何朕， 饒丹， 王廣雄， 劉志遠(yuǎn)

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001)

控制系統(tǒng)的脆弱性與魯棒性

何朕， 饒丹， 王廣雄， 劉志遠(yuǎn)

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001)

針對(duì)脆弱性有不同的理解，提出了一種新的關(guān)于脆弱性的概念。脆弱性是指一個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)卻失去了穩(wěn)定裕度。文中對(duì)此進(jìn)行了分析和說(shuō)明，指出這脆弱性問(wèn)題并不是因?yàn)榭刂破鞯拇嗳跣栽斐傻?，其根本的原因是在最?yōu)控制本身，是最優(yōu)設(shè)計(jì)的手段或所用的判據(jù)造成的。因?yàn)镠∞優(yōu)化設(shè)計(jì)中并沒(méi)有用到穩(wěn)定裕度的概念。在多入多出系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中由于用的是奇異值而不是各個(gè)物理變量，所以就有可能忽略了單個(gè)回路的魯棒穩(wěn)定性問(wèn)題。這個(gè)新的脆弱性概念也不同于一般控制器參數(shù)攝動(dòng)下的魯棒性問(wèn)題，將有助于理解一個(gè)設(shè)計(jì)良好的系統(tǒng)在實(shí)際調(diào)試中可能出現(xiàn)的穩(wěn)定性問(wèn)題，所以對(duì)理論和實(shí)踐都有重要意義。文中附有設(shè)計(jì)分析的例子，其中的一個(gè)例子取自作者在實(shí)驗(yàn)中所遇到的問(wèn)題。

脆弱性;魯棒性;穩(wěn)定裕度;H∞優(yōu)化設(shè)計(jì);球－桿系統(tǒng)

0 引言

脆弱性是近年來(lái)控制界經(jīng)常提到的一個(gè)話(huà)題，但是理解卻并不相同。脆弱性是指對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)卻失去了魯棒性，因而實(shí)際上無(wú)法穩(wěn)定工作。文獻(xiàn)［1］將此原因歸結(jié)為控制器的脆弱性。但是脆弱性問(wèn)題不是一個(gè)簡(jiǎn)單的控制器問(wèn)題，所以文獻(xiàn)［1］一經(jīng)提出就遭到 Mkil的質(zhì)疑［2］，并進(jìn)一步專(zhuān)門(mén)著文來(lái)闡述其觀點(diǎn)［3］。本文并不從控制器上來(lái)找原因，本文認(rèn)為控制系統(tǒng)脆弱性的根源在于控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)理論本身。本文將從控制系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，尤其是H∞優(yōu)化設(shè)計(jì)的實(shí)質(zhì)來(lái)對(duì)脆弱性問(wèn)題進(jìn)行分析，提出一種新的關(guān)于脆弱性的概念。

1 系統(tǒng)的脆弱性

脆弱性的概念是與現(xiàn)代的控制系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)相伴隨而出現(xiàn)的［1］?，F(xiàn)代的各種魯棒設(shè)計(jì)理論都是與對(duì)象的某種不確定性聯(lián)系在一起的。例如H∞設(shè)計(jì)中常用乘性不確定性來(lái)描述未建模動(dòng)態(tài)，要求

式中l(wèi)m(ω)為乘性不確定性的界函數(shù)，并稱(chēng)這個(gè)條件為魯棒穩(wěn)定性條件［4］。但這只是一種相對(duì)于乘性不確定性來(lái)說(shuō)的穩(wěn)定性條件。文獻(xiàn)［5］則討論了更為一般性的情形，如圖1所示。這里的不確定性Δ是更為一般的2入2出的4塊結(jié)構(gòu)的不確定性，圖中G為對(duì)象，K為控制器。對(duì)于圖1的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，設(shè)計(jì)指標(biāo)是Tzw(jω)的H∞范數(shù)‖Tzw‖∞，式中Tzw是從w=[w1w2]T到z= [z1z2]T的閉環(huán)傳遞函數(shù)?！琓zw‖是圖1反饋系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性的度量，文獻(xiàn)［5］中將其定義為穩(wěn)定裕度?？傊?，現(xiàn)在的各種魯棒控制問(wèn)題中的不等式條件，雖然反映了某種穩(wěn)定問(wèn)題，實(shí)際上都是相對(duì)于對(duì)象的某種不確定性來(lái)說(shuō)的。這種魯棒設(shè)計(jì)一般并不關(guān)注Nyquist穩(wěn)定判據(jù)中的穩(wěn)定裕度。雖然這些理論，例如 H∞控制本身可確保所設(shè)計(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但H∞設(shè)計(jì)并沒(méi)有指定幅值裕度或相位裕度。如果這時(shí)這種穩(wěn)定裕度非常小，那么所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)實(shí)際上是不能工作的，這就是脆弱性的概念。

圖1 2入2出的不確定性系統(tǒng)Fig.1 System with a 2×2 uncertainty

還有一種情況是，控制系統(tǒng)的魯棒性是與所考慮問(wèn)題中的結(jié)構(gòu)形式有關(guān)的。例如最優(yōu)控制的LQG問(wèn)題，當(dāng)從分離定理的角度來(lái)考慮時(shí)，最優(yōu)控制的狀態(tài)反饋具有很好的魯棒性，但如果是從控制器加對(duì)象的角度來(lái)考慮時(shí)，就可能沒(méi)有魯棒性［4］。在MIMO系統(tǒng)的H∞優(yōu)化設(shè)計(jì)中也會(huì)有類(lèi)似的問(wèn)題，例如當(dāng)H∞范數(shù)或最大奇異值特性滿(mǎn)足魯棒設(shè)計(jì)要求時(shí)，從單個(gè)回路(對(duì)應(yīng)每一個(gè)具體的輸出變量)來(lái)分析時(shí)也可能缺少魯棒性。如果這時(shí)的穩(wěn)定裕度幾近消失，就稱(chēng)這個(gè)設(shè)計(jì)是脆弱的。這也是一種脆弱性的概念。

因?yàn)樯鲜龅南到y(tǒng)在設(shè)計(jì)時(shí)都已經(jīng)滿(mǎn)足了所定義的穩(wěn)定條件，或者滿(mǎn)足了小增益定理的不等式，如果再出現(xiàn)穩(wěn)定性問(wèn)題，有人就會(huì)將原因歸結(jié)為控制器問(wèn)題，文獻(xiàn)［1］認(rèn)為這是控制器的脆弱性引起的。但是控制器的脆弱性不同于上述沒(méi)有魯棒性的問(wèn)題，所以文獻(xiàn)［1］一經(jīng)提出，就遭到 Mkil的質(zhì)疑［2－3］。將這種失去穩(wěn)定性的原因歸結(jié)為控制器脆弱性的學(xué)派，是把這個(gè)問(wèn)題看做是控制器參數(shù)攝動(dòng)引起的魯棒性問(wèn)題，近年來(lái)關(guān)于脆弱性的文獻(xiàn)大都持這種觀點(diǎn)，其基本思想可參見(jiàn)文獻(xiàn)［6］。而Mkil的觀點(diǎn)則認(rèn)為控制器脆弱性是指控制器參數(shù)的極微小攝動(dòng)(例如由于字長(zhǎng)有限而使系數(shù)出現(xiàn)誤差)可能會(huì)導(dǎo)致控制器本身從穩(wěn)定變成不穩(wěn)定，并認(rèn)為這不是常規(guī)的攝動(dòng)的概念，也不是用常規(guī)的魯棒理論可以解決的。Mkil認(rèn)為控制器的脆弱性是一種控制律算法實(shí)現(xiàn)上的問(wèn)題(包括系數(shù)的字長(zhǎng)和算法靈敏度等)，而不是直接從狀態(tài)方程式的系數(shù)上可以來(lái)討論的問(wèn)題［2］。本文認(rèn)為上面提到的這種系統(tǒng)失去魯棒性的問(wèn)題并不是控制器本身的問(wèn)題。所以這里不用控制器脆弱性這個(gè)概念，而是將這種魯棒性問(wèn)題稱(chēng)為控制系統(tǒng)的脆弱性。這里是將根據(jù)各種優(yōu)化設(shè)計(jì)或魯棒設(shè)計(jì)理論所得的系統(tǒng)，但缺乏(或幾近消失)幅值裕度或相位裕度的系統(tǒng)，稱(chēng)為脆弱性系統(tǒng)。這種系統(tǒng)雖然在理論上或仿真驗(yàn)證時(shí)是滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求的，但由于(控制器)實(shí)現(xiàn)時(shí)存在的各種可能的差異，因?yàn)闆](méi)有穩(wěn)定裕度而使系統(tǒng)實(shí)際上無(wú)法穩(wěn)定工作。這個(gè)脆弱性問(wèn)題是因?yàn)槟承﹥?yōu)化設(shè)計(jì)中缺乏(或無(wú)法)考慮到一些基本的穩(wěn)定裕度，因而是不能用同一個(gè)理論框架來(lái)進(jìn)行評(píng)估或避免的。脆弱性問(wèn)題在經(jīng)典理論時(shí)期是不存在的，只有在現(xiàn)代的各種優(yōu)化設(shè)計(jì)和魯棒設(shè)計(jì)中才有可能出現(xiàn)，所以在采用各種新的設(shè)計(jì)理論時(shí)，應(yīng)該注意加以防范。

下面通過(guò)兩個(gè)設(shè)計(jì)的例子來(lái)作進(jìn)一步的說(shuō)明。第一個(gè)例子取自H∞控制的一個(gè)最基本的概念:雙互質(zhì)分解。第二個(gè)例子則是作者為球－桿實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)配置H∞控制器時(shí)所遇到的問(wèn)題。

2 設(shè)計(jì)分析(1):雙互質(zhì)分解控制器

雙互質(zhì)分解是H∞控制理論中的一個(gè)最基本概念。根據(jù)對(duì)象的雙互質(zhì)分解，可以寫(xiě)出一個(gè)能使對(duì)象穩(wěn)定的控制器的參數(shù)化公式。這樣就消除了H∞控制中要求內(nèi)穩(wěn)定的約束條件，進(jìn)而得到一個(gè)可以求解的模型匹配問(wèn)題［7］。這里對(duì)采用雙互質(zhì)分解設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)進(jìn)行分析，以便進(jìn)一步了解H∞控制中所可能隱藏的脆弱性問(wèn)題。

設(shè)對(duì)象

將G進(jìn)行雙互質(zhì)分解，G=NM－1=珟M－1珟N，根據(jù)雙互質(zhì)分解中的X陣和Y陣，可得到控制器

此例取自文獻(xiàn)［7］，式中各符號(hào)的說(shuō)明可參見(jiàn)該文獻(xiàn)。

根據(jù)式(2)、式(3)可得此反饋系統(tǒng)的特征方程式為

式(4)表明，該系統(tǒng)的4個(gè)極點(diǎn)都在－1點(diǎn)上，應(yīng)該是具有很好的動(dòng)態(tài)性能了?，F(xiàn)在再?gòu)呢?fù)反饋的角度來(lái)對(duì)此系統(tǒng)進(jìn)行分析。系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

因?yàn)槭菑呢?fù)反饋來(lái)考慮，所以要用－KG。圖2所示就是此系統(tǒng)的Nyquist圖。圖2表明，雖然系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但Nyquist圖線(xiàn)離－1點(diǎn)非常近，系統(tǒng)實(shí)際上沒(méi)有魯棒性，參數(shù)稍有攝動(dòng)就不穩(wěn)定了，這樣的系統(tǒng)實(shí)際上是不能工作的。這種設(shè)計(jì)就稱(chēng)為是脆弱的。其實(shí)H∞優(yōu)化設(shè)計(jì)確實(shí)有可能隱藏著脆弱性，文獻(xiàn)［1］在提出脆弱性概念時(shí)就有兩個(gè)脆弱性的例子是來(lái)自早期的H∞控制的經(jīng)典著作［8］。

圖2 基于雙互質(zhì)分解設(shè)計(jì)的Nyquist圖Fig.2 Nyquist plot of a doubly-coprime factorizationbased design

3 設(shè)計(jì)分析(2):球－桿系統(tǒng)的H∞控制

圖3是德國(guó)Amira公司生產(chǎn)的BW500球－桿實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，小球可以在桿上自由滾動(dòng)，系統(tǒng)的控制輸入是施加在桿上的力矩τ，通過(guò)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)控制球在桿上的位置。忽略一些次要的阻尼系數(shù)后，此球－桿系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可寫(xiě)成［9］

式中:x1是球在桿上的位置，即圖中的r;x2是球的移動(dòng)速度;x3是桿的轉(zhuǎn)角θ;x4是桿的轉(zhuǎn)動(dòng)速率。該實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)原配有狀態(tài)反饋［10］，作者利用 MATLAB的實(shí)時(shí)工作站(real time workshop，RTW)為實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一個(gè)H∞控制器對(duì)此球－桿系統(tǒng)進(jìn)行控制。由于利用了原實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的位移傳感器(光學(xué)鏡頭)和轉(zhuǎn)角傳感器(碼盤(pán))，所以H∞設(shè)計(jì)中的對(duì)象是1入2出的。圖4所示是H∞設(shè)計(jì)時(shí)的系統(tǒng)框圖。這是H∞設(shè)計(jì)中的PS/T問(wèn)題:

式中:W1是性能權(quán)函數(shù);P是對(duì)象;S是對(duì)象輸入端的靈敏度函數(shù);W2是乘性不確定性的權(quán)函數(shù)(界函數(shù));T是系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。Tzw1是從輸入w1到輸出z= [z1z2z3]T的傳遞函數(shù)。圖中w2是因?yàn)镠∞設(shè)計(jì)中秩的問(wèn)題而附加的一個(gè)小信號(hào)。

圖3 球－桿系統(tǒng)Fig.3 Ball-and beam system

圖4 H∞設(shè)計(jì)的框圖Fig.4 Block diagram of the H∞ design

因?yàn)榭紤]到θ回路和r回路應(yīng)該具有不同的帶寬，故取性能權(quán)函數(shù)為

在式(9)、式 (10)的權(quán)函數(shù)下，利用 MATLAB的hinfsyn函數(shù)求解這個(gè)PS/T問(wèn)題，得‖Tzw1‖∞=γ=0.997 0，對(duì)應(yīng)的H∞控制器為(注:已略去104以上的高頻分量)

作為對(duì)H∞優(yōu)化設(shè)計(jì)的驗(yàn)算，圖5列出了式(7)中關(guān)于魯棒穩(wěn)定性的W2與T的相對(duì)關(guān)系圖。對(duì)于性能的W1PS也可得類(lèi)似的Bode圖。對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果的時(shí)域仿真也表明本例的H∞設(shè)計(jì)是成功的?？墒沁@個(gè)H∞控制器在RTW環(huán)境下實(shí)現(xiàn)后卻無(wú)法使實(shí)際系統(tǒng)穩(wěn)定下來(lái)。進(jìn)一步的分析表明，是因?yàn)檫@個(gè)球－桿系統(tǒng)的H∞設(shè)計(jì)存在脆弱性。

雖然H∞設(shè)計(jì)是用奇異值來(lái)設(shè)計(jì)的，但具體實(shí)現(xiàn)時(shí)卻是一個(gè)一個(gè)具體的物理變量與H∞控制器來(lái)連接的。現(xiàn)在就來(lái)分析這個(gè)用H∞設(shè)計(jì)好的系統(tǒng)的輸出變量r(小球位置)的回路特性。具體做法是將圖4在a點(diǎn)處斷開(kāi)，來(lái)考察這個(gè)回路的Nyquist特性。圖6就是這個(gè)r回路的Nyquist圖。從圖6(b)可以看到，Nyquist圖線(xiàn)與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)為－1.04和－0.862，圖中的相位裕度僅為2.46°(對(duì)應(yīng)ω=4.83 rad/s)。這些幅值裕度和相位裕度的值都可以用仿真來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證(圖略)。由于這個(gè)小球的位置(r)回路的相位裕度幾近消失，所以實(shí)際上這個(gè)系統(tǒng)是無(wú)法穩(wěn)定工作的。這也就是說(shuō)，球－桿系統(tǒng)的這個(gè)PS/T問(wèn)題的解，雖然滿(mǎn)足了H∞魯棒設(shè)計(jì)的要求，并且通過(guò)仿真驗(yàn)證，但卻是脆弱的，在實(shí)際系統(tǒng)中是不能實(shí)現(xiàn)的。

圖5 補(bǔ)靈敏度T與的Bode圖Fig.5 Bode plot of the complementary sensitivity T and

圖6 位置(r)回路的Nyquist圖Fig.6 Nyquist plots of the position loop(b-enlarged)

4 結(jié)語(yǔ)

脆弱性問(wèn)題是伴隨著各種優(yōu)化設(shè)計(jì)理論/方法而出現(xiàn)的。這些優(yōu)化設(shè)計(jì)雖然也包含魯棒性，但一般都是針對(duì)對(duì)象的某種不確定性，而忽略了最基本的Nyquist判據(jù)下的魯棒性(穩(wěn)定裕度)。這樣的優(yōu)化設(shè)計(jì)雖然理論上是可行的，是穩(wěn)定的，并可以通過(guò)仿真驗(yàn)證，實(shí)際上卻是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。這個(gè)新的脆弱性概念對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)提出了一個(gè)在實(shí)際應(yīng)用中可能存在的潛在問(wèn)題，所以對(duì)理論和實(shí)際都是有重要意義的。

這里所說(shuō)的脆弱性不同于可以用理論分析計(jì)算的控制器參數(shù)攝動(dòng)，而是由于在理論分析中可能忽略穩(wěn)定裕度的考慮。當(dāng)然這里并不是說(shuō)每個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)都是脆弱的，只是說(shuō)優(yōu)化設(shè)計(jì)存在著這種可能性。如果一個(gè)所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)在實(shí)現(xiàn)時(shí)無(wú)法穩(wěn)定工作，即無(wú)法實(shí)現(xiàn)這個(gè)設(shè)計(jì)，那很可能就是這個(gè)脆弱性問(wèn)題。

［1］ Keel L H，Bhattacharyya S P.Robust，fragile，or optimal?［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1997，42(8):1098－1105.

［3］ Paattilammi J，MkilP M.Fragility and robustness:a case study on paper machine headbox control［J］.IEEE Control Systems Magazine，2000，20(1):13－22.

［4］ DOYLE J C，STEIN G.Multivariable feedback design:concepts for a classical/modern synthesis［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1981，26(1):4 －16.

［5］ LANZON A，PAPAGEORGIOU G.Distance measures for uncertain linear systems:a general theory［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2009，54(7):1532－1547.

［6］ YANG G H，WANG J L.Non-fragile H∞control for linear systems with multiplicative controller gain variations［J］.Automatica，2001，37(5):727－737.

［7］ FRANCIS B A.A Coure in H∞Control Theory［M］.Lecture Notes in Control and Information Sciences，Vol.88.New York:Springer-Verlag，1987.

［8］ DOYLE J C，F(xiàn)RANCIS B A，TANNENBAUM A R.Feedback Control Theory［M］.New York:Macmillan，1992.

［9］ 王廣雄，何朕.控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)［M］.第9章.北京:清華大學(xué)出版社，2008.

［10］ 何朕，王毅，周長(zhǎng)浩，等.球－桿系統(tǒng)的非線(xiàn)性問(wèn)題［J］.自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2007，33(5):550－553.

HE Zhen，WANG Yi，ZHOU Changhao，et al.Nonlinear problems of the bal1 and beam system［J］.ACTA Automatica Sinica，2007，33(5):550－553.

(編輯:劉素菊)

Fragility and robustness of the control system

HE Zhen， RAO Dan， WANG Guang-xiong， LIU Zhi-yuan
(School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China)

A novel concept of the fragility of a control system is presented，though there are some different understandings about the fragility.Fragility means that the stability margin of a system is lost during an optimal design.It is pointed out in the paper，that the fragility problem is not caused by the controller fragility，and the real cause of fragility is the design tools or criteria used in the optimal design.For example，in the H∞optimal design，the concepts of stability margin are totally absent during the design process.In MIMO system design，the singular values are used instead of the individual physical variables，so the robust stability problem of the individual loop may be ignored.This concept of fragility is different from the robustness against the parameter uncertainty of the controller.And it is helpful for understanding of the phenomenon that a well-designed system may not be stable in practice and cannot work.Therefore it is important for both theory and practice.Design examples are also presented，one of which is from the authors’own experience.

fragility;robustness;stability margin;H∞optimal design;ball-beam system

TP 273

A

1007－449X(2011)04－0080－05

2010－12－03

國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(61034001)

何 朕(1972—)，女，博士，教授，研究方向?yàn)榭刂葡到y(tǒng)設(shè)計(jì)、魯棒控制及H∞控制等;

饒 丹(1985—)，女，碩士，研究方向?yàn)轸敯艨刂?

王廣雄(1933—)，男，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)榭刂葡到y(tǒng)設(shè)計(jì)、魯棒控制及H∞控制等;

劉志遠(yuǎn)(1957—)，男，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)闄C(jī)器人控制、預(yù)測(cè)控制等。