廖玉玲,洪倩霖

(1.中南大學(xué)商學(xué)院,湖南長沙 410083;2.四川大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院,四川成都 610064)＊

一、引 言

幾乎所有的期權(quán)博弈模型都涉及時機選擇問題,而按照時機選擇的絕對性和相對性,我們可以對期權(quán)博弈評價模型進行重新分類。投資時機選擇模型的第一種類型是確定投資實施(或企業(yè)進入)的時間點,這種絕對時間的確定可以轉(zhuǎn)換為一個“隨機最優(yōu)停止問題”,第二種類型是確定決策者是否先行于特定競爭者,而這種決策實際上就是“追隨-搶先模型”。

二、絕對時機選擇的期權(quán)博弈分析

(1)絕對時機選擇的文獻綜述

從博弈理論角度來探討投資時機選擇,主要研究成果包括Reinganum(1981),Fudenberg等(1983)、Gilbert和Harris(1984)、Fudenberg和Tirole(1985,1986)、Ghemawat和Nalebu ff(1985),以及Huang和Li(1990)、Dutta和Rustichini(1993)的隨機博弈停止時機的分析。Dutta和Rustichini(1995)則在連續(xù)時間隨機博弈中分析了馬爾科夫完美均衡。但是,經(jīng)典的投資時機期權(quán)博弈模型只存在于實物期權(quán)定價和博弈均衡的結(jié)合性分析中。Trigeorgis(1991)研究競爭對于項目啟動最優(yōu)時機的影響。其研究結(jié)果表明,在缺乏競爭者和等待的其他成本的情況下,與期權(quán)定價保持一致,在位企業(yè)會延遲項目啟動。但競爭的存在可能加速企業(yè)規(guī)劃好的投資;在可以搶在預(yù)期競爭者先投資的情況下,期權(quán)定價可以使管理者決定是否和什么時候較早投資,或者是否等待,盡管預(yù)期競爭性被侵蝕了。另一方面,Smit和Ankum(1993)在第一篇離散時間期權(quán)博弈文獻中,建立了包含實物期權(quán)定價擴展形式的進入博弈。在這種進入博弈中,不同的子博弈完美均衡就代表了不確定市場環(huán)境中不同的企業(yè)投資價值。從投資時機選擇角度來看,Smets(1993)、Dixit和Pindyck(1996)、Grenadier(1996)模型都可以看成是針對隨機最優(yōu)停止問題的最早的期權(quán)博弈理論解釋。而且,Dixit和Pindyck,以及后來的多位學(xué)者還比較分析了隨機最優(yōu)停止問題的不同求解方法。Perraudin(1999)歸納了最優(yōu)停止問題的完全信息模型和不完全信息模型,比較了信息完全性與否對于項目主體策略選擇和項目期權(quán)博弈價值的影響。此后,這種隨機最優(yōu)停止問題的標準求解方法,不斷出現(xiàn)在Joaquin和Khanna(2001)、Paxson和Pinto(2005),以及M arseguerra、Cortelezzi和Dom inioni(2006)等各種搶先時機選擇模型。Grenadier和Wang(2003)指出,投資決策要素包括兩方面：投資多少和何時投資。第一個要素是資本分配決策,而第二個要素是投資時機決策。

(2)絕對時機選擇的標準模型

M cDonald和Siegel(1986)及Dixit(1989)開發(fā)了的實際投資決策的最優(yōu)停止模型,該模型假設(shè)一個企業(yè)沒有當前收入但有可能投資總數(shù)k于產(chǎn)生隨機現(xiàn)金流xt-w的一項技術(shù),并假設(shè)xt遵循幾何布朗運動,其滿足：

這里假定μ和σ是常數(shù),W t是一個標準布朗運動,如果V1t代表開始生產(chǎn)前的企業(yè)價值,給定風險中性,利用伊藤引理,則V1t遵循這個過程：

基于上述分析,Smets(1993)和Grenadier(1996)分別推導(dǎo)出了策略模型的簡化版本。假設(shè)處于未改善狀態(tài)的兩棟建筑可以獲得R租金。在改善之后,每棟建筑可以掙得：

假定D(2)＜D(1),因此從擁有一棟再裝修建筑得到更高收入,如果有更少建筑適當?shù)脑?。用I代表改善建筑的成本。如果其他建筑已經(jīng)被再裝修,那么,這棟建筑還沒有產(chǎn)生收益R(1-γ),這里,γ∈(0,1)。讓xt代表遵循一個幾何布朗運動的嘗試(taste)沖擊過程：

G renadier運用逆向分析方法首先分析領(lǐng)先者投資之后的追隨者投資問題。令xF代表改善建筑物的追隨者觸發(fā)水平,則追隨者待定價值(claim value)F(x)等于：

現(xiàn)在,回到追隨者在他得到xD(2)后投資,領(lǐng)先者得到xD(1)支付流。再令L3(x)代表領(lǐng)先者在追隨者投資后的待定價值。就有：

假設(shè)領(lǐng)先者在同樣的觸發(fā)點xL投資。如果L2代表領(lǐng)先者在其自己投資后而在追隨者投資前的待定價值,就有：

最后,令L1代表領(lǐng)先者自己投資前的(項目)待定價值,就有：

為求xL解,定義函數(shù)：

在φ(xF)=0時,存在一個獨特的xL;對于x＜xL,有φ(x)＜0,而對于x∈(xL,xF),有φ(x)＞0。當x＜xL時,沒有企業(yè)愿意投資;當x上升到xL時,兩個企業(yè)之一(隨機選擇)投資。投資成本I提高了領(lǐng)先者的待定價值,即從L1(xL)到L2(xL)=L1(xL)+I,當x升到xF時,追隨著投資,而在這點,追隨者的待定價值從F(xF)到L3(xF)=F(xF)+I?，F(xiàn)在,假定xt在xL之下的一定水平開始,設(shè)初始的xt為x0,如果x0∈(xF,xL),那么,兩個企業(yè)將會立即投資。贏者將隨后表現(xiàn)為領(lǐng)先者,而敗者將延遲投資直到xt首次達到xF。如果x0＞xL,那么,解更復(fù)雜。如果xt繼續(xù)下降到xF之下,成為先行者的價值大于成為追隨者的價值,但面對搶先,如果到xt降到xF之下,兩個企業(yè)都將立即進入。

運用期權(quán)博弈理論,Grenadier模型構(gòu)建了房地產(chǎn)投資決策的策略性期權(quán)博弈均衡框架,而這種均衡執(zhí)行策略的分析使我們洞察房地產(chǎn)市場行為的形成機制,為下降需求和價格中非理性建筑過?，F(xiàn)象提供了一種理性均衡解釋。

三、相對時機選擇的期權(quán)博弈分析

(1)相對時機選擇的文獻綜述

從隨機最優(yōu)停止問題的最優(yōu)化分析解,可以看成投資時機選擇的絕對性時機分析,而相對性的時機分析,即一個主體相對于另一個主體的先后決策,則可以從主體先行與追隨項目期權(quán)博弈評價模型中尋找其理論發(fā)展軌跡。

出于技術(shù)采納時機的分析目的,Huisman和Kort(1998)探討了一種雙頭框架中的投資時機選擇問題。他們的研究確立了修正的實物期權(quán)投資規(guī)則——凈現(xiàn)值必須與等待的戰(zhàn)略期權(quán)價值相互比較,才能確定投資的最優(yōu)時機點。Joaquin和Butler(1999)開發(fā)了一種策略投資模型,其研究表明,容許非對稱成本的情況下,有更低成本的企業(yè)首先進入。Mason和Weeds(2000)推導(dǎo)出兩個結(jié)果：第一,序列采用條件下,與合作解比較,追隨者在不正確點采用。第二,均衡時有非充分的同時采用。由于同時采用更可能產(chǎn)生在搶先均衡中,所以搶先實際上增長了首次采用的時間。Joaquin和Khanna(2001)定義地點資產(chǎn)價值之后的研究結(jié)論是：首先,給定一些企業(yè)在競爭環(huán)境中具有比較利益,投資項目價值受企業(yè)“地點資產(chǎn)”影響;其次,當兩個不同規(guī)模“地點資產(chǎn)”企業(yè)面臨相似投資決定時,等量投資對于較小企業(yè)有更大價值。Boyer、Lasserre、Mariotti和Moreaux(2001)研究了隨機增長市場上存在多重投資和及時貝特朗競爭的一種簡單的雙頭搶先模型,按照實物期權(quán)效應(yīng)的重要性,不同形式均衡會出現(xiàn)。Thijssen、Huisman和Kort(2002)考慮的是雙頭框架中的投資時機決策協(xié)調(diào)問題。他們提出了一種基于Fudenberg和Tirole(1985)的內(nèi)生性求解協(xié)調(diào)問題的理論。與Smets(1991)及Dixit和Pindyck(1994)的分析不同,他們發(fā)現(xiàn)兩個企業(yè)同時投資導(dǎo)致了兩個企業(yè)的低支付。其研究表明,如此的協(xié)調(diào)失敗可能在于先行者支付嚴格大于追隨者支付的時點以正概率出現(xiàn)。并以此得出推論：Smets(1991)“如果兩個企業(yè)同時移動,其中一個成為先行者和追隨者的概率各占一半”的論述并不是真實的,而在許多情況下,宣稱“當只有一個企業(yè)是最優(yōu)投資時,兩個企業(yè)同時投資的可能性為零”的研究結(jié)論也是不正確的。Boyer、Lasserre、M ariotti和M oreaux(2004)的研究發(fā)現(xiàn),在產(chǎn)業(yè)的較早階段,強競爭導(dǎo)致一個企業(yè)搶先另一個企業(yè),在開發(fā)的后期階段,競爭可能被弱化,即默許勾結(jié)均衡可能存在。Kong和Kwok(2006)通過假定兩個競爭企業(yè)的投資沉沒成本和收入流的不對稱性,展示了進入決策策略互動更為豐富的表現(xiàn)特征,通過分析先行者和追隨者最優(yōu)投資臨界點的相對價值,他們描述了搶先、優(yōu)超和同時均衡的全面特征。Wu(2006)使用一種連續(xù)時間實物期權(quán)博弈,探測了致力于能力搶先的企業(yè)動機。其研究表明：在一定的需求函數(shù)和市場增長率條件下,均衡時先行者以更小能力(規(guī)模)進入。

(2)相對時機選擇的標準模型

按照Dixit和Pindyck(1994)的分析,考慮沉沒成本I＞0的投資項目,而在做出投資后,企業(yè)可以在任何時間點生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品。企業(yè)數(shù)是兩個,市場供給Q∈0,1,2,價格為市場需求D(Q)乘以一個滿足隨機布朗運動過程的沖擊Y,即P=YD(Q)。圖1表示了三個價值函數(shù)。如果先行者在Y＜YF投資,那么,當追隨者在YF投資時,先行者價值最大化。

圖1 Dixit和Pindyck(1994)模型中的價值函數(shù)

均衡結(jié)果依賴于Y0值,這個(Y t)0≤t＜的初始價值。為了定義這個結(jié)果,必須區(qū)分三個區(qū)域。第一個區(qū)域定義在Y0≤YP。如果我們限制在對稱均衡策略的環(huán)境,符合定理1的均衡有三個。在第一個結(jié)果中,企業(yè)1是先行者并在YP投資,企業(yè)2是追隨者并在YF投資。注意到這種對稱均衡策略導(dǎo)致了非對稱的均衡結(jié)果。在這種特殊結(jié)果中,企業(yè)1是重復(fù)博弈中的先行投資者。第二個結(jié)果是對稱的另一個情況：企業(yè)2是先行者并在YP投資,企業(yè)1是追隨者并在YF投資。第三種情況是兩個企業(yè)同時在YP投資,即兩個企業(yè)在重復(fù)博弈的同一回合中投資。但這種均衡出現(xiàn)的概率為零。為了明確這點,注意到由于幾何布朗運動有連續(xù)樣本路徑,所以L(YP)=F(YP)成立,其可以從α(τ)=α(TP)=0論出。博弈者i是在t=τ的唯一投資者的概率P(i)為

通過應(yīng)用L'Hopital規(guī)則,附加上對稱性要求,可以在均衡中獲得

因此,企業(yè)成為先行者的概率相等。由于YP的定義,即L(YP)=F(YP),每個博弈者的預(yù)期價值等于F(YP)

在第二個區(qū)域,YP＜Y0＜YF成立。有三個可能結(jié)果。

由于在Y∈(YP,YF)的情況中L(Y)超過F(Y),所以Thijssen、Huisman和Kort(2002)推論出(0)＞0。由于τ=0和方程(11),從而知道企業(yè)i在t=0投資和企業(yè)j在TF投資的概率為

因此,在期權(quán)博弈的雙頭框架中,如果兩個企業(yè)都想成為先行投資者,那么,投資時機選擇的協(xié)調(diào)問題就出現(xiàn)了。有關(guān)時機選擇問題的許多模型(Nielsen,2002;Grenadier,1996;Dutta等,1995)都假定在搶先點只有一個企業(yè)能夠成功投資,從而簡單排除了兩個企業(yè)投資都是最優(yōu)的可能性。比較而言,Thijssen、Huisman和Kort(2002)模型的假設(shè)更為現(xiàn)實和合理,即假定當有先行投資動機,兩個企業(yè)愿意承擔風險,從而成功地把策略空間和均衡概念擴展到隨機環(huán)境。他們的方法使我們可以在許多情況下糾正這樣的不正確判斷：當一個企業(yè)投資是唯一最優(yōu)時,兩個企業(yè)同時投資的可能性為零。

四、結(jié) 論

在不確定性策略互動環(huán)境中,決策時間點的選擇是任何主體不可忽略的策略行為。利用期權(quán)博弈評價,可以展示對應(yīng)特定時機選擇的項目價值意義。按照時機選擇絕對性和相對性的不同要求,投資時機選擇的期權(quán)博弈評價可以分別采用隨機最優(yōu)停止問題的期權(quán)博弈評價和主體先行與追隨策略的期權(quán)博弈評價。

[1]Smets,F.：Expo rting versus FDI：The Effect of Uncertainty,Irreversibilities and Strategic In teractions[D].Working Paper,Yale University,1991.

[2]Dixit,Avinash K.and Robert S.Pindyck：Investment under Uncertainty[M].Princeton University Press,1994.

[3]Grenadier,S.R.：The Strategic Exercise of Options：Developmen t Cascades and Overbuilding in Real Estate Markets[J].Jou rnal of Finance,1996,51(5)：1653-1679.

[4]Grenadier,S.R.and Weiss,A.M.：Investment in technological innovations：An option Huisman,Kuno J.M.and Peter M.Kort：Strategic Investment in Technological Innovations[J].Wo rking Paper,Department of Econometrics and Cent ER,Tilburg University,October 20,1998.

[5]侯紅衛(wèi),李雪峰.基于行為金融理論的投資者行為研究方法現(xiàn)狀與展望[J].科學(xué)決策,2010(2)：83-89.

[6]Thijssen,Jacco J.J.,Kuno J.M.Huisman and Peter M.Kort：Symmetric Equilibrium Strategies in Game Theoretic Real Option Models[D].Cent ER,Tilburg University,Discussion Paper,August 2002..