進(jìn)行了討論分析，并介紹了模型參數(shù)的確定方法，使該模型能通過簡(jiǎn)單調(diào)整，適用于不同電弧應(yīng)用場(chǎng)合。最后，通過在Matlab 中建模仿真，模擬了大功率電弧加熱器的工作情況。仿真與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的比較結(jié)果表明，該模型能較為準(zhǔn)確地描述電弧的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)特性，為電弧加熱器電源系統(tǒng)的深入研究打下基礎(chǔ)。

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