吳志強，郝 穎，郭 凱

（天津大學 機械工程學院力學系，天津 300072）

滯后非線性在工程問題中廣泛存在［1］。具有代表性數(shù)學模型包括［2］：干摩擦理想模型、雙線性模型、Davidenkov模型［3］、Bouc-wen 模型、Bing-ham 模型和用于壓電陶瓷的Preisach模型等。其中雙線性滯后模型描述簡單、物理意義明確，應用較廣泛，常見的有兩類：單環(huán)滯后非線性、雙環(huán)滯后非線性。

單環(huán)雙線性滯后模型，多用于鋼絲繩類干摩擦阻尼元件［4］、干摩擦阻尼結(jié)構葉片和金屬橡膠減振器等結(jié)構的振動分析。文獻［5］研究了雙線性滯后非線性鉸支撐的水平擺的參數(shù)振動問題。表明滯后阻尼可以有效地減小系統(tǒng)的響應。文獻［6］用單環(huán)滯后模型來描述鉛橡膠復合阻尼器的恢復力模型，建立了鉛橡膠復合阻尼器結(jié)構的分析模型，并對阻尼器的減振效果進行了分析。文獻［7］根據(jù)鋼管混凝土柱.鋼梁平面框架在恒定軸力與水平低周往復荷載共同作用下的試驗結(jié)果，建立了單環(huán)的單層鋼管混凝土框架的荷載－位移恢復力模型。文獻［8］對雙折線單環(huán)彈塑性滯回模型的單自由度體系在地震作用下的響應進行分析，得到不同參數(shù)組合下的結(jié)構影響系數(shù)。文獻［9］研究范德波阻尼和單環(huán)滯后阻尼相互作用導致的單自由度系統(tǒng)周期分岔點，提出了相應的約束分岔分析方法，揭示了原有文獻的不足，并且發(fā)現(xiàn)了多種分岔模式。文獻［10］用數(shù)值方法研究了同一系統(tǒng)在外激勵作用下出現(xiàn)的分岔和混沌現(xiàn)象。

對雙環(huán)滯后系統(tǒng)研究還比較少。文獻［11］用雙環(huán)滯后模型描述了形狀記憶合金在加載和卸載過程中的超彈性力學行為。文獻［12］用雙線性模型描述了結(jié)構中抗震部件的非線性動力學行為。文獻［13］研究了含旗幟型滯后非線性的單自由度系統(tǒng)幅頻響應，揭示了多解現(xiàn)象、頻率緩變情況下的跳躍行為。與本文不同，所用滯后模型為雙線性彈塑性模型，未考慮塑性變形有界的特點。

本文針對具有中心對稱、雙線性雙環(huán)滯后特性的非線性單自由度系統(tǒng)，先用平均法推導幅頻響應方程，然后討論外激勵振幅變化對幅頻響應的影響，以期為此類系統(tǒng)的設計提供參考。

1 系統(tǒng)主共振幅頻響應方程的求解

考慮非線性系統(tǒng)：

其中F（x）為雙環(huán)雙線性滯后力—位移函數(shù)（如圖1所示）。

圖1 雙環(huán)滯后特性Fig.1 Double-loop hysteresis

圖中a，b，c，k為滯后環(huán)參數(shù)。用Xm表示系統(tǒng)的最大位移，當Xm≤a+b時，滯回路徑是Ⅴ→Ⅷ→Ⅴ；當a+b≤Xm＜a+b+c時，滯回路徑是Ⅵ→ Ⅶ→ Ⅳ→ Ⅷ→ Ⅰ→ Ⅱ → Ⅲ→ Ⅴ→Ⅵ；當Xm≥a+b+c時，滯回路徑是Ⅺ→Ⅻ→Ⅳ→Ⅷ→Ⅸ→Ⅸ→Ⅹ→Ⅲ→Ⅴ→Ⅺ。

在主共振情況下，可設系統(tǒng)一次近似解為：

其中ψ=γt+θ，利用平均法［14］可得一次近似滿足：

其中：

為滯后非線性項的貢獻。限于篇幅，此處忽略冗長的積分結(jié)果表達式。

解出γ可得：

在參數(shù)給定的情況下，由此可畫出系統(tǒng)的幅頻響應曲線。由于B（y）、B（y）*均是關于y的分段（三段）連續(xù)函數(shù)，幅頻響應曲線也由三部分組成。為討論方便起見，將y＜a+b的部分簡稱第一段，a+b≤y＜a+b+c的部分簡稱第二段，y≥a+b+c的部分簡稱第三段。

2 外激幅值對幅頻響應特性的影響

以下討論中除外激勵幅值f外的其它參數(shù)都取為定值，Q=0.264，c0=0.001，a=0.002 27，b=0.002 71，c1=0.070 8，k=0.325 2。圖2給出系統(tǒng)在不同外激勵條件下幾種典型幅頻響應。（其中點線代表邊界y=a+b，點劃線代表邊界y=a+b+c）

圖2 典型幅頻響應Fig.2 Typical frequency responses

計算發(fā)現(xiàn)，f存在3個臨界值f1=0.000 009 96、f2=0.000 428 3、f3=0.000 409 6。f=f1時，第一段幅頻響應曲線與邊界y=a+b相切；f=f2時，第二段幅頻響應曲線與邊界y=a+b+c相切；f=f3時，第三段幅頻響應曲線中出現(xiàn)孤立解點。

當f＜f1時，不同f對應的幅頻響應曲線都等同與圖2（a），沒有出現(xiàn)跳躍和滯后現(xiàn)象，屬于線性振動范圍。

當f1＜f＜f2時，幅頻響應曲線與圖2（b）定性相同，滯后環(huán)開始起作用，使系統(tǒng)呈現(xiàn)軟特性，當頻率緩慢增加或降低時，有跳躍和滯后現(xiàn)象出現(xiàn)。

當f3＜f＜f2時，幅頻響應曲線與圖2（c）定性相同，第三段中出現(xiàn)了孤立的封閉解環(huán)，在該段內(nèi)屬于硬特性。盡管頻率緩慢增加或降低時，跳躍和滯后現(xiàn)象出現(xiàn)的順序和規(guī)律同圖2（b），但由于出現(xiàn)了孤立解環(huán)，外界擾動適當?shù)那闆r下，會出現(xiàn)與孤立解環(huán)對應的大幅振動解。

當f＞f2時，第二段、第三段曲線連續(xù)。當頻率緩慢增加時，響應曲線會從第一段左側(cè)跳躍到第二段右側(cè)，再逐漸降低。當頻率緩慢減小時，響應會從第二段右側(cè)解支向上跳躍到第三段左側(cè)解支，然后向下大幅跳躍到第一段左側(cè)解支。

3 減振效果分析

由于幅頻響應曲線圖2（c）和圖2（d）中均在第三段出現(xiàn)了大振幅解，因此從減振角度看應予以避免而圖2（a）中滯后阻尼的作用沒有得到發(fā)揮，也應該避免。因此取f1＜f＜f3是較好的選擇。

圖3 位移時間歷程Fig.3 Time histories of the displacement

圖3和圖4分別給出k=0.325 2，f=0.000 3時系統(tǒng)的時間歷程和相圖。實線表示數(shù)值解、虛線表示平均法求得穩(wěn)態(tài)解，二者相差不大，說明理論結(jié)果有效。為說明減振效果，圖中還用點劃線給出了對應線性系統(tǒng)（F（x）=kx）的解。顯然，用滯后環(huán)替換等剛度的彈簧后，系統(tǒng)振動顯著降低。雙環(huán)滯后附件的減振效果明顯。

圖4 相平曲線圖Fig.4 Phase diagrams

4 結(jié)論

對中心對稱雙線性雙滯后環(huán)的單自由度非線性振動系統(tǒng)的主共振響應，有如下結(jié)論：

（1）系統(tǒng)幅頻響應曲線共分為三段，第一段為線性區(qū)，滯后環(huán)未起作用；第二段和第三段為非線性區(qū)，滯后環(huán)消耗能量。第二段、第三段分別具有軟特性、硬特性特征，頻率緩慢變化時有跳躍現(xiàn)象。

（2）在本文討論的參數(shù)情況下，外激勵幅值變化時，系統(tǒng)表現(xiàn)出四種定性不同類型的幅頻響應。

（3）四種幅頻響應中，第二種適合進行減振設計，減振效果顯著。

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