徐步青， 楊紹普， 齊月芹

(1．石家莊鐵道大學 工程力學系，河北 石家莊 050043;2．河北省交通安全與控制重點實驗室，河北 石家莊 050043)

0 引言

功能梯度材料( Functionally Graded Material，簡稱FGM) 是由一種全新的設計概念而開發(fā)的新型功能材料。以計算機輔助材料設計為基礎，采用先進的材料復合技術，使構成材料的要素( 組成、結構等) 在幾何空間上呈連續(xù)變化，使材料的性質和功能也呈梯度變化，從而滿足構件不同部位對材料使用性能的不同要求。同時，由于該材料對結構中各組分相呈連續(xù)變化，不存在明顯的界面及性能的突變，具有明顯優(yōu)于一般層疊型復合材料的特性。這種將性能各異的材料按照設計意愿在結構內部非均勻、連續(xù)地合成的新型材料將復合材料的研究帶入了材料設計的更高層次。

功能梯度材料是在20 世紀80 年代末90 年代初由日本學者新野正之、平井敏雄和渡邊龍三等提出的［1］，主要用于國防高新技術領域對材料性能提出的特殊要求方面，后來這一概念逐漸被應用于其它功能材料的構思與研究中。目前，該材料在軍事、航天、能源、電子、光學、化學和生物醫(yī)學工程等重要領域得到廣泛應用與發(fā)展。而圓柱殼結構在這些工程領域得到廣泛使用，其聲輻射的研究是非常有必要的。

近年來，功能梯度材料及其結構的研究已引起國際學術界廣泛關注。目前，對功能梯度材料主要集中在熱應力分析、斷裂力學行為以及材料優(yōu)化等方面［2-3］，而在聲輻射方面的研究鮮有報道。

文獻［4］根據均質材料圓柱殼基本理論，將功能梯度材料圓柱殼原始三維變系數(shù)控制方程轉化為特殊類型各向異性及薄膜-彎曲耦聯(lián)的二維常系數(shù)方程，得到功能梯度材料圓柱殼的基本動力方程。本文在該方程的基礎上，利用流體和圓柱殼分界面上振速連續(xù)邊界條件，推導出了圓柱殼在徑向集中力激勵下圓柱殼振動平均振速、聲輻射效率表達式。本文為研究水下功能梯度圓柱殼結構振動聲輻射問題提供了一種有效的分析方法。

1 有限長功能梯度材料圓柱殼體基本解

1．1 基本動力方程

設一半徑為a，厚度為h，長為2L 的功能梯度材料有限長圓柱殼，以圓柱殼軸線為z 軸建立如圖1 所示柱面坐標系。分別用u，v，w 表示圓柱殼中面上點( a，φ，z) 在軸向z，周向φ 和徑向r 的位移。當浸沒在重流體中的功能梯度材料圓柱殼受力激勵時，其振動方程可表示為［4-5］

圖1 有限長功能梯度材料圓柱殼

其中薄膜剛度為

彎曲剛度為

膜彎耦合剛度為

面質量密度為

而ρ、E、G、v 分別為功能梯度材料圓柱殼的密度、楊氏彈性模量、剪切彈性模量和泊松比。

1．2 有限長功能梯度圓柱殼的振動與聲輻射

當有限長功能梯度材料圓柱殼置于聲介質中，殼面振動引起表面介質振動而產生聲場。聲場中的聲壓既應滿足Helmholtz 波動方程，又必須滿足殼體外表面處的邊界條件，即表面質點的振動速度和圓柱殼表面的法線方向振動速度相等。即

式中，▽2為Laplace 算子; k0為流體波數(shù); ρ0為流體密度。

當周圍存在聲介質時只有法向位移分量w 對聲場有貢獻。圓柱殼體在水中的耦合振動用模態(tài)展開法解［7］。對稱激勵時取如下形式的解

式中，- L ≤z ≤L; m 和n 都取0 ～∞; km是由邊界條件確定的本征值。如取兩端簡支，則

將徑向激勵力和殼體表面聲壓也展開為

展開系數(shù)由下式給出

將式(4) 和式(6) 代入功能梯度材料圓柱殼的振動方程組中，可得

式中

由式(8) 得到模態(tài)振動速度˙Wmn滿足的方程

式中，| aij| 是模態(tài)方程(8) 中的系數(shù)行列式。假設功能梯度材料圓柱殼兩端有無限延伸的剛性圓柱障板，聲輻射負荷引起的表面聲壓［8］是

式中

得到存在聲輻射負荷時的耦合振動方程

由這個方程解出模態(tài)振動速度后即可得到有關的聲學量。因此，殼體的輻射聲功率是

式中，*表示復共軛; S 是殼體的表面積。當n = 0 時，εn= 1 ;當n ≥0 時，εn= 2 。表面的平均振速為

從而得到輻射效率為

輻射聲功率級定義為

表面平均振速級定義為

2 數(shù)值計算

2．1 材料參數(shù)

假設功能梯度材料圓柱殼的外表面是金屬，內表面是陶瓷，中間是由不同組分的金屬和陶瓷組成的復合材料，設材料常數(shù)沿厚度方向按如下規(guī)律變化［2］

式中，X，ρ 為功能梯度材料圓柱殼的任一處材料常數(shù)和密度; X1，ρ1和X2，ρ2分別為兩種不同材料對應的材料常數(shù)和密度; k 為梯度指數(shù)，它代表了材料常數(shù)隨沿厚度變化的程度。設定殼材料阻尼系數(shù)η 和泊松比v 為常數(shù)，分別為0．001 和0．3。彈性模量和密度分別按(21) 式和(22) 式變化，金屬和陶瓷的彈性模量和材料密度分別為Em= 70 GPa，ρm= 7．707 ×103kg/m3，Ec= 380 GPa，ρc= 3．8 ×103kg/m3。其余參數(shù): a = 0．11 m，L = 0．165 m，h = 0．002 m，ρ0= 1 000 kg/m3，c0= 1 500 m/s。

2．2 數(shù)值仿真結果

假設功能梯度材料圓柱殼兩端簡支，集中激勵力作用在z = 0，φ = 0，峰值F0= 1 N 的徑向集中力

計算時忽略互耦合，只取q = m 的項。取m = 0 ～20，n = 0 ～20 的所有模態(tài)疊加。

圖2 輻射功率

圖3 平均振速

圖2 ～圖4 分別為不同梯度指數(shù)下功能梯度材料圓柱殼輻射功率、平均振速和輻射效率隨激勵頻率變化的情況。從圖2 可以看出，當激勵頻率小于2 100 Hz 時，梯度指數(shù)越大，輻射功率越小且中間沒有尖峰;當激勵頻率大于此值時，輻射功率尖峰出現(xiàn)的頻率不同，且高度不等。在圖3 中，當激勵頻率小于1 100 Hz 時，梯度指數(shù)越大，平均振速越小且中間沒有尖峰;當激勵頻率大于此值時，平均振速峰值尖峰出現(xiàn)的頻率不同，且高度不等。從圖4 中可以看出，當激勵頻率小于1 000 Hz 時，梯度指數(shù)對輻射效率影響很小，當激勵頻率大于此值時則輻射效率尖峰值發(fā)生的頻率不同，而且隨著頻率的增加，峰值極大值有增大的趨勢。因此，梯度指數(shù)對平均振速、輻射功率和輻射效率的大小及發(fā)生峰值的頻率均有一定的影響。

圖4 輻射效率

3 結論

從有限長功能梯度材料圓柱殼振動方程出發(fā)，利用模態(tài)疊加法，推導出了圓柱殼在徑向集中力激勵下，平面振動平均振速和聲輻射效率表達式。通過數(shù)值仿真計算了不同梯度指數(shù)下圓柱殼的平均振速、輻射功率和輻射效率。數(shù)值結果表明，梯度指數(shù)對平均振速、輻射功率和輻射效率的大小及峰值頻率均有一定的影響。本文為有限長功能梯度材料圓柱殼聲輻射研究提供了一種有效的分析方法。

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