蔡艷平，李艾華，石林鎖，何艷萍，趙靜茹

（第二炮兵工程學(xué)院五系，西安 710025）

1998 年，Huang［1］提出了基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的EMD算法，EMD算法和與之相應(yīng)的Hilbert譜統(tǒng)稱為Hilbert-Huang變換。Hilbert-Huang變換方法在處理非平穩(wěn)、非線性信號方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢，但此方法在實(shí)際應(yīng)用中還存在一些問題，其中端點(diǎn)效應(yīng)引起的問題最為突出［2－12］。目前已有許多學(xué)者開展這方面的研究，并提出了不同的邊界延拓方法。通過分析現(xiàn)有解決EMD端點(diǎn)效應(yīng)問題的研究成果，本文將其歸納為5類方法：

（1）極值點(diǎn)預(yù)測法，如陳忠等人［3］提出了通過添加極值點(diǎn)抑制端點(diǎn)效應(yīng)的方法，劉慧婷等人［4］提出了基于多項(xiàng)式擬合的端點(diǎn)效應(yīng)處理方法等；

（2）信號序列的鏡像延拓法，如趙進(jìn)平等人［5］提出鏡像延拓算法，法國學(xué)者Rilling等人［6］提出的邊界極值點(diǎn)鏡像延拓方法等；

（3）信號序列預(yù)測法，如鄧擁軍等人［7］提出用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)對數(shù)據(jù)序列進(jìn)行延拓，楊建文等人［8］提出基于AR模型的時(shí)間序列邊界延拓方法，程軍圣等人［9］提出了基于支持矢量回歸機(jī)技術(shù)的邊界延拓方法等；

（4）波形延拓法，如Huang等人［10］提出了在信號兩端分別添加一組特征波的邊界延拓方法，并將該方法申請了美國的專利。胡愛軍等人［11］提出了波形特征匹配延拓法等；

（5）窗函數(shù)法，如Qi等人［12］提出用窗函數(shù)法對數(shù)據(jù)序列進(jìn)行延拓，主要是在信號中間加矩形窗，在端點(diǎn)附近加漢寧窗、海明窗或者余弦窗，把窗函數(shù)和原信號相乘后的信號再做EMD分解。

上述這些方法的提出，為EMD的工程應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)，但這些方法均各有利弊。如極值點(diǎn)預(yù)測法，僅以信號端點(diǎn)附近極值點(diǎn)的特征信息決定延拓極值信息，因此，對非平穩(wěn)信號有時(shí)會不能準(zhǔn)確反映其真實(shí)趨勢，無法達(dá)到理想的EMD分解結(jié)果；鏡像延拓算法在信號具有較強(qiáng)的不對稱性時(shí)，則無論把鏡子放在哪里都不可避免的引入人為影響；支持矢量回歸機(jī)的邊界延拓方法具有較好效果，但其預(yù)測精度受內(nèi)積函數(shù)、損失函數(shù)、核函數(shù)、精度參數(shù)和懲罰參數(shù)經(jīng)驗(yàn)選擇的影響；波形特征匹配延拓法，該法更適用于周期信號或準(zhǔn)周期信號，對于非線性、非平穩(wěn)信號具有局限性。窗函數(shù)法由于加上了一個窗，所以會改變原信號。因此，如何根據(jù)機(jī)械振動信號的非線性、非平穩(wěn)特點(diǎn)，有針對性地提出適用性強(qiáng)的邊界延拓新方法，更好地將EMD應(yīng)用于機(jī)械振動模式分析中，是值得進(jìn)一步研究的。針對EMD端點(diǎn)延拓問題，本文提出了一種基于改進(jìn)型最大Lyapunov指數(shù)的邊界延拓算法。

1 EMD端點(diǎn)效應(yīng)問題機(jī)理分析

在標(biāo)準(zhǔn)EMD中，EMD包絡(luò)曲線擬合是采用三次樣條插值求取的，即先找出信號的所有極大值和極小值點(diǎn)，然后分別用三次樣條插值法來對極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)序列插值，從而獲得上、下包絡(luò)，再由上、下包絡(luò)線求信號的局部均值，以篩出信號的IMF。為了分析EMD端點(diǎn)效應(yīng)問題，本文首先分析三次樣條插值給EMD包絡(luò)曲線擬合帶來的影響。

設(shè)插值對象為平面上n+1個點(diǎn)（xi，yi）（i=0，1，…，n），插值點(diǎn)x0＜x1＜x2＜…＜xn；三次樣條插值函數(shù)s（xi）滿足以下3個條件：

（1）s（xi）=yi，i=0，1，…，n；

（2）s（xi）在每個區(qū)間［xi－1，xi］（i=0，1，…，n）上是一個三次多項(xiàng)式：

si（x）=ai（x－xi）3+bi（x－xi）2+ci（x－xi）+di，i=0，1，…，n；

（3）s（xi）在整個區(qū)間［x0，xn］上有連續(xù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)。

s（xi）還應(yīng)滿足下列三種邊界條件之一：

（1） 已知s'（x0）=y'0，s'（xn）=y'n；

（2） 已知s″（x0）=y″0，s″（xn）=y″n；

其中第一種和第二中邊界條件還可以互相搭配產(chǎn)生新的邊界條件，則滿足上述條件的s（x）存在且唯一：

其中：hi=xi－xi－1，x∈［xi－1，xi］，i=0，1，…，n

由此可知，對于［x0，xn］以外的外插值點(diǎn)，三次樣條插值方法并未給出明確的規(guī)定。一般來說，三次樣條插值方法對［x0，xn］以外的插值點(diǎn)的插值只是邊界點(diǎn)處相鄰二點(diǎn)的三次多項(xiàng)式的延伸。

事實(shí)上，在EMD分解中，由于信號的兩個端點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，無法提供三次樣條插值函數(shù)所需要條件，所以包絡(luò)線在端點(diǎn)會產(chǎn)生發(fā)散出現(xiàn)，并且這種發(fā)散的結(jié)果會逐漸向內(nèi)“污染”整個數(shù)據(jù)序列而使得結(jié)果嚴(yán)重失真，數(shù)據(jù)越短，其影響越大。

為了便于分析比較現(xiàn)有EMD端點(diǎn)效應(yīng)解決方法，采用文獻(xiàn)［9］、［13］中使用的仿真信號來分析，該信號的表達(dá)式為：

仿真信號的采樣頻率為10 Hz，數(shù)據(jù)長度為100，EMD的端點(diǎn)效應(yīng)現(xiàn)象見圖1。從圖1可見，該包絡(luò)線在數(shù)據(jù)兩端出現(xiàn)嚴(yán)重失真，尤其是上包絡(luò)線，發(fā)散現(xiàn)象非常嚴(yán)重。

圖1 三次樣條函數(shù)產(chǎn)生的端點(diǎn)效應(yīng)Fig.1 The end effect of EMD generated by cubic spline function

2 現(xiàn)有EMD端點(diǎn)效應(yīng)解決方法分析

本文主要分析目前三種典型邊界延拓算法：基于鏡像延拓的EMD改進(jìn)算法、基于SVM延拓的EMD改進(jìn)算法以及基于波形匹配延拓的EMD改進(jìn)算法。圖2給出了鏡像延拓及其上下包絡(luò)線，圖3給出了SVM延拓及其上下包絡(luò)線，圖4給出了波形匹配延拓及其上下包絡(luò)線。

圖2 鏡像延拓及其上下包絡(luò)線Fig.2 Mirror extension and its upper and lower envelope of EMD

圖3 SVM延拓及其上下包絡(luò)線Fig.3 SVM extension and its upper and lower envelope of EMD

圖4 波形匹配延拓及其上下包絡(luò)線Fig.4 Waveform matching extension and its upper and lower envelope of EMD

從圖2可見，鏡像延拓方法對x（t）兩端的延拓改善了三次樣條包絡(luò)，但與真實(shí)樣條包絡(luò)線相比仍出現(xiàn)了失真，尤其是其上包絡(luò)線，在信號兩端的誤差很大，這勢必將會影響EMD分解的精度；從圖3可見，SVM延拓方法的包絡(luò)曲線與真實(shí)樣條包絡(luò)比較吻合，與鏡像延拓方法相比改善效果更好一些，但其上包絡(luò)線與真實(shí)樣條包絡(luò)線相比也出現(xiàn)了部分失真；從圖4可見，波形匹配延拓方法對x（t）兩端的延拓明顯改善了三次樣條包絡(luò)，且與真實(shí)樣條包絡(luò)線的變化趨勢一致，這說明了波形匹配延拓的有效性。顯然，只要原始信號存在一定的規(guī)律性，該方法所延拓?cái)?shù)據(jù)就能延續(xù)原始信號的規(guī)律。但在實(shí)際信號中，如果信號內(nèi)部沒有任何一段波形的變化趨勢和邊緣處相似，如無規(guī)律的強(qiáng)隨機(jī)性非平穩(wěn)信號，則該方法的優(yōu)勢將不存在?；谏鲜龇治?，本文結(jié)合混沌相空間重構(gòu)理論，提出一種基于改進(jìn)型Lyapunov指數(shù)邊界延拓的EMD端點(diǎn)效應(yīng)處理方法。

3 EMD端點(diǎn)延拓的Lyapunov指數(shù)預(yù)測模型

由Packard和Takens提出的相空間重構(gòu)理論，將混沌理論引入到時(shí)間序列分析中，系統(tǒng)任意分量的演化是由與之相互作用的其他分量所決定的，因此可以從某一時(shí)間序列中提取和恢復(fù)出系統(tǒng)原來的規(guī)律。對于特定的時(shí)間序列：x1，x2，…，xn，如果能找到合適的嵌入維數(shù)m和延遲時(shí)間τ，則按照Takens定理可以重構(gòu)其相空間為：

其中：t=（m－1）τ+1，（m－1）τ+2，…，n，N=n－（m－1）τ為相點(diǎn)個數(shù)。

3.1 Lyapunov指數(shù)預(yù)測模型

Lyapunov指數(shù)刻畫了系統(tǒng)在相空間中的線度指數(shù)變化率，因此可將Lyapunov指數(shù)作為單序列變量的預(yù)報(bào)參數(shù)。設(shè)Lk為某時(shí)刻兩最近鄰點(diǎn)間的距離，經(jīng)步長Tk后距離演化為L'k+1，并假設(shè)在演化過程中L'k+1/Lk近似為一常值，則：

設(shè)預(yù)測點(diǎn)Y0（t）及其最近鄰點(diǎn)Ys（t）經(jīng)時(shí)間T后演化為Y0（t+T）和Ys（t+T），則可得預(yù)測方程：

當(dāng)提前預(yù)報(bào)時(shí)間T≤τ時(shí)，Y0（t+T）中只有一個分量x0（t+T）是未知的，解預(yù)測方程可得：

其中：

3.2 Lyapunov指數(shù)預(yù)測模型的改進(jìn)

利用最大Lyapunov指數(shù)法進(jìn)行預(yù)測時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)表示系統(tǒng)全體軌道在無窮多步演化條件下的平均發(fā)散度，因此，Lyapunov指數(shù)預(yù)測模型僅僅是軌道［Y0（t），Ys（t）］向［Y0（t+1），Ys（t+1）］演化規(guī)律的一個近似模型，而真實(shí)模型中應(yīng)該用軌道［Y0（t），Ys（t）］向［Y0（t+1），Ys（t+1）］演化時(shí)的發(fā)散度代替最大Lyapunov指數(shù)，本文對Lyapunov指數(shù)預(yù)測模型進(jìn)行改進(jìn)，步驟如下：

Step1：用互信息法計(jì)算時(shí)間序列的最佳延遲時(shí)間τ，然后再由Cao氏法計(jì)算最佳嵌入維數(shù)m，重構(gòu)相空間；

Step2：以局域發(fā)散度代替最大Lyapunov指數(shù)（基本預(yù)測模型同式5）；

局域發(fā)散度的計(jì)算方法：設(shè)參考點(diǎn)為Y0（t），其k個近鄰點(diǎn)為Yss（t），ss=1，2，…，k，Yss（t+T）表示近鄰點(diǎn)向前演化T（T≤τ）步之后對應(yīng)的相點(diǎn)。對任意近鄰點(diǎn)對（i，j），i，j=1，2，…，k且i＜j，計(jì)算：

在查詢近鄰點(diǎn)時(shí)不限制短暫分離，考慮夾角，且近鄰點(diǎn)個數(shù)較少，目的是使近鄰點(diǎn)之間的關(guān)系能夠近似參考點(diǎn)與其最近鄰點(diǎn)之間的關(guān)系。

4 改進(jìn)Lyapunov預(yù)測模型在端點(diǎn)延拓中的仿真

為了檢驗(yàn)本文方法的有效性，分別采用鏡像延拓的EMD、波形匹配延拓EMD和基于改進(jìn)型最大Lyapunov指數(shù)延拓EMD對式（2）給出的仿真信號進(jìn)行EMD分解，圖5～圖7分別給出各自的EMD分解結(jié)果。

圖5 基于鏡像延拓的EMD分解Fig.5 The EMD decomposition result based on mirror extension

圖6 基于波形匹配延拓的EMD分解Fig.6 The EMD decomposition result based on waveform matching extension

圖7 基于本文方法的EMD分解Fig.7 The EMD decomposition result based on the proposed method

從圖5～圖7可以看出：基于改進(jìn)型最大Lyapunov指數(shù)的邊界延拓效果最好，具有較好的端點(diǎn)效應(yīng)抑制能力。相對來說，基于波形匹配延拓方法和鏡像延拓法都抑制了端點(diǎn)效應(yīng)，但二者之間，基于波形匹配延拓方法的結(jié)果更勝一籌；基于鏡像延拓方法的效果要稍差一點(diǎn)，端點(diǎn)效應(yīng)仍有較多誤差傳遞至信號內(nèi)部。

5 旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷實(shí)例

為了檢驗(yàn)本文方法在實(shí)測信號中應(yīng)用的有效性，在WS－ZHT1進(jìn)行模擬油膜渦動故障試驗(yàn)，圖8為轉(zhuǎn)子試驗(yàn)臺測試系統(tǒng)圖。

一般，當(dāng)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速到達(dá)某一轉(zhuǎn)速時(shí)，會產(chǎn)生油膜渦動現(xiàn)象，油膜渦動的振動機(jī)理如下：軸頸在軸承中轉(zhuǎn)動時(shí)會受到油膜的擠壓力，當(dāng)擠壓力的切向分量大于阻尼力時(shí)轉(zhuǎn)軸將產(chǎn)生渦動，轉(zhuǎn)子繞其軸心線高速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為V，當(dāng)V大于失穩(wěn)轉(zhuǎn)速時(shí)軸頸出現(xiàn)渦動，渦動頻率fr約為fV/2，隨著轉(zhuǎn)速V上升，渦動頻率fr也近似保持這個關(guān)系，這種低頻振動稱為半速渦動，其振幅一般不是很大。油膜渦動的振動特點(diǎn)為油膜渦動的頻率接近于轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的一半；當(dāng)轉(zhuǎn)速上升到二倍于軸系的第一階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，油膜渦動轉(zhuǎn)變?yōu)橛湍ふ袷?，表現(xiàn)為轉(zhuǎn)子的振幅增大，轉(zhuǎn)速失穩(wěn)，且振蕩頻率不再追蹤轉(zhuǎn)速的變化，穩(wěn)定在某一特定的值（軸系第一階臨界轉(zhuǎn)速）［14－15］。

圖8 轉(zhuǎn)子試驗(yàn)臺測試系統(tǒng)圖Fig.8 Rotor test system

轉(zhuǎn)子油膜渦動的振動時(shí)域波形圖、頻譜圖如圖9、圖10所示。從頻譜圖10可看出，振動以半頻為主，頻率約為54 Hz，為轉(zhuǎn)子回轉(zhuǎn)頻率108.3Hz 的一半左右，是典型的油膜渦動故障。

為了檢驗(yàn)本文方法在提取旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障特征的有效性，限于篇幅，這里用鏡像邊界延拓、波形匹配延拓和最大Lyapunov指數(shù)邊界延拓三種改進(jìn)EMD方法分別對轉(zhuǎn)子油膜渦動故障振動信號進(jìn)行分析，見圖11～圖13。

圖11 鏡像邊界延拓方法分解結(jié)果Fig.11 The EMD decomposition result based on mirror extension

在圖11中，由上至下依次為原始信號和分解得到的3個IMF分量，第一個內(nèi)稟模態(tài)函數(shù)（IMF1）和第二個內(nèi)稟模態(tài)函數(shù)（IMF2）的端點(diǎn)產(chǎn)生了一定的發(fā)散，使得信號分解結(jié)果失真。由于鏡像邊界延拓方法存在的缺陷，致使EMD分解的結(jié)果中出現(xiàn)偽分量IMF3。在圖12中，由上至下依次為原始信號和分解得到的2個IMF分量。其中第一個內(nèi)稟模態(tài)函數(shù)（IMF1）和第二個內(nèi)稟模態(tài)函數(shù)（IMF2）分別對應(yīng)了信號中1倍頻及0.5倍頻振動模式，但第一個內(nèi)稟模態(tài)函數(shù)（IMF1）和第二個內(nèi)稟模態(tài)函數(shù)（IMF2）的端點(diǎn)仍有部分失真。在圖13中，IMF1和IMF2分別對應(yīng)了信號中1倍頻及0.5倍頻振動模式，且信號兩端基本沒有出現(xiàn)任何的擺動，分解結(jié)果非常理想，其在端點(diǎn)處的變化趨勢和原始信號的吻合度高，從高頻到低頻的2個IMF分量端點(diǎn)效應(yīng)得到了較好地抑制，包絡(luò)線的形式和幅值都較為準(zhǔn)確，并體現(xiàn)了原始信號的初始相位信息，上述對比說明本文提出的改進(jìn)型Lyapunov指數(shù)邊界延拓方法很好地抑制了EMD的端點(diǎn)效應(yīng)。

為更準(zhǔn)確地反映出各EMD改進(jìn)方法所得的IMF特征信息，對上述各EMD改進(jìn)方法的IMF分別進(jìn)行HHT時(shí)頻分析。圖14為用本文改進(jìn)的EMD方法得到的HHT時(shí)頻圖，圖15為用本文改進(jìn)的EMD方法得到的邊際譜圖。從圖14中可以看出：各譜線兩端沒有受到端點(diǎn)效應(yīng)的影響，且時(shí)頻譜圖上主要頻率分布為1倍頻及0.5倍頻成分，同時(shí)1倍頻有明顯的調(diào)頻現(xiàn)象。從圖15中可以看出：0.5倍頻成分已高于1倍頻，與圖10中的幅值譜相比，半頻成分能量更為集中，幅值比基頻大得多，基頻成分準(zhǔn)確表示了頻率調(diào)制范圍，在圖10中基頻成分頻率調(diào)頻特征基本沒有顯示出來，說明本文改進(jìn)HHT的時(shí)頻分析結(jié)果能更好地體現(xiàn)油膜渦動的故障特征。

圖16為端點(diǎn)不作處理的EMD方法得到的HHT時(shí)頻圖。從圖中可以看出，其HHT時(shí)頻圖基本看不出0.5倍頻振動模式，且在l倍頻信號兩端產(chǎn)生了嚴(yán)重的端點(diǎn)效應(yīng)現(xiàn)象。

圖17為用鏡像延拓方法得到的HHT時(shí)頻圖。從圖中可以看出，基于鏡像延拓方法的HHT時(shí)頻圖基本上包含了l倍頻和0.5倍頻振動模式，但波形存在失真，且在l倍頻信號兩端產(chǎn)生了一定的端點(diǎn)效應(yīng)現(xiàn)象。

圖18為用波形匹配延拓方法得到的HHT時(shí)頻圖。從圖中可以看出，基于波形匹配延拓方法的HHT時(shí)頻圖也基本上包含了l倍頻和0.5倍頻振動模式，但效果不及改進(jìn)型最大Lyapunov的邊界延拓方法，原因是其0.5倍頻振動模式波形存在部分失真。

圖18 基于波形匹配延拓方法的HHT時(shí)頻圖Fig.18 HHT time-frequency figure based on waveform matching extension method

對比圖14、圖16、圖17和圖18可看出四種方法分解結(jié)果的差異所在。顯然，本文方法使端點(diǎn)處的延拓更加合理，所延拓?cái)?shù)據(jù)更加趨于真實(shí)。因此，基于本文改進(jìn)的HHT方法更加準(zhǔn)確地提取了轉(zhuǎn)子油膜渦動的故障特征，也進(jìn)一步說明本文方法的有效性。

6 結(jié)論

在HHT應(yīng)用中，端點(diǎn)效應(yīng)是必須解決的問題之一，特別是在短數(shù)據(jù)序列的分析中，端點(diǎn)效應(yīng)成為影響該方法精度的主要因素。本文在總結(jié)現(xiàn)有邊界處理方法特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合混沌相空間重構(gòu)理論，提出一種基于改進(jìn)型Lyapunov指數(shù)邊界延拓的EMD端點(diǎn)效應(yīng)處理方法。其基本原理就是按混沌動力學(xué)過程，通過計(jì)算時(shí)間序列的最大Lyapunov指數(shù)，建立混沌預(yù)測模型來預(yù)測時(shí)間序列端點(diǎn)的發(fā)展規(guī)律，使EMD篩分過程中不會因?yàn)槎它c(diǎn)原因而污染內(nèi)部數(shù)據(jù)。在采用最大Lyapunov指數(shù)法進(jìn)行邊界延拓時(shí)，針對Lyapunov指數(shù)預(yù)測模型所表示的平均發(fā)散度僅是軌道演化規(guī)律的一個近似模型，提出采用局域發(fā)散度代替最大Lyapunov指數(shù)進(jìn)行改進(jìn)。通過與現(xiàn)有典型邊界延拓方法的仿真對比表明，所提方法的包絡(luò)線優(yōu)于其它方法，由于引入了時(shí)間序列混沌預(yù)測模型使端點(diǎn)處的延拓更合理，所延拓?cái)?shù)據(jù)更真實(shí)；最后將所提方法應(yīng)用在轉(zhuǎn)子油膜渦動故障診斷中，結(jié)果表明該方法能更準(zhǔn)確地提取轉(zhuǎn)子油膜渦動故障特征。

需要指出的是，本文所提方法對于無規(guī)律具有混沌特征的非平穩(wěn)信號，在減小HHT的端點(diǎn)效應(yīng)方面相對其它方法來說具有優(yōu)勢，但由于算法具有一定復(fù)雜性，其在計(jì)算時(shí)間上與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測算法相當(dāng)。EMD端點(diǎn)效應(yīng)是EMD算法中一個非常棘手的問題，這個問題沒解決好，EMD算法將毫無用武之地。因此，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)視被分析信號的需要來權(quán)衡計(jì)算精度和計(jì)算時(shí)間上的利弊進(jìn)行選擇不同的端點(diǎn)效應(yīng)解決方法。

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