劉 陽(yáng),賈俊超,王 磊

(1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)力學(xué)與建筑工程學(xué)院,江蘇徐州221008;2.鄂爾多斯永煤礦業(yè)投資有限公司,內(nèi)蒙古鄂爾多斯017000)

1 孔隙體積分形研究

1.1 海綿體體積分形原理

對(duì)于混凝土多孔介質(zhì)的靜態(tài)孔隙結(jié)構(gòu),多采用Menger海綿體模型進(jìn)行分析,如圖1。具體構(gòu)造過(guò)程為：對(duì)于一個(gè)邊長(zhǎng)為R的立方體,將邊長(zhǎng)R分成m等份,從得到的m3個(gè)小立方體中隨機(jī)挖去n個(gè)孔隙單元,按照這個(gè)規(guī)則重復(fù)操作k次,則得到的多孔介質(zhì)體中最小的立方體單元的邊長(zhǎng)為rk=R/mk,剩余立方體的個(gè)數(shù)為(m3-n)k,利用盒計(jì)數(shù)法計(jì)算出海綿體的體積分形維數(shù)為：

根據(jù)體積分形原理,海綿體的固體體積Vs與最小立方體單元的長(zhǎng)度rk呈冪次關(guān)系,對(duì)二者進(jìn)行雙對(duì)數(shù)變換后的關(guān)系式為：

那么,得出海綿體的固體體積VS關(guān)于分形維數(shù)DV的表達(dá)式為：

假設(shè)海綿體的孔隙率為φ,則得出φ關(guān)于體積分形維數(shù)DV、邊長(zhǎng)一次等分?jǐn)?shù)m以及重復(fù)挖孔次數(shù)k的表達(dá)式：

式(2)為孔隙率的分形表達(dá)式,該公式用到的孔隙率φk為重復(fù)挖孔k次所得到的全部孔隙的累積體積與海綿體的表觀體積之比。

圖1 Menger海綿體分形模型

依據(jù)圖1海綿體的構(gòu)造過(guò)程,m=3,在不同迭代次數(shù)下,作出孔隙率φk與體積分形維數(shù)DV的關(guān)系,如圖2所示。

圖2 孔隙率與孔隙分形的關(guān)系

從圖2和式2可以看出：孔隙率φR是關(guān)于體積分維DV的減函數(shù),多孔結(jié)構(gòu)的體積分形維數(shù)越大,孔隙率越低;迭代次數(shù)對(duì)孔隙率的影響也很大,迭代次數(shù)越高,多孔體的最小孔徑越小,孔隙率隨體積分形的變化越不明顯。

1.2 基于壓汞實(shí)驗(yàn)的體積分形研究

將海綿體分形模型與混凝土試塊壓汞實(shí)驗(yàn)的測(cè)試機(jī)理對(duì)比分析,發(fā)現(xiàn)二者存在很大程度的相似性,其中rk對(duì)應(yīng)一定汞壓下的孔隙直徑;R對(duì)應(yīng)測(cè)試試塊的最小邊長(zhǎng);φk對(duì)應(yīng)一定汞壓下所能測(cè)得的全部孔隙對(duì)應(yīng)的孔隙率。為了用混凝土的壓汞實(shí)驗(yàn)過(guò)程驗(yàn)證海綿體的孔隙分形理論公式推導(dǎo)的準(zhǔn)確性,下面在海綿體的分形理論基礎(chǔ)上推導(dǎo)了混凝土基于壓汞實(shí)驗(yàn)的體積分形的計(jì)算公式。

海綿體的固體體積VS用體積分形維數(shù)DV表示為：

對(duì)式(3)兩邊分別取對(duì)數(shù),得到以下關(guān)系式：

由式(4)知,混凝土試塊的固體體積Vs和一定汞壓下的最小孔徑rk的雙對(duì)數(shù)曲線呈線性關(guān)系,斜率為3-DV;y軸上的截距為DV?lnR;DV代表多孔結(jié)構(gòu)體的體積分形維數(shù)。

2 孔隙表面分形研究

2.1 孔隙比表面積的簡(jiǎn)易算法

依托Menger海綿體分形模型,研究多孔結(jié)構(gòu)體的比表面積的分形維數(shù),必須滿足以下兩個(gè)基本假定：

①孔結(jié)構(gòu)的孔隙表面為光滑表面;

②孔隙單元體之間沒(méi)有公用面。

利用Menger海綿體挖孔規(guī)則重復(fù)k次操作,得到多孔結(jié)構(gòu)體中最小的立方體單元的邊長(zhǎng)為rk=R/mk,挖掉的孔隙立方體單元的個(gè)數(shù)為n,按照上面兩條基本假定,可以得出多孔結(jié)構(gòu)體的總的表面積為：

作孔隙體比表面積Ω和孔徑rk的雙對(duì)數(shù)曲線,二者呈線性關(guān)系,說(shuō)明孔隙體積比表面積滿足分形特征?？紫扼w比表面積的分形計(jì)算公式為：

由式(7)得知：孔隙體積比表面積Ω是關(guān)于DV與rk的函數(shù);多孔結(jié)構(gòu)體的比表面積滿足分形特征。由式(2)可以表示為：φk=f(DV,m,k),說(shuō)明孔隙率僅與體積分維DV一個(gè)標(biāo)度不變量有關(guān)。聯(lián)合式(7)可知：孔隙比表面積Ω僅與孔隙率φk有關(guān)。

2.2 基于表面分維的孔隙比表面積算法

本文利用Menger模型推導(dǎo)了多孔結(jié)構(gòu)體比表面積的計(jì)算公式(6),限于上述兩個(gè)基本假定,式(7)導(dǎo)出的孔隙比表面積Ω僅與孔隙率φk有關(guān),而真實(shí)的孔隙比表面積除了與孔隙率有關(guān)外,還與表面的彎曲粗糙等復(fù)雜程度有關(guān),為了更準(zhǔn)確的表征多孔體的比表面積,本文對(duì)多孔體的孔隙表面分形展開進(jìn)一步研究。

下面考慮孔隙的表面分形效應(yīng),采用增加型分形構(gòu)造法計(jì)算孔隙的比表面積。在一個(gè)自相似系統(tǒng)中,經(jīng)k階迭代后,第k階的孔隙表面積與測(cè)量尺寸的關(guān)系可由下式給出：

式中：ε為測(cè)量尺度,無(wú)量綱;a為常數(shù);DA2為表面分形維數(shù)。

構(gòu)造第k階的孔隙的表面積的算式為：

式中：ε為孔隙表面分形的測(cè)量尺度,與測(cè)量體積分形的測(cè)量尺度R/mk相互獨(dú)立;Sgk為第k階光滑孔隙表面的面積。

由于孔隙比表面積的測(cè)量比較復(fù)雜,而且都不夠準(zhǔn)確,直接利用表面分形原理計(jì)算DA2比較麻煩。我們根據(jù)DA2=DA1+1的關(guān)系,間接求解表面分維數(shù)。對(duì)多孔體試塊剖切,然后電鏡掃描斷面孔隙情況,用一個(gè)變化的測(cè)量尺度ε孔隙的圓周,計(jì)算孔隙周長(zhǎng)的一維分形維數(shù)DA1,然后代入DA2=DA1+1,就得到了孔隙的表面分形維數(shù)。

沿用前面海綿體分形模型的孔隙構(gòu)造方法,可知第k階迭代后生成小立方體孔隙表面?zhèn)€數(shù)為：

由式(8)和(9)經(jīng)過(guò)k次迭代后,孔隙的總的表面積的表達(dá)式為：

式中Sb為孔隙內(nèi)表面積,其值遠(yuǎn)大于外表面積6R2。為了更準(zhǔn)確的表征孔隙的粗糙度,下面計(jì)算了多孔體的孔隙比表面積。

由式(10)看出：孔隙比表面積是體積分維DV和表面分維DA2兩個(gè)獨(dú)立變量的函數(shù),不僅表征了孔隙率和孔徑分布情況,還能表征孔隙表面的褶曲粗糙程度。

3 結(jié)論

⑴多孔結(jié)構(gòu)的體積分形能夠通過(guò)壓汞實(shí)驗(yàn)獲得。經(jīng)過(guò)理論推導(dǎo)發(fā)現(xiàn),多孔結(jié)構(gòu)的體積分維是其孔隙率的唯一的標(biāo)度不變量,因此可以用體積分形來(lái)表征多孔結(jié)構(gòu)體的孔隙率的大小。

⑵孔隙率φ是關(guān)于體積分維DV的減函數(shù),多孔結(jié)構(gòu)的體積分形維數(shù)越大,孔隙率越低;壓汞實(shí)驗(yàn)后期,隨著壓汞儀的壓力不斷提高,滲透性試件的最小孔徑越來(lái)越小,孔隙率隨體積分形的變化越不明顯;

⑶描述多孔結(jié)構(gòu)體的幾何特征,除了孔隙率和孔徑大小外,還要了解孔隙的表面粗糙度。本文基于Menger海綿體模型推導(dǎo)了多孔結(jié)構(gòu)比表面積的計(jì)算公式(6)和(10),前者是光滑表面的孔隙比表面積的算法,后者考慮了孔隙表面的彎曲粗糙等復(fù)雜程度的影響。

⑷本文給出了孔隙體的幾何分形的有關(guān)算法,能夠清楚地認(rèn)識(shí)多孔結(jié)構(gòu)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)特征,對(duì)于今后開展多孔結(jié)構(gòu)成分的絮凝過(guò)程、多孔結(jié)構(gòu)滲流的研究有重要的指導(dǎo)意義。

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