郝慧榮，白鴻柏，張慧杰，李冬偉，劉樹(shù)峰

（1.軍械工程學(xué)院，石家莊 050003；2.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)，呼和浩特 010051）

精密的電子、光學(xué)設(shè)備為避免來(lái)自空間的沖擊與振動(dòng)的影響與損壞，通常需要采用隔振平臺(tái)來(lái)進(jìn)行防護(hù)，六自由度隔振就是在這樣的背景下產(chǎn)生的一種防護(hù)技術(shù)；主被動(dòng)一體隔振平臺(tái)是在傳統(tǒng)的被動(dòng)隔振基礎(chǔ)上添加主動(dòng)控制力，其可以克服傳統(tǒng)被動(dòng)隔振在低于固有頻率時(shí)無(wú)法隔振的弱點(diǎn)［1～5］。

要實(shí)現(xiàn)六自由度平臺(tái)的主被動(dòng)一體隔振就必須建立起其動(dòng)力學(xué)模型，這是實(shí)現(xiàn)隔振的主動(dòng)控制的前提，也是能否達(dá)到滿意控制效果的關(guān)鍵。

實(shí)驗(yàn)建模又叫做實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)辨識(shí)，是系統(tǒng)辨識(shí)的一個(gè)方面。模態(tài)參數(shù)辨識(shí)的方法很多，有時(shí)域辨識(shí)方法，也有頻域辨識(shí)方法。這里采用的是時(shí)域辨識(shí)，即對(duì)結(jié)構(gòu)上某一點(diǎn)激勵(lì)，同時(shí)測(cè)得激勵(lì)點(diǎn)與響應(yīng)點(diǎn)的時(shí)域信號(hào)，根據(jù)多自由度振動(dòng)的理論知識(shí)，利用最小二乘遞推算法辨識(shí)出模態(tài)參數(shù)［6－7］。

文獻(xiàn)［8］雖然曾對(duì)主被動(dòng)一體隔振平臺(tái)進(jìn)行過(guò)實(shí)驗(yàn)建模，但其存在以下幾點(diǎn)不足：① 利用錘擊脈沖激勵(lì)信噪差，得到頻響函數(shù)準(zhǔn)確性不高；② 所辨識(shí)的模型只是基于平臺(tái)本身考慮而不包含作動(dòng)器，因此，得到的模型只是整個(gè)控制系統(tǒng)的子系統(tǒng)，還得單獨(dú)建立作動(dòng)器的動(dòng)力學(xué)模型。文獻(xiàn)［9］實(shí)驗(yàn)建模采用平臺(tái)自身作動(dòng)器快速正弦掃描激勵(lì)雖然提高了信噪比，但其因作動(dòng)器分組而帶入一些計(jì)算增加了模型的不確定性。

1 六自由度主被動(dòng)一體隔振平臺(tái)測(cè)試系統(tǒng)

六自由度主被動(dòng)一體隔振平臺(tái)如圖1所示，其由4個(gè)空氣彈簧被動(dòng)支撐，每個(gè)空氣彈簧可等效為具有三向剛度、阻尼的六自由度鉸［10］；6個(gè)傳感器監(jiān)測(cè)隔振平臺(tái)的振動(dòng)情況，將信號(hào)反饋給控制器；8個(gè)作動(dòng)器將根據(jù)控制器的指令為平臺(tái)提供主動(dòng)控制力，且作動(dòng)器的安裝不影響平臺(tái)的六個(gè)自由度。圖1中6個(gè)傳感器中的1、3、5 為垂直傳感器，方向同z正向；2、4、6 為水平傳感器，2的方向同x正向，4的方向同y正向，6的方向同y反向；8個(gè)作動(dòng)器中的1、2、3、4水平放置，5、6、7、8垂直放置。1方向同y正向；2方向同x反向；3方向同y反向；4方向同x正向；5、6、7、8方向同z正向。

要對(duì)平臺(tái)進(jìn)行主動(dòng)控制，前提條件是需要知道控制對(duì)象的動(dòng)力學(xué)模型，整個(gè)主被動(dòng)隔振系統(tǒng)的模型結(jié)構(gòu)辨識(shí)如框圖2（a）所示，這里需要說(shuō)明的是：在進(jìn)行隔振主動(dòng)控制時(shí)沒(méi)有圖2（a）中的虛線，而在實(shí)驗(yàn)建模系統(tǒng)辨識(shí)時(shí)需用到虛線連接，主動(dòng)控制時(shí)工控機(jī)作為控制器向作動(dòng)器發(fā)出控制信號(hào)，而在系統(tǒng)辨識(shí)時(shí)工控機(jī)作為信號(hào)發(fā)生器向作動(dòng)器發(fā)出激勵(lì)信號(hào)；作為對(duì)比，圖2（b）給出了文獻(xiàn)［8］中提到的辨識(shí)方法框圖，從中可以發(fā)現(xiàn)：圖2（b）所辨識(shí)結(jié)果是圖2（a）的一部分只是平臺(tái)本身。

2 慣性參考坐標(biāo)到傳感器坐標(biāo)的變換

在考慮空間六自由度隔振問(wèn)題時(shí)就會(huì)涉及到轉(zhuǎn)動(dòng)，而轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)帶來(lái)方向余弦矩陣R，即旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的坐標(biāo)變換，一般采用多剛體的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)法，最普遍采用歐拉角坐標(biāo)，記 α、β、γ 為歐拉角，則：

式中c表示cos（·），s表示sin（·）。當(dāng)平臺(tái)只發(fā)生微小轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，有 cos（·）≈1，sin（·）≈（·），sin（·）sin（·）≈0坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣R可以簡(jiǎn)化為：

式（2）的簡(jiǎn)化使得六自由度動(dòng)力學(xué)方程變?yōu)榱司€性方程，這時(shí)可認(rèn)為歐拉角就是繞各慣性坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)角。在物理空間，選取坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系后（參見(jiàn)圖1），隔振平臺(tái)上任意點(diǎn)b與隔振平臺(tái)質(zhì)心o的位移的關(guān)系可表示為：

其中xb、yb、zb為b點(diǎn)的三個(gè)方向上的坐標(biāo)；xo、yo、zo為平臺(tái)質(zhì)心o的慣性位移坐標(biāo)；bx、by、bz為b點(diǎn)在平臺(tái)質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)的“固連坐標(biāo)系”下的坐標(biāo)。由式（3）有下面的式子成立：

其中q=（q1q2…q6）T為6個(gè)傳感器監(jiān)測(cè)的信號(hào)；zb1、xb2…yb6為6個(gè)傳感器在慣性坐標(biāo)下沿著其測(cè)試方向的位移；x=（xo，yo，zo，α，β，γ）T為六自由度的物理坐標(biāo)；bx1、bx2…bx6，by1、by2…by6，bz1、bz2…bz6為 6 個(gè)傳感器在平臺(tái)“固連坐標(biāo)系”下的坐標(biāo)。φ是傳感器的布置矩陣，若det（φ）≠0則有下式成立：

由式（4）可知，若能完整監(jiān)測(cè)六個(gè)自由的運(yùn)動(dòng)情況，傳感器布置必須滿足det（φ）≠0的條件。

在物理坐標(biāo)下六自由度的動(dòng)力學(xué)方程為：

其中M1、C1和K1分別為在慣性參考坐標(biāo)系下的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；F=（fx，fy，fz，Mx，My，Mz）T是物理坐標(biāo)下沿著三個(gè)方向的力與繞三個(gè)方向的力矩。在滿足det（φ）≠0的情況下，式（6）可變?yōu)椋?/p>

或?qū)憺椋?/p>

其中：M2=φM1φ－1、C2= φC1φ－1和 K2= φK1φ－1分別為在傳感器坐標(biāo)系下的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣。

設(shè)dx1…、dy1…、dz1…為8個(gè)電磁作動(dòng)器在平臺(tái)“固連坐標(biāo)系”下的坐標(biāo)，則有下面的式子成立：

其中T=（T1T2…T8）T是作動(dòng)器的輸入激勵(lì)力，ψ是作動(dòng)器的布置矩陣。

若傳感器與作動(dòng)器都是線性的則有：

其中Λq、ΛT是6個(gè)傳感器與8個(gè)作動(dòng)器的物理量與電壓向量Uq、UT的標(biāo)定系數(shù)矩陣，將式（8），式（9）帶入式（7）得：

或?qū)憺椋?/p>

其中：

由det（φ）≠0可推出det（M2）≠0，式（10b）可化為：

其中，C4=M－13C3，K4=M－13K3，Φ2=M－13Φ1，質(zhì)量陣化為了單位矩陣。

化為式（11）的好處是可以不必再關(guān)心傳感器布置矩陣φ與作動(dòng)器布置矩陣ψ的具體數(shù)值，也不必再關(guān)心它們的標(biāo)定系數(shù)矩陣Λq、ΛT的具體數(shù)值，直接建立起輸入與輸出之間的動(dòng)力學(xué)模型，可以最大限度的減少模型的不確定性，實(shí)現(xiàn)整體建模。再有化為（11）式為參數(shù)估計(jì)提供了一個(gè)簡(jiǎn)潔的模型。

3 最小二乘估計(jì)遞推算法

通過(guò)觀察式（11）可以發(fā)現(xiàn)：式（11）的每一行有20個(gè)待辨識(shí)的參數(shù)，整個(gè)方程組總共有120個(gè)參數(shù)。在實(shí)際的辨識(shí)實(shí)驗(yàn)中，可以直接通過(guò)觀測(cè)得到電壓向量Uq、UT，而將Uq信號(hào)數(shù)值微分一次、兩次就可以知道、。不能直接使用式（11）進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，需將其化為參數(shù)估計(jì)模型。將式（11）的第i行（i=1，2…6）展開(kāi)變化為：

Yi（j）是j×1的觀測(cè)矢量，H（j）是j×20的觀測(cè)矩陣。在最小二乘準(zhǔn)則下：

記 P（j）=［H（j）T·H（j）］－1為信息矩陣，增加一次新的觀測(cè)：

由矩陣反演公式［7］知：

其中K（j）為增益矩陣：

進(jìn)一步推得待估參數(shù)矢量的遞推公式為：

4 辨識(shí)結(jié)果

參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)實(shí)驗(yàn)的具體做法是：利用主被動(dòng)一體隔振平臺(tái)的8個(gè)電磁作動(dòng)器分別對(duì)平臺(tái)進(jìn)行力掃頻激勵(lì)，通過(guò)6個(gè)傳感器測(cè)得平臺(tái)的位移響應(yīng)信號(hào)，將激勵(lì)與響應(yīng)信號(hào)都記錄下來(lái)后，帶入辨識(shí)的狀態(tài)方程進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)（或叫做參數(shù)估計(jì)）。

平臺(tái)實(shí)驗(yàn)建模的測(cè)試設(shè)備為：傳感器采用的是中國(guó)地震局制造的941B型低頻測(cè)振儀；A/D轉(zhuǎn)換采用的是PCI－1713多通道12位采集卡；D/A轉(zhuǎn)換采用的PCI－1723多通道16位輸出卡；作為平臺(tái)振動(dòng)激勵(lì)的作動(dòng)器與功放采用的是課題組開(kāi)發(fā)研制的音圈電機(jī)以及其功放，整個(gè)系統(tǒng)實(shí)物如圖3所示。快速正弦掃描在整個(gè)測(cè)試頻段內(nèi)能獲得平譜，且激勵(lì)能量相同，信噪比大，精度高，因此這里激勵(lì)信號(hào)選用快速正弦掃描。

圖3 六自由度主被動(dòng)一體隔振平臺(tái)實(shí)物圖Fig.3 6-DOF active-passive vibration isolation platform

當(dāng)用振動(dòng)控制儀給每個(gè)作動(dòng)器分別施加頻率3 Hz～30 Hz，振幅1 V如圖4所示的掃頻激勵(lì)信號(hào)時(shí)，六個(gè)傳感器實(shí)測(cè)到的位移電壓信號(hào)如圖5所示。通過(guò)前文實(shí)驗(yàn)建模中的辨識(shí)方法，可得到六自由度隔振平臺(tái)的標(biāo)稱(chēng)參數(shù)矩陣為：

圖4 八個(gè)作動(dòng)器掃頻激勵(lì)信號(hào)Fig.4 The frequency sweep signal of the eight actuators

圖6給出了應(yīng)用最小二乘遞推算法，當(dāng)i=1時(shí)的誤差曲線，可見(jiàn)參數(shù)的估計(jì)值是趨于穩(wěn)定的，當(dāng)i=2，3…6時(shí)有類(lèi)似的誤差曲線。

知道了C4、K4和Φ2后就可以方便的寫(xiě)出未加控制時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)方程：

圖5 八個(gè)作動(dòng)器分別掃頻激勵(lì)六個(gè)傳感器測(cè)的位移信號(hào)Fig.5 Displacement signals of the six sensors under the eight actuators separately frequency sweep actuation

式（19）中系統(tǒng)狀態(tài)方程階次是12階，有了未加控制時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)方程，就可以進(jìn)行下一步的振動(dòng)主動(dòng)控制器的設(shè)計(jì)了，這里不再贅述。

圖6 誤差曲線Fig.6 The curve of error

5 結(jié)論

本文與文獻(xiàn)［8，9］的模型辨識(shí)最大的不同是在時(shí)域進(jìn)行而非頻域，在頻域辨識(shí)每次只能使用一個(gè)傳感器的信息，信息掌握不全面，而且每個(gè)單獨(dú)辨識(shí)容易造成虛假（噪聲）模態(tài)的產(chǎn)生，最終整個(gè)系統(tǒng)的階次會(huì)很高，使用時(shí)域的方法六個(gè)傳感器的信息都被使用，最終的系統(tǒng)狀態(tài)方程階次只有12階。另外，通過(guò)模型參數(shù)的辨識(shí)發(fā)現(xiàn)如下幾點(diǎn)結(jié)論：

（1）利用作動(dòng)器作為激勵(lì)源信噪比高，可以直接辨識(shí)出整個(gè)系統(tǒng)的模型，比分模塊辨識(shí)減少了工作量；

（2）空間物理坐標(biāo)到傳感器坐標(biāo)的變換，既使得不必再關(guān)心傳感器與作動(dòng)器的位置矩陣具體的數(shù)值，也不必再關(guān)心它們的標(biāo)定系數(shù)矩陣的具體數(shù)值，可以方便的建立起輸入與輸出之間的動(dòng)力學(xué)模型；

（3）若要能完整監(jiān)測(cè)六個(gè)自由的運(yùn)動(dòng)情況，傳感器布置矩陣φ必須滿足det（φ）≠0的條件；

（4）最小二乘估計(jì)遞推算法較普通最小二乘估計(jì)和迭代最小二乘估計(jì)工作量最小。

利用實(shí)驗(yàn)建模給出的狀態(tài)方程為下一步的隔振平臺(tái)的振動(dòng)主動(dòng)控制打下了基礎(chǔ)。

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