齊從謙，甘 屹

QI Cong-qian1，GAN Yi2

（1.上海師范大學(xué) 天華學(xué)院，上海 201815；2.上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093）

0 引言

齒輪是機(jī)械產(chǎn)品中最常用的零件之一，齒輪傳動(dòng)是靠主動(dòng)齒輪的輪齒側(cè)邊依次撥動(dòng)從動(dòng)齒輪側(cè)邊來傳遞運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力的，一對(duì)標(biāo)準(zhǔn)圓柱齒輪的嚙合傳動(dòng)如圖1所示。齒輪機(jī)構(gòu)可以傳遞空間任意軸間的運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力，且具有傳動(dòng)平穩(wěn)、可靠，使用范圍廣（傳遞速度和規(guī)律的范圍大），使用壽命長(zhǎng)等特點(diǎn)，故廣泛應(yīng)用于機(jī)械傳動(dòng)中。

圖1 一對(duì)齒輪的嚙合關(guān)系及基本參數(shù)

廣義的齒輪機(jī)構(gòu)除了標(biāo)準(zhǔn)圓柱齒輪（外嚙合或內(nèi)嚙合）之外，還有齒輪齒條、斜齒輪、人字齒輪（以上為平面齒輪機(jī)構(gòu)）和用于空間齒輪機(jī)構(gòu)的直齒、斜齒錐齒輪，蝸輪、蝸桿及準(zhǔn)雙曲面齒輪、格利森圓弧齒輪等。

由于錐齒輪的設(shè)計(jì)參數(shù)之間的關(guān)系比較復(fù)雜，目前業(yè)界（尤其是在眾多的出版物中）在運(yùn)用三維CAD軟件進(jìn)行錐齒輪設(shè)計(jì)的思路與方法中，存在的錯(cuò)誤和不規(guī)范之處。本文將分析直齒錐齒輪、弧齒錐齒輪的工作原理和建模理論基礎(chǔ)；以Gleason弧齒錐齒輪為例介紹此類齒輪的三維數(shù)字化設(shè)計(jì)的方法及其在Pro/E野火環(huán)境下的實(shí)現(xiàn)過程，從而糾正在錐齒輪設(shè)計(jì)中存在的錯(cuò)誤和不規(guī)范之處，幫助廣大CAD用戶走出齒輪三維設(shè)計(jì)誤區(qū)。

1 錐齒輪工作原理及建?；A(chǔ)

1.1 標(biāo)準(zhǔn)圓柱直齒輪的齒廓曲面

齒輪傳動(dòng)具有傳動(dòng)精度高、傳動(dòng)平穩(wěn)等特點(diǎn)。因?yàn)辇X輪的齒廓是由漸開線曲面構(gòu)成的，漸開線輪齒側(cè)邊之間無滑動(dòng)的嚙合是實(shí)現(xiàn)高精度和平穩(wěn)傳動(dòng)的關(guān)鍵。

一對(duì)標(biāo)準(zhǔn)圓柱齒輪的嚙合關(guān)系及其基本參數(shù)如圖1所示。其中模數(shù)m、齒數(shù)Z、分度圓直徑d、齒形角（或分度圓壓力角）α是齒輪的主參數(shù)。

根據(jù)機(jī)械原理，當(dāng)圖2中的直線B-B由虛線位置沿一圓周作純滾動(dòng)時(shí)，其上任一點(diǎn)K在平面上的軌跡K0K，稱為該圓的漸開線，這個(gè)圓稱為基圓。圖2中各參數(shù)的幾何意義如下：

1）θk角為K0K段漸開線的展角

2）rk為漸開線的矢徑

3）αk為壓力角

4）rb為基圓的半徑：rb=d/2*cosα （1）

式（1）中，d為齒輪分度圓的直徑，α為分度圓壓力角。

由漸開線的生成規(guī)律，很容易得到極座標(biāo)下的rk和θk與壓力角αk之間的函數(shù)關(guān)系如式（2）所示，這里，θk是壓力角αk的函數(shù)，在機(jī)械原理中稱其為漸開線函數(shù)或Involute函數(shù)。注意：式中αk的單位可以是角度或弧度，但tan（αk）的值一定是弧度，因此在具體計(jì)算過程中，須將其轉(zhuǎn)為角度量，才能與αk相減，所得到的差是角度量，這是PRO/E所默認(rèn)的單位，而且式（2）所表達(dá)的函數(shù)關(guān)系恰恰與PRO/E所提供的“用柱坐標(biāo)來構(gòu)建方程”相一致。式（3）為笛卡爾坐標(biāo)下的表達(dá)式。

圖2 齒輪漸開線生成原理及計(jì)算方法

式（2）與式（3）在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的，但顯然，式（2）在形式上更簡(jiǎn)潔，其幾何意義更為清晰。遺憾的是幾乎95%以上的三維建模人員及有關(guān)出版物（PRO/E、UG等）都在使用笛卡爾坐標(biāo)系下的式（3）所描述的表達(dá)式來創(chuàng)建漸開線。這是誤區(qū)之一。

1.2 錐齒輪三維設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)

直齒錐齒輪是錐齒輪中最簡(jiǎn)單的，因此要研究錐齒輪的數(shù)字化建模，首先要從直齒錐齒輪談起。直齒錐齒輪主要用于垂直相交的兩軸之間的傳動(dòng)。一對(duì)標(biāo)準(zhǔn)直齒錐齒輪傳動(dòng)時(shí)，兩輪的分度圓錐與各自的節(jié)圓錐重合。由于錐齒輪的輪齒分布在錐面上，所以輪齒的一端大，另一端小，沿齒寬方向上的輪齒大小均不相同，故輪齒全長(zhǎng)上的模數(shù)、齒高、齒寬等都不相同。所以錐齒輪齒廓的模型不能像標(biāo)準(zhǔn)圓柱直齒輪那樣簡(jiǎn)單地采用拉伸來創(chuàng)建。但其齒形仍是以標(biāo)準(zhǔn)圓柱直齒輪的漸開線齒形輪廓為基礎(chǔ)來設(shè)計(jì)的。

圖3所示為一對(duì)錐齒輪嚙合的剖面圖，作圓錐O1C1C和O2C2C使之分別在兩輪節(jié)圓錐處與兩輪的大端錐面相切，切點(diǎn)分別為C1、C和C2。則這兩個(gè)圓錐稱為背錐。將兩輪的球面漸開線ab和ef分別投影到各自的背錐上，得到在背錐上的漸開線a'b'和e'f'，由該圖可知投影出來的齒形與原齒形非常相似且接近，因此可以用背錐上的齒形代替圓錐齒輪的球面漸開線。然而絕大多數(shù)齒輪設(shè)計(jì)人員不明白這個(gè)道理。有些CAD設(shè)計(jì)人員竟然在錐臺(tái)的頂面和底面上構(gòu)建齒廓截面，然后采用“混合、減料”形成齒槽。這是誤區(qū)之二。

2 直齒錐齒輪三維設(shè)計(jì)

根據(jù)上述分析，我們可以獲得直齒圓錐齒輪的建模方案：即把一對(duì)標(biāo)準(zhǔn)直齒錐齒輪傳動(dòng)看成是在大端面的背錐上的一對(duì)當(dāng)量齒輪在傳動(dòng)，并規(guī)定大端面的參數(shù)為直齒圓錐齒輪的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)，其基本尺寸計(jì)算也在大端面上進(jìn)行。仍然遺憾的是：不少齒輪設(shè)計(jì)人員不知曉當(dāng)量齒輪的概念。這是誤區(qū)之三。

當(dāng)量齒輪是這樣定義的：將背錐展開成平面后，可以得到兩個(gè)扇形齒輪（如圖3所示），其齒數(shù)為錐齒輪的齒數(shù)z，將扇形的缺口補(bǔ)全（齒數(shù)增加）使之成為完整的圓柱齒輪，這個(gè)齒輪稱為錐齒輪的當(dāng)量齒輪，其齒形近似于直齒圓錐齒輪大端面的齒形。當(dāng)量齒輪的分度圓半徑rv等于背錐錐距：rv=r/cosδ；錐齒輪當(dāng)量齒輪的齒數(shù)為：zv= z/cosδ（δ為分度圓錐角），顯然，當(dāng)量齒輪的齒數(shù)往往是一個(gè)實(shí)型數(shù)而非整數(shù)。這樣，就可以像處理標(biāo)準(zhǔn)圓柱齒輪那樣分別在錐齒輪的大端面和小端面上創(chuàng)建漸開線齒廓截面，然后采用“掃描混合”方法生成錐齒輪的齒槽。

圖3 錐齒輪嚙合原理及當(dāng)量齒輪

由式（2）很容易得到柱坐標(biāo)系下當(dāng)量齒輪漸開線創(chuàng)建方法：在圖4a的記事本中使用的是圓錐齒輪大端當(dāng)量齒輪的參數(shù)，如齒數(shù)為52.303，α= t*50，即式（2）中的αk。所得到的漸開線如圖4a所示。

由所創(chuàng)建的漸開線可以繪制大端當(dāng)量齒輪齒槽截面和小端當(dāng)量齒輪齒槽截面如圖4 b所示。

進(jìn)而采用“混合”操作創(chuàng)建錐面齒槽，陣列后獲得直齒錐齒輪全部齒廓如圖5所示。

圖4 創(chuàng)建當(dāng)量齒輪的漸開線和大端、小端齒槽截面

圖5 “混合”操作獲得齒槽實(shí)體并陣列生成全部齒廓

3 Gleason弧齒錐齒輪的三維設(shè)計(jì)

弧齒錐齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)，噪聲低，承載能力高于直齒錐齒輪；便于控制和調(diào)整齒面接觸區(qū)，且對(duì)誤差和變形不太敏感，常用于圓周速度υ＞5m/s的相交軸（通常為90°）之間的動(dòng)力和運(yùn)動(dòng)傳動(dòng)，具有傳遞扭矩大、傳遞運(yùn)動(dòng)精確、可靠性高的特點(diǎn)。由于其承載能力大、傳動(dòng)平穩(wěn)、噪聲小、結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點(diǎn)，是航空（發(fā)動(dòng)機(jī)）、造船（發(fā)動(dòng)機(jī)）、汽車（差速器）、能源、裝備、國(guó)防等部門產(chǎn)品的關(guān)鍵零件，因此弧齒錐齒輪生產(chǎn)在現(xiàn)代化機(jī)械制造業(yè)中占有十分重要的地位。

圖6 弧齒錐齒輪的齒形與主要設(shè)計(jì)參數(shù)

弧齒錐齒輪的齒形如圖6a所示，它是一種節(jié)錐齒線為曲線的錐齒輪，其齒形是齒廓曲線沿分度圓錐面上的一條螺旋線掃描而形成的。該螺旋線過分度圓錐面齒線上任一點(diǎn)的切線與分度圓錐母線之間的夾角稱為螺旋角β，在設(shè)計(jì)和制造時(shí)，通常把這一點(diǎn)設(shè)置在分度圓錐面齒寬中點(diǎn)處，因此，又稱其為齒寬中點(diǎn)螺旋線；螺旋的方向按下面的方法確定：面對(duì)齒輪頂錐面，自齒寬中點(diǎn)到大端，齒線的旋向?yàn)轫槙r(shí)針方向?yàn)橛倚X輪，齒線的旋向?yàn)槟鏁r(shí)針方向?yàn)樽笮X輪。一對(duì)相互嚙合的螺旋弧齒錐齒輪的螺旋方向按主動(dòng)輪轉(zhuǎn)向確定，若主動(dòng)輪為右旋，則被動(dòng)輪必為左旋，反之亦然。

美國(guó)Gleason公司（格利森）是生產(chǎn)弧齒錐齒輪銑齒機(jī)的著名廠家，它制定了“格利森制”的弧齒錐齒輪標(biāo)準(zhǔn)。“格利森制”弧齒錐齒輪的幾何設(shè)計(jì)、強(qiáng)度計(jì)算和切齒調(diào)整計(jì)算法被各國(guó)廣泛采用。我國(guó)目前尚未制定弧齒錐齒輪的基本齒廓標(biāo)準(zhǔn)，國(guó)內(nèi)有關(guān)生產(chǎn)企業(yè)多沿用“格利森制”。本文所設(shè)計(jì)的格利森制弧齒錐齒輪的主要參數(shù)如下（如圖6b所示）。

1）齒數(shù)：Zn= 46

2）法向壓力角：α=20°

3）大端端面模數(shù)：mt=5mm

4）齒寬中點(diǎn)螺旋角：β=35°，螺旋方向：右旋

5）大端分度圓直徑：d = mt×Zn= 230mm

6）分度圓錐角δ=71.9395°

7）齒頂圓錐角：δa=73.5720°

8）齒根圓錐角：δf=68.6592°

9）錐距：R= mt×Zn/sinδ/2 =120.9597mm

10）齒寬：取b = 0.25R = 30mm（取整）

11）當(dāng)量齒輪齒數(shù)：Zgv= Zn/cos（δ）= 148.3770

12）大端當(dāng)量齒輪分度圓直徑：dgv= mt×Zgv= 741.885 mm

13）大端當(dāng)量齒輪基圓直徑：dgb= dgv×cos（αt）

14）齒頂高系數(shù)：c*= 0.85

15）頂隙系數(shù)：h* = 0.188（等頂隙收縮齒）

16）當(dāng)量齒輪端面壓力角：αt=arctan（tan（α）/cos（β））= 23.9568°

17）大端當(dāng)量齒輪齒頂圓直徑：dga= dgv+2×mt×c*=750.385mm

18）大端當(dāng)量齒輪齒根圓直徑：dgf= dgv-2×mt×（1+h*）= 730.005 mm

19）小端端面模數(shù)：mm= mt×（R-b）/R= 3.7186mm（取b = 31進(jìn)行計(jì)算）

20）小端當(dāng)量齒輪分度圓直徑：dsv= mm×Zgv= 551.7547 mm

21）小端當(dāng)量齒輪齒頂圓直徑：dsa= dsv+2× mm×c*= 558.0763mm

22）小端當(dāng)量齒輪齒根圓直徑：dsf= dsv-2× mm×（1+h*）= 542.9193 mm

弧齒錐齒輪的設(shè)計(jì)與直齒錐齒輪的設(shè)計(jì)方法相似，也須從當(dāng)量齒輪做起。不同之處是弧齒錐齒輪的大小端齒槽截面的位置與齒寬中點(diǎn)螺旋線有關(guān)；在記事本中描述漸開線的柱坐標(biāo)方程時(shí)須用當(dāng)量齒輪端面壓力角23.9568°代替標(biāo)準(zhǔn)壓力角20°。按照上述參數(shù)設(shè)計(jì)的弧齒錐齒輪大、小端齒槽截面如圖7所示。

圖7 大端、小端齒槽截面

然后使用Pro/E中的“掃描混合”功能生成一個(gè)齒槽，再進(jìn)行陣列處理即獲得圖8所示的Gleason弧齒錐齒輪。

圖8 創(chuàng)建弧齒錐齒輪齒槽及格利森齒輪的三維實(shí)體模型

4 Gleason弧齒錐齒輪在汽車差速器中的應(yīng)用

Gleason弧齒錐齒輪的典型應(yīng)用是在汽車差速器中的應(yīng)用。在汽車差速器中采用一對(duì)Gleason弧齒錐齒輪進(jìn)行嚙合，能使齒輪傳動(dòng)獲得比較高的重疊系數(shù)，從而提升差速器的承載能力和傳動(dòng)的平穩(wěn)性，還能有效地降低噪聲小，而且結(jié)構(gòu)緊湊。

采用Pro/E中的裝配功能和運(yùn)動(dòng)仿真功能可分別獲得汽車差速器三維裝配數(shù)字化模型（如圖9所示）及運(yùn)動(dòng)仿真效果。

圖9 由直齒錐齒輪和Gleason弧齒錐齒輪組裝的汽車差速器數(shù)字化三維模型

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