白爭鋒，趙 陽，趙志剛

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院航天工程系，哈爾濱 150001）

由于裝配、制造誤差和磨損，運(yùn)動副中的間隙是不可避免的，在機(jī)構(gòu)運(yùn)行期間，間隙不可避免地存在于各活動鉸接處，活動鉸關(guān)節(jié)元素存在失去接觸的現(xiàn)象，待再接觸時會產(chǎn)生碰撞。間隙使實(shí)際機(jī)構(gòu)與理想機(jī)構(gòu)的運(yùn)動發(fā)生偏離，降低了機(jī)構(gòu)運(yùn)動精度，而且容易引起沖擊動載荷，影響系統(tǒng)載荷傳遞，以及造成運(yùn)動副的破壞和失效。隨著精密機(jī)械工程和航天工程的發(fā)展，對精確預(yù)測系統(tǒng)動力學(xué)行為的要求越來越迫切，含間隙機(jī)構(gòu)動力學(xué)已經(jīng)成為國內(nèi)外機(jī)械工程、宇航工程界迫切要解決的關(guān)鍵問題之一［1－5］。為了研究含間隙機(jī)構(gòu)的動態(tài)特性，本文建立了一種改進(jìn)的間隙非線性接觸碰撞力的混合模型，同時采用修正的庫侖摩擦模型描述間隙處的摩擦作用，并將其嵌入到機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)分析軟件ADAMS中，以含間隙四連桿機(jī)構(gòu)為研究對象，建立含間隙機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型并進(jìn)行動力學(xué)仿真，詳細(xì)的研究了含間隙機(jī)構(gòu)的動態(tài)特性。

1 含間隙機(jī)構(gòu)動力學(xué)建模

運(yùn)動副鉸間間隙會引起相連兩體的內(nèi)碰撞，在機(jī)構(gòu)運(yùn)行期間，運(yùn)動副包含有間隙，體與體之間的連接產(chǎn)生了松動，運(yùn)動副關(guān)節(jié)元素存在失去接觸的現(xiàn)象，進(jìn)入到自由運(yùn)動狀態(tài)，待再接觸時會產(chǎn)生碰撞，因此間隙總是要包含著一定的接觸和碰撞過程。含間隙機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)建模的關(guān)鍵是如何把間隙模型嵌入到系統(tǒng)的動力學(xué)模型中，這需要考慮間隙運(yùn)動副的真實(shí)描述和間隙接觸碰撞過程的正確描述。

1.1 運(yùn)動副間隙的矢量模型

如圖1所示，間隙矢量模型［6，7］通過在平面旋轉(zhuǎn)鉸中引入一個間隙矢量來表達(dá)旋轉(zhuǎn)鉸的真實(shí)潛在行為。在該模型中，間隙矢量代表了旋轉(zhuǎn)鉸所連接的兩相鄰構(gòu)件連接點(diǎn)的精確的相對位置，可以有效處理間隙運(yùn)動副連接點(diǎn)相對位置的變化。

間隙矢量定義在一個局部浮動笛卡爾坐標(biāo)系中，以軸承的回轉(zhuǎn)中心為間隙矢量的基準(zhǔn)起始點(diǎn)，間隙矢量的方向指向軸和軸承相對運(yùn)動時的潛在接觸點(diǎn)，該潛在接觸點(diǎn)構(gòu)成了軸與軸承的相對碰撞點(diǎn)對。間隙矢量的大小被嚴(yán)格限制在以軸承回轉(zhuǎn)中心為圓心且以軸和軸承的徑向尺寸公差為半徑的間隙圓內(nèi)，因此間隙矢量大小的變化能夠反映構(gòu)件的加工誤差［6］，并且矢量大小的變化能夠反映間隙運(yùn)動副元素是否接觸。

對含間隙旋轉(zhuǎn)鉸，間隙大小用軸承與軸半徑之差來描述，則間隙為：

圖1 運(yùn)動副間隙矢量模型示意圖Fig.1 Revolute joint with clearance

其中Ri為軸承半徑，Rj為軸半徑。

1.2 運(yùn)動副間隙的接觸碰撞力模型

旋轉(zhuǎn)間隙鉸接觸碰撞過程中的接觸碰撞力模型是含間隙機(jī)構(gòu)動力學(xué)分析所必須考慮的重要內(nèi)容之一。本文建立一種改進(jìn)的間隙非線性連續(xù)接觸碰撞力的混合模型，是Lankarani-Nikravesh模型與改進(jìn)彈性基礎(chǔ)接觸模型的混合。

Lankarani-Nikravesh模型［8］采用通用的 Hertz接觸力表達(dá)公式并考慮了阻尼影響且能夠描述碰撞過程中的能量損失。其表達(dá)式為：

式中，方程右邊第一項(xiàng)代表碰撞過程的彈性變形力，第二項(xiàng)則描述了碰撞過程中的能量損失行為，式中的K為碰撞體的接觸剛度系數(shù)，由Goldsmith通過兩個球形體的碰撞實(shí)驗(yàn)測得，其表達(dá)式為：

其中v和E分別表示泊松比和楊氏模量，Ri和Rj分別為兩球的半徑。

式（2）中的系數(shù)D為碰撞過程的阻尼系數(shù)，為相對碰撞速度，D的表達(dá)式為［8，9］：

其中ce為恢復(fù)系數(shù)；（－）為撞擊點(diǎn)的初始相對速度。

由于式（3）阻尼系數(shù)的推導(dǎo)過程中假設(shè)恢復(fù)系數(shù)ce≈1，所以得到的表達(dá)式只能表示大的恢復(fù)系數(shù)，而無法表示小的恢復(fù)系數(shù)，文獻(xiàn)［10］對此作了改進(jìn)，得到了修正后接觸阻尼與恢復(fù)系數(shù)之間的關(guān)系如式（4），該阻尼系數(shù)不受碰撞恢復(fù)系數(shù)的限制。

由于Hertz接觸理論是基于凸面與凸面的接觸問題推導(dǎo)出來的，并且在處理大間隙非協(xié)調(diào)接觸中是可以得到令人滿意的結(jié)果的，然而實(shí)際旋轉(zhuǎn)鉸中間隙很小，并且是凸面與凹面的接觸，尤其在小間隙軸孔接觸時，得到的結(jié)果往往是不精確的。而且在以往的大部分文獻(xiàn)中，碰撞接觸剛度和阻尼系數(shù)都是根據(jù)兩個球形體碰撞情況簡單計(jì)算甚至根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取一個常值，這和實(shí)際情況是不相符的［11－13］。文獻(xiàn)［11］采用了Winkler彈性基礎(chǔ)模型以及Hertz的二次壓力分布假設(shè)，提出新的適合描述圓柱間隙鉸的載荷－位移關(guān)系，得到了基于改進(jìn)彈性基礎(chǔ)模型的圓柱間隙鉸載荷FN與變形量δ的關(guān)系如下：

其中式（5）中E*為復(fù)合彈性模量，表達(dá)式為：

該模型不僅能應(yīng)用于有較大間隙情況的接觸問題，也能應(yīng)用于有較小間隙情況的接觸分析，拓展了間隙接觸分析。通過與有限元數(shù)值計(jì)算結(jié)果對比，發(fā)現(xiàn)該簡化模型比目前通常采用的Hertz模型具有更好的精度及更大的適用范圍［11］。

本文在其基礎(chǔ)上，提出了非線性剛度系數(shù)，通過求解基于改進(jìn)彈性基礎(chǔ)接觸模型的間隙鉸載荷－位移關(guān)系曲線在某瞬時碰撞點(diǎn)附近的曲線斜率得到［14］，由式（5）進(jìn)一步可以得到非線性剛度系數(shù)Kn為：

間隙接觸碰撞力模型的改進(jìn)主要是在彈性接觸力基礎(chǔ)上增加某種形式的阻尼力，采用文獻(xiàn)［15］中的研究思想，以及結(jié)合基于改進(jìn)彈性基礎(chǔ)模型的間隙鉸接觸碰撞力表達(dá)式，對式（4）阻尼形式進(jìn)一步改進(jìn)，在阻尼力模型中引入基于改進(jìn)彈性基礎(chǔ)接觸模型推導(dǎo)的非線性剛度系數(shù)與Lankarani-Nikravesh模型剛度系數(shù)之比，則阻尼系數(shù)如下：

在以上研究基礎(chǔ)上，本文采借鑒文獻(xiàn)［15］中的研究思想，建立Lankarani-Nikravesh模型與基于改進(jìn)彈性基礎(chǔ)接觸模型的混合模型，采用Lankarani-Nikravesh模型的形式，模型中的剛度系數(shù)應(yīng)用基于改進(jìn)彈性基礎(chǔ)接觸模型推導(dǎo)的非線性剛度系數(shù)Kn，以及在Lankarani-Nikravesh模型的阻尼力中引入改進(jìn)彈性基礎(chǔ)接觸模型與Lankarani-Nikravesh模型剛度系數(shù)之比，從而混合模型碰撞過程中的阻尼系數(shù)為Dmod。因此運(yùn)動副間隙接觸碰撞力混合模型的表達(dá)式為：

1.3 運(yùn)動副間隙的摩擦力模型

運(yùn)動副間隙切向接觸特性可以通過切向摩擦力模型來描述，本文考慮運(yùn)動副間隙摩擦為干摩擦，不考慮潤滑。最為著名的摩擦力模型是Coulomb摩擦模型，該模型通常用于描述沖擊或接觸碰撞過程中的摩擦行為。為了能夠更加準(zhǔn)確描述軸與軸承間的干摩擦行為，以及相對低速情況下出現(xiàn)的粘質(zhì)和微滑現(xiàn)象，避免數(shù)值計(jì)算中速度方向變化時出現(xiàn)摩擦力突變，本文采用修正的Coulomb摩擦力模型，在該模型中提出了動態(tài)摩擦系數(shù)的概念，即摩擦系數(shù)不是一個常數(shù)，而是與切向滑動速度有關(guān)，是切向滑動速度的函數(shù)，切向摩擦力計(jì)算公式為：

在該模型中提出了動態(tài)摩擦系數(shù)的概念，即摩擦系數(shù)不是一個常數(shù)，而是與切向滑動速度有關(guān)，是切向滑動速度的函數(shù)，其公式表達(dá)為：

其中νt表示軸與軸承在碰撞點(diǎn)的相對滑動速度，即切向方向的速度分量，μd為滑動摩擦系數(shù)，μs為靜摩擦系數(shù)，νs為靜摩擦臨界速度，νd為最大動摩擦臨界速度。在區(qū)間［0，νd］采用heaviside階躍函數(shù)的三次多項(xiàng)式逼近。

動態(tài)摩擦系數(shù)的函數(shù)曲線如圖2。

2 含間隙機(jī)構(gòu)動態(tài)特性仿真分析

2.1 機(jī)構(gòu)仿真參數(shù)

基于上述含間隙運(yùn)動副的間隙矢量模型和間隙接觸碰撞力的混合模型，以及修正的摩擦力模型，將其嵌入ADAMS軟件中，以一四連桿機(jī)構(gòu)為對象，建立含間隙四連桿機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型并進(jìn)行動力學(xué)仿真分析，研究含間隙機(jī)構(gòu)動態(tài)特性。

圖2 摩擦系數(shù)隨滑動速度的變化曲線Fig.2 Coefficient of friction vs.slip velocity

圖3 含間隙四連桿機(jī)構(gòu)Fig.3 4 － bar mechanism with joint clearance

四連桿機(jī)構(gòu)如圖3所示，連桿與隨動桿的轉(zhuǎn)動鉸B存在間隙。四連桿機(jī)構(gòu)的參數(shù)如下：曲柄l1=550 mm，連桿l2=360 mm，隨動桿l3=640 mm，支架l4=210 mm，m1=3.625 3 kg，J1=0.102 143 kg·m2，m2=2.439 4 kg，J2=3.142 8 × 10－2kg·m2，m3=4.189 4 kg，J3=0.157 96 kg·m2，間隙大小為 0.5 mm，摩擦系數(shù)為0.1，恢復(fù)系數(shù)為 0.9，楊氏模量為 207 GPa，曲柄轉(zhuǎn)速為600 r/min。

2.2 仿真結(jié)果與分析

為了研究運(yùn)動副間隙對機(jī)構(gòu)運(yùn)動特性的影響，取間隙為c=0.5 mm，對含間隙機(jī)構(gòu)與理想不含間隙機(jī)構(gòu)進(jìn)行動力學(xué)仿真，隨動桿的動力學(xué)特性結(jié)果如圖4。

由圖4（a）可知，含間隙時隨動桿的角位移與理想鉸時隨動桿的角位移曲線幾乎完全重合，這表明間隙對機(jī)構(gòu)的角位移基本沒有影響。由圖4（b）可知，考慮鉸間間隙時，隨動桿的角速度圍繞理想無間隙隨動桿角速度出現(xiàn)小的波動，但整體趨勢相同，說明鉸間間隙對隨動桿的角速度影響較小。然而，由圖4（c）可知，理想機(jī)構(gòu)隨動桿角加速度曲線很光滑，但考慮鉸間間隙時，角加速度出現(xiàn)明顯的波動，存在許多峰值，并且幅值比理想機(jī)構(gòu)增大，可知鉸間間隙對隨動桿的角加速度有較大的影響，對機(jī)構(gòu)的運(yùn)動精度產(chǎn)生較大的影響。分析可知由于軸與軸套之間存在間隙，因此產(chǎn)生了間隙碰撞力，是一種局部效應(yīng)，每次碰撞時間極短，因此對角位移影響不大，但對角加速度影響較明顯。間隙碰撞力如圖5所示，由于間隙的存在，產(chǎn)生了脈沖式的間隙碰撞力，碰撞力幅值較大并且體現(xiàn)出高頻振蕩的特點(diǎn)。維持曲柄恒速轉(zhuǎn)動所需的驅(qū)動力矩也體現(xiàn)出相同的特點(diǎn)，如圖6所示。

圖4 含間隙機(jī)構(gòu)動態(tài)特性Fig.4 Dynamic Characteristics of Mechanism with joint clearance

圖5 關(guān)節(jié)碰撞力Fig.5 Contact force in the joint

將本文改進(jìn)的間隙非線性連續(xù)接觸碰撞力模型與基于Lankarani-Nikravesh模型進(jìn)行含間隙機(jī)構(gòu)動態(tài)特性仿真結(jié)果進(jìn)行比較，基于Lankarani-Nikravesh模型的仿真結(jié)果如圖7所示。

圖6 維持曲柄恒轉(zhuǎn)速所需的驅(qū)動力矩Fig.6 Crank moment required to maintain the angular velocity constant

圖7 Lankarani-Nikravesh模型仿真結(jié)果Fig.7 Simulation results of Lankarani-Nikravesh model

比較圖7與圖4（c）、圖5可以看出，基于Lankarani-Nikravesh模型計(jì)算含間隙機(jī)構(gòu)動態(tài)特性時，機(jī)構(gòu)穩(wěn)態(tài)工作時，加速度和碰撞力振蕩的更厲害，振蕩幅值更大。

進(jìn)一步基于本文模型研究不同間隙大小對機(jī)構(gòu)動態(tài)特性的影響，取間隙大小分別為0.25 mm，0.1 mm，0.01 mm進(jìn)行動力學(xué)仿真分析，隨動桿加速度曲線的仿真結(jié)果如圖8。

圖8 不同大小間隙機(jī)構(gòu)動態(tài)特性Fig.8 Dynamic Characteristics of Mechanism with different clearance size

由分析圖8可知，不同間隙大小時，隨動桿的動態(tài)特性差別很大。具體表現(xiàn)為：間隙越小，對隨動桿角加速度的影響降低，波動幅值變小，因而間隙越小，鉸間間隙碰撞力波動峰值越小。因此當(dāng)鉸間間隙減小時，機(jī)構(gòu)動態(tài)行為曲線變得更加光滑，表現(xiàn)為有較小的波動峰值，并且間隙越小，系統(tǒng)的動力學(xué)特性更趨向于理想機(jī)構(gòu)。

3 結(jié)論

由于裝配、制造誤差和磨損，運(yùn)動副中的間隙是不可避免的，在機(jī)構(gòu)運(yùn)行期間，間隙不可避免地存在于各活動鉸接處，間隙使實(shí)際機(jī)構(gòu)與理想機(jī)構(gòu)的運(yùn)動發(fā)生偏離，降低了機(jī)構(gòu)運(yùn)動精度。為了討論間隙對機(jī)構(gòu)動力學(xué)特性的影響，本文建立了一種改進(jìn)的間隙非線性連續(xù)接觸碰撞力的混合模型，并采用修正的庫侖摩擦模型描述間隙的摩擦作用，并將其嵌入到機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)分析軟件ADAMS中，以含間隙四連桿機(jī)構(gòu)為研究對象，建立含間隙機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型并進(jìn)行動力學(xué)仿真，詳細(xì)的研究了含間隙機(jī)構(gòu)的動態(tài)特性。研究結(jié)果表明：

（1）間隙的存在使得機(jī)構(gòu)的動態(tài)特性發(fā)生變化，具體表現(xiàn)為：對機(jī)構(gòu)的角位移沒有影響；對機(jī)構(gòu)的角速度有較小的影響；對機(jī)構(gòu)的角加速度有較大的影響，角加速度出現(xiàn)明顯的波動，并且幅值比理想機(jī)構(gòu)增大；因此間隙對機(jī)構(gòu)的運(yùn)動穩(wěn)定性影響較大，也說明角加速度對間隙比較敏感。間隙的存在會增大運(yùn)動副關(guān)節(jié)碰撞力，產(chǎn)生脈沖式的接觸碰撞力，碰撞力呈現(xiàn)出高頻振蕩的特點(diǎn)；

（2）間隙減小時，機(jī)構(gòu)動態(tài)行為曲線變得更加光滑，表現(xiàn)為有較小的波動峰值，并且間隙越小，系統(tǒng)的動力學(xué)特性更趨向于理想機(jī)構(gòu)。

（3）考慮運(yùn)動副間隙的機(jī)構(gòu)更加真實(shí)的反映了機(jī)構(gòu)的動力學(xué)特性，能夠準(zhǔn)確的預(yù)測含間隙機(jī)構(gòu)的動力學(xué)特性，為研究機(jī)構(gòu)的運(yùn)動精度和機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了基礎(chǔ)。

（4）本文建立的改進(jìn)的間隙非線性連續(xù)接觸碰撞力的混合模型能夠有效的描述含間隙機(jī)構(gòu)的動態(tài)特性，并且計(jì)算效率較高，拓展了間隙鉸接觸碰撞動力學(xué)建模與含間隙機(jī)構(gòu)動力學(xué)特性的研究，有利于工程實(shí)際應(yīng)用。

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