徐步青， 楊紹普， 齊月芹

(1．石家莊鐵道大學(xué) 工程力學(xué)系，河北 石家莊 050043;2．河北省交通安全與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 石家莊 050043)

0 引言

功能梯度材料( Functionally Graded Material，簡稱FGM) 是由一種全新的設(shè)計(jì)概念而開發(fā)的新型功能材料。以計(jì)算機(jī)輔助材料設(shè)計(jì)為基礎(chǔ)，采用先進(jìn)的材料復(fù)合技術(shù)，使構(gòu)成材料的要素( 組成、結(jié)構(gòu)等) 在幾何空間上呈連續(xù)變化，使材料的性質(zhì)和功能也呈梯度變化，從而滿足構(gòu)件不同部位對(duì)材料使用性能的不同要求。同時(shí)，由于該材料對(duì)結(jié)構(gòu)中各組分相呈連續(xù)變化，不存在明顯的界面及性能的突變，具有明顯優(yōu)于一般層疊型復(fù)合材料的特性。這種將性能各異的材料按照設(shè)計(jì)意愿在結(jié)構(gòu)內(nèi)部非均勻、連續(xù)地合成的新型材料將復(fù)合材料的研究帶入了材料設(shè)計(jì)的更高層次。

功能梯度材料是在20 世紀(jì)80 年代末90 年代初由日本學(xué)者新野正之、平井敏雄和渡邊龍三等提出的［1］，主要用于國防高新技術(shù)領(lǐng)域?qū)Σ牧闲阅芴岢龅奶厥庖蠓矫?，后來這一概念逐漸被應(yīng)用于其它功能材料的構(gòu)思與研究中。目前，該材料在軍事、航天、能源、電子、光學(xué)、化學(xué)和生物醫(yī)學(xué)工程等重要領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用與發(fā)展。而圓柱殼結(jié)構(gòu)在這些工程領(lǐng)域得到廣泛使用，其聲輻射的研究是非常有必要的。

近年來，功能梯度材料及其結(jié)構(gòu)的研究已引起國際學(xué)術(shù)界廣泛關(guān)注。目前，對(duì)功能梯度材料主要集中在熱應(yīng)力分析、斷裂力學(xué)行為以及材料優(yōu)化等方面［2-3］，而在聲輻射方面的研究鮮有報(bào)道。

文獻(xiàn)［4］根據(jù)均質(zhì)材料圓柱殼基本理論，將功能梯度材料圓柱殼原始三維變系數(shù)控制方程轉(zhuǎn)化為特殊類型各向異性及薄膜-彎曲耦聯(lián)的二維常系數(shù)方程，得到功能梯度材料圓柱殼的基本動(dòng)力方程。本文在該方程的基礎(chǔ)上，利用流體和圓柱殼分界面上振速連續(xù)邊界條件，推導(dǎo)出了圓柱殼在徑向集中力激勵(lì)下圓柱殼振動(dòng)平均振速、聲輻射效率表達(dá)式。本文為研究水下功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)聲輻射問題提供了一種有效的分析方法。

1 有限長功能梯度材料圓柱殼體基本解

1．1 基本動(dòng)力方程

設(shè)一半徑為a，厚度為h，長為2L 的功能梯度材料有限長圓柱殼，以圓柱殼軸線為z 軸建立如圖1 所示柱面坐標(biāo)系。分別用u，v，w 表示圓柱殼中面上點(diǎn)( a，φ，z) 在軸向z，周向φ 和徑向r 的位移。當(dāng)浸沒在重流體中的功能梯度材料圓柱殼受力激勵(lì)時(shí)，其振動(dòng)方程可表示為［4-5］

圖1 有限長功能梯度材料圓柱殼

其中薄膜剛度為

彎曲剛度為

膜彎耦合剛度為

面質(zhì)量密度為

而ρ、E、G、v 分別為功能梯度材料圓柱殼的密度、楊氏彈性模量、剪切彈性模量和泊松比。

1．2 有限長功能梯度圓柱殼的振動(dòng)與聲輻射

當(dāng)有限長功能梯度材料圓柱殼置于聲介質(zhì)中，殼面振動(dòng)引起表面介質(zhì)振動(dòng)而產(chǎn)生聲場。聲場中的聲壓既應(yīng)滿足Helmholtz 波動(dòng)方程，又必須滿足殼體外表面處的邊界條件，即表面質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度和圓柱殼表面的法線方向振動(dòng)速度相等。即

式中，▽2為Laplace 算子; k0為流體波數(shù); ρ0為流體密度。

當(dāng)周圍存在聲介質(zhì)時(shí)只有法向位移分量w 對(duì)聲場有貢獻(xiàn)。圓柱殼體在水中的耦合振動(dòng)用模態(tài)展開法解［7］。對(duì)稱激勵(lì)時(shí)取如下形式的解

式中，- L ≤z ≤L; m 和n 都取0 ～∞; km是由邊界條件確定的本征值。如取兩端簡支，則

將徑向激勵(lì)力和殼體表面聲壓也展開為

展開系數(shù)由下式給出

將式(4) 和式(6) 代入功能梯度材料圓柱殼的振動(dòng)方程組中，可得

式中

由式(8) 得到模態(tài)振動(dòng)速度˙Wmn滿足的方程

式中，| aij| 是模態(tài)方程(8) 中的系數(shù)行列式。假設(shè)功能梯度材料圓柱殼兩端有無限延伸的剛性圓柱障板，聲輻射負(fù)荷引起的表面聲壓［8］是

式中

得到存在聲輻射負(fù)荷時(shí)的耦合振動(dòng)方程

由這個(gè)方程解出模態(tài)振動(dòng)速度后即可得到有關(guān)的聲學(xué)量。因此，殼體的輻射聲功率是

式中，*表示復(fù)共軛; S 是殼體的表面積。當(dāng)n = 0 時(shí)，εn= 1 ;當(dāng)n ≥0 時(shí)，εn= 2 。表面的平均振速為

從而得到輻射效率為

輻射聲功率級(jí)定義為

表面平均振速級(jí)定義為

2 數(shù)值計(jì)算

2．1 材料參數(shù)

假設(shè)功能梯度材料圓柱殼的外表面是金屬，內(nèi)表面是陶瓷，中間是由不同組分的金屬和陶瓷組成的復(fù)合材料，設(shè)材料常數(shù)沿厚度方向按如下規(guī)律變化［2］

式中，X，ρ 為功能梯度材料圓柱殼的任一處材料常數(shù)和密度; X1，ρ1和X2，ρ2分別為兩種不同材料對(duì)應(yīng)的材料常數(shù)和密度; k 為梯度指數(shù)，它代表了材料常數(shù)隨沿厚度變化的程度。設(shè)定殼材料阻尼系數(shù)η 和泊松比v 為常數(shù)，分別為0．001 和0．3。彈性模量和密度分別按(21) 式和(22) 式變化，金屬和陶瓷的彈性模量和材料密度分別為Em= 70 GPa，ρm= 7．707 ×103kg/m3，Ec= 380 GPa，ρc= 3．8 ×103kg/m3。其余參數(shù): a = 0．11 m，L = 0．165 m，h = 0．002 m，ρ0= 1 000 kg/m3，c0= 1 500 m/s。

2．2 數(shù)值仿真結(jié)果

假設(shè)功能梯度材料圓柱殼兩端簡支，集中激勵(lì)力作用在z = 0，φ = 0，峰值F0= 1 N 的徑向集中力

計(jì)算時(shí)忽略互耦合，只取q = m 的項(xiàng)。取m = 0 ～20，n = 0 ～20 的所有模態(tài)疊加。

圖2 輻射功率

圖3 平均振速

圖2 ～圖4 分別為不同梯度指數(shù)下功能梯度材料圓柱殼輻射功率、平均振速和輻射效率隨激勵(lì)頻率變化的情況。從圖2 可以看出，當(dāng)激勵(lì)頻率小于2 100 Hz 時(shí)，梯度指數(shù)越大，輻射功率越小且中間沒有尖峰;當(dāng)激勵(lì)頻率大于此值時(shí)，輻射功率尖峰出現(xiàn)的頻率不同，且高度不等。在圖3 中，當(dāng)激勵(lì)頻率小于1 100 Hz 時(shí)，梯度指數(shù)越大，平均振速越小且中間沒有尖峰;當(dāng)激勵(lì)頻率大于此值時(shí)，平均振速峰值尖峰出現(xiàn)的頻率不同，且高度不等。從圖4 中可以看出，當(dāng)激勵(lì)頻率小于1 000 Hz 時(shí)，梯度指數(shù)對(duì)輻射效率影響很小，當(dāng)激勵(lì)頻率大于此值時(shí)則輻射效率尖峰值發(fā)生的頻率不同，而且隨著頻率的增加，峰值極大值有增大的趨勢(shì)。因此，梯度指數(shù)對(duì)平均振速、輻射功率和輻射效率的大小及發(fā)生峰值的頻率均有一定的影響。

圖4 輻射效率

3 結(jié)論

從有限長功能梯度材料圓柱殼振動(dòng)方程出發(fā)，利用模態(tài)疊加法，推導(dǎo)出了圓柱殼在徑向集中力激勵(lì)下，平面振動(dòng)平均振速和聲輻射效率表達(dá)式。通過數(shù)值仿真計(jì)算了不同梯度指數(shù)下圓柱殼的平均振速、輻射功率和輻射效率。數(shù)值結(jié)果表明，梯度指數(shù)對(duì)平均振速、輻射功率和輻射效率的大小及峰值頻率均有一定的影響。本文為有限長功能梯度材料圓柱殼聲輻射研究提供了一種有效的分析方法。

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