栗 蕾，郝際平，李廣慧，黃 義

（1.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院，土木建筑工程學(xué)院，鄭州 450015；2.西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，西安 710055）

網(wǎng)架和網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)是近些年來在建筑工程中應(yīng)用極為廣泛的工程結(jié)構(gòu)形式，特別是在大型空間與公共建筑結(jié)構(gòu)中可以說非他莫屬了，尤其是網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)應(yīng)用在大空間、大跨度結(jié)構(gòu)中更是屢見不鮮。

眾說周知，網(wǎng)架結(jié)構(gòu)通常屬于薄壁輕鋼結(jié)構(gòu)，它們的變形大都屬于大變形范圍。在相當(dāng)?shù)目缍群洼d荷條件下，網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的剛度較小于其他網(wǎng)格結(jié)構(gòu)并在加載過程中剛度還會削弱，研究表明，在某些情況下倘若不考慮結(jié)構(gòu)的非線性將會導(dǎo)致難以接受的誤差，尤其在網(wǎng)殼的穩(wěn)定性方面，因此用幾何非線性分析網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)比較合理［1－7］。特別是由于網(wǎng)殼在制作桿件材料不可避免的都帶有一定的損傷，因此對于帶損傷的網(wǎng)殼的非線性分析的研究實(shí)屬必要，筆者注意到關(guān)于這方面的研究尚不多見。作者正是在這方面做了一些嘗試?；贚ematire等效應(yīng)變損傷理論，計(jì)及扁球面網(wǎng)殼各個(gè)桿件的損傷影響，應(yīng)用擬殼法導(dǎo)出了具有損傷的扁球面網(wǎng)殼的動力學(xué)非線性控制方程。提出了以中心最大振幅為攝動參數(shù)的攝動－變分法的求解方法，對動力非線性控制方程進(jìn)行了求解，得出了相應(yīng)的物理量的解析式。據(jù)此進(jìn)行數(shù)值分析，得出了相應(yīng)的特征關(guān)系。并用Galerkin方法導(dǎo)出了一個(gè)含二次和三次非線性振動微分方程并求解了具有損傷扁球面網(wǎng)殼的的非線性動力學(xué)的自由振動方程，給出了準(zhǔn)確解。而后利用Melnikov函數(shù)法，從理論上給出了考慮損傷的系統(tǒng)發(fā)生混沌運(yùn)動的臨界條件，并通過計(jì)算機(jī)數(shù)字仿真證實(shí)了考慮損傷的扁球面網(wǎng)殼在非線性強(qiáng)迫振動時(shí)存在混沌運(yùn)動，同時(shí)發(fā)現(xiàn)損傷使得系統(tǒng)更易發(fā)生混沌運(yùn)動。

1 具有損傷扁球面網(wǎng)殼的非線性動力學(xué)控制方程的建立

1.1 具有損傷扁球面網(wǎng)殼的本構(gòu)方程

首先利用擬板法建立具有損傷殼體的本構(gòu)方程如下：

式中：［D］為中面剛度系數(shù)矩陣，

其中u，v，w為中面上x，y，z方向的位移。

式（2）中：

由式（1）可以得到：

1.2 具有損傷扁球面網(wǎng)殼的非線性動力學(xué)控制方程的建立

引入無量綱量如下：

引入周邊固定夾緊邊界條件：

當(dāng)ρ=0時(shí)，

選取系統(tǒng)的初始條件為：

當(dāng)τ=0 時(shí)，W（ρ，τ）=W（ρ，0），

2 基本方程求解

選取扁球面網(wǎng)殼中心最大振幅為攝動參數(shù)，利用攝動變分法求解系統(tǒng)非線性振動問題。

將方程（14）中含有cosτ的項(xiàng)和cos2τ的項(xiàng)分開則：

一次近似邊值問題：

邊界條件：

當(dāng)ρ=1時(shí)，

當(dāng)ρ=0時(shí)，

二次近似邊值問題：

邊界條件：

當(dāng)ρ=1時(shí)，

當(dāng)ρ=0時(shí)，

三次近似邊值問題：

邊界條件：

當(dāng)ρ=1時(shí)，

當(dāng)ρ=0時(shí)，

3 對近似邊值問題求解

對一次近似邊值問題求解得：

=（1－ω）為具有損傷扁球面網(wǎng)殼的線性固有頻率。對二次近似邊值問題求解：

對三次近似邊值問題求解：

繪出具有損傷扁球面網(wǎng)殼的非線性振動的頻率與振幅和頻率與載荷之間的特征關(guān)系如下：

圖1 －W0的特征關(guān)系Fig.1 Ω20 － W0 Characteristic relation

圖2 －Q的特征關(guān)系Fig.2 Ω20 － Q Characteristic relation

圖1，圖2給出了不同的ω下的－W0和－Q特征關(guān)系曲線，圖1中W0=0，對應(yīng)于考慮損傷扁球面網(wǎng)殼的固有頻率。ω=0對應(yīng)于無損傷理想扁球面網(wǎng)殼的振動頻率。顯然從圖1與圖2中可以看出損傷對扁球面網(wǎng)殼的非線性振動特性有明顯的影響。損傷使殼體的振動頻率降低，這是由于損傷削弱了殼體的抗彎剛度。

4 混沌運(yùn)動分析

4.1 建立系統(tǒng)的非線性振動微分方程

選取固定夾緊邊界條件并將其無量鋼化為：

當(dāng)ρ=1時(shí)，

當(dāng)ρ=0時(shí)，

選取

由方程（33）－（36）可以解得：

方程（32）的能量變分方程為：

其中：

把式（36）和式（37）式代入方程（38）用 Galerkin方法得：

由于δf（t）的任意性可以得到：

為了簡化公式我們令：

Q=GcosΩ't那么方程（40）可簡化為：

方程（43）為系統(tǒng)的非線性振動微分方程。

4.2 對具有損傷雙層扁球面網(wǎng)殼自由振動方程求解

方程（43）的等價(jià)方程可寫為：

當(dāng)ε=0時(shí)，方程（44）是一未擾動的Hamilton系統(tǒng)，其Hamilton量為：

對于不同的H值，系統(tǒng)將有不同的力學(xué)行為。

假設(shè)H=0，則系統(tǒng)的Hamilton量為：

求解方程（46）得：

那么：

經(jīng)驗(yàn)證它們是方程的解。則系統(tǒng)（44）的自由振動方程解為：

4.3 用Melnikov函數(shù)分析具有損傷雙層扁球面網(wǎng)殼的混沌運(yùn)動

當(dāng)ε=0時(shí)，方程（44）是一未擾動的Hamilton系統(tǒng)，其Hamilton量為：

系統(tǒng)沿同宿軌道的Melnikov函數(shù)為：

將η2（τ）代入式（48）并經(jīng)過計(jì)算整理后得到：

式中τ0為參考時(shí)間，由此式可得，當(dāng)外激勵(lì)和阻尼滿足：當(dāng)=1時(shí)，

系統(tǒng)含有同宿軌道使相應(yīng)的Melnikov函數(shù)有簡單的零點(diǎn)從而系統(tǒng)可能產(chǎn)生Smale馬蹄變換下的混沌運(yùn)動，R（β'）為出現(xiàn)馬蹄變換的門檻值。易顯，考慮結(jié)構(gòu)桿件損傷的系統(tǒng)更易發(fā)生混沌運(yùn)動。

4.4 數(shù)值結(jié)果及討論

圖3 R～β'曲線Fig.3 R ～ β'curve

這里以半徑R為40 m，網(wǎng)殼高度h為3 m，失高f為5 m的圓底扁球面網(wǎng)殼為例，材料選用Q235鋼材，彈性模量E=2.06 ×106kg/cm2，γ=0.6 t/m3，a=3 m，網(wǎng)殼上、下弦桿面積S1=17.17 cm2，S2=13.08 cm2。由圖3可以看出損傷ω及系統(tǒng)頻率的變化對扁球面網(wǎng)殼混沌的影響，圖中給出了不同損傷下系統(tǒng)可能發(fā)生混沌運(yùn)動的臨界值。隨著損傷程度的增加可能發(fā)生混沌的區(qū)域也在增大。隨著頻率和損傷程度的增大，系統(tǒng)更容易發(fā)生混沌運(yùn)動。為了證實(shí)系統(tǒng)發(fā)生混沌運(yùn)動，在Melnikov函數(shù)法得到的混沌運(yùn)動可能的參數(shù)域內(nèi)，借助于計(jì)算機(jī)模擬，并利用成熟的方法時(shí)間歷程圖，相平面圖和Pioncare映射圖來證實(shí)混沌的存在。計(jì)算此網(wǎng)殼系統(tǒng)的無損傷時(shí)（ω=0），取α'=0.1，=1，g'=172，β'=2.76，當(dāng)ω=0.2 時(shí)，取α'=0.1，=1，g'=110，β'=2.39。當(dāng)ω=0.5 時(shí)，取α'=0.1，=1，g'=51，β'=1.84。數(shù)值模擬結(jié)果如圖 2，圖 3，圖 4 所示，其具有明顯的混沌特征，時(shí)間歷程圖無周期性，相平面軌跡相互纏繞，既無重疊也無規(guī)律，Poincare映射出系統(tǒng)具有復(fù)雜的混沌吸引子。因此更進(jìn)一步證實(shí)了混沌的存在，而且很明顯現(xiàn)實(shí)隨著損傷因子的增大混沌的臨界載荷越來越小。

5 結(jié)論

損傷對扁球面網(wǎng)殼的非線性振動特性有明顯的影響，損傷使殼體的振動頻率降低，隨著損傷的增大振動頻率見有較大幅度的降低。另外振動頻率隨振幅的增大而增大，而且隨著損傷的增大表現(xiàn)的尤為明顯。因此實(shí)際工程應(yīng)用和設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)予考慮損傷對結(jié)構(gòu)的影響。

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