南京農(nóng)業(yè)大學(xué)大豆研究所/國家大豆改良中心/作物遺傳與種質(zhì)創(chuàng)新國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(210095) 邢光南 趙團(tuán)結(jié) 蓋鈞鎰

用SAS程序模擬抽樣繪制t、F和χ2分布*

南京農(nóng)業(yè)大學(xué)大豆研究所/國家大豆改良中心/作物遺傳與種質(zhì)創(chuàng)新國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(210095) 邢光南 趙團(tuán)結(jié) 蓋鈞鎰△

△通訊作者：蓋鈞鎰，E-mail：sri@njau.edu.cn

長期以來作為國際著名的統(tǒng)計(jì)軟件SAS以其強(qiáng)大的統(tǒng)計(jì)功能受到廣大使用者的青睞，并被廣泛介紹〔1-3〕。利用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)有利于改進(jìn)統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)〔4〕，對(duì)那些內(nèi)容抽象，學(xué)生難以理解，用傳統(tǒng)教學(xué)方法難以奏效的教學(xué)內(nèi)容開展SAS系統(tǒng)輔助教學(xué)卓有成效〔5-7〕。t、F 和 χ2分布是重要的抽樣分布，是 t、F和χ2檢驗(yàn)的基礎(chǔ)，由于這些分布的概率密度函數(shù)公式復(fù)雜，也是生物統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。本文結(jié)合教科書的基本原理通過編寫SAS程序模擬上述抽樣分布，以加深教學(xué)過程中對(duì)t、F和χ2分布及其檢驗(yàn)的理解。

基本原理

χ2分布若所研究的總體μ不知，而以樣本代替，則，此時(shí)獨(dú)立的離差個(gè)數(shù)為 n -1 個(gè)，v=n-1〔8〕。

F分布 在一個(gè)平均數(shù)為μ、方差為σ2的正態(tài)總體中，隨機(jī)抽取兩個(gè)獨(dú)立樣本，分別求得其均方和，將和的比值定義為 F ：F(vv，v2)=/，此 F 值具有的自由度v1和的自由度v2〔8〕。如果在給定的v1和v2下按上述方法從正態(tài)總體中進(jìn)行一系列抽樣，就可得到一系列的F值而形成一個(gè)F分布。

SAS程序?qū)崿F(xiàn)

宏creat用于產(chǎn)生樣本及其特征數(shù)如平均數(shù)、總和數(shù)、t值、u值、χ2值和F值，其中數(shù)據(jù)步data cy有三個(gè)循環(huán)語句，外循環(huán)語句用于產(chǎn)生100000個(gè)樣本，兩個(gè)并列的內(nèi)循環(huán)語句分別用于產(chǎn)生樣本容量分別為n1和n2的隨機(jī)樣本(F測驗(yàn)需要兩個(gè)樣本)，并分別于每個(gè)樣本后計(jì)算相應(yīng)的方差。依據(jù)基本原理中的相應(yīng)公式，第一個(gè)內(nèi)循環(huán)后計(jì)算樣本容量為n1的t值、u值和χ2值，第二個(gè)內(nèi)循環(huán)后計(jì)算分子樣本容量為n1，分母樣本容量為n2的F值。

宏pct用于輸出t、u、χ2和F分布的特征數(shù)、分位數(shù)及繪制累積概率分布圖。proc univariate過程用于輸出t、u、χ2和F 分布的分位數(shù)，如常見的P=0.95，用于理解其為何作為假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)推斷的臨界值。

宏dist通過調(diào)用宏creat、宏pct和改變宏參數(shù)，產(chǎn)生各種分布的特征數(shù)、分位數(shù)及繪制累積概率分布圖和頻數(shù)分布圖。通過改變宏參數(shù)可隨時(shí)改變樣本容量，從而獲得不同樣本容量下的分布，以滿足不同樣本容量下各分布的異同比較。詳細(xì)的語句解釋見程序。

結(jié)果與分析

1.t分布及其與u分布的比較

t分布是一組對(duì)稱密度函數(shù)曲線，具有一個(gè)單獨(dú)參數(shù)v以確定某一特定分布，v是自由度〔8〕。本實(shí)驗(yàn)中當(dāng)樣本容量分別為5、10和30時(shí)，t分布的平均數(shù)分別為0.00541、-0.00045和 -0.00007，方差分別為2.00821、1.27955和1.06911。自由度較小的t分布比自由度較大的t分布具有較大的變異度?？梢姰?dāng)v增大時(shí)，t分布趨向于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。t分布曲線是對(duì)稱的，圍繞其平均數(shù)ut=0向兩側(cè)遞降。由于t分布受自由度制約，所以t值與其相應(yīng)的概率也隨自由度而不同，如本實(shí)驗(yàn)中當(dāng)樣本容量分別為5、10和30時(shí)累積概率P=0.95對(duì)應(yīng)的t值分別為2.15626、1.82674和1.68806，與文獻(xiàn)〔8〕附表4一致。在假設(shè)測驗(yàn)時(shí)，當(dāng)算得的|t|大于tα?xí)r，則表明其屬于隨機(jī)誤差的概率小于規(guī)定的顯著水平，因而可否定原假設(shè)。反之，若算得的|t|＜tα，則接受無效假設(shè)。

本實(shí)驗(yàn)中當(dāng)樣本容量分別為5、10和30時(shí)，同時(shí)模擬的u分布的平均數(shù)分別為0.00189、0.00204和0.00171，方差分別為 0.99367、0.99621 和 1.00937。可見差異不大，都是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

2.χ2分布

χ2分布圖形為一組具不同自由度v值的曲線。χ2值最小為0，最大為+∞，因而在坐標(biāo)軸的右面。自由度小時(shí)呈偏態(tài)，隨著自由度增加，偏度降低，至+∞時(shí)，呈對(duì)稱分布。該分布的平均數(shù)為v，方差為2v〔8〕，如在本實(shí)驗(yàn)中當(dāng)樣本容量分別為5、10和30時(shí)，模擬的χ2分布的平均數(shù)分別為4.01224、8.97165和28.9879，方差分別為7.98599、17.7960和58.1971。χ2分布分位數(shù)與文獻(xiàn)〔8〕附表6一致。

3.F分布

從圖1可見，F(xiàn)分布乃具有平均數(shù)μF=1和取值區(qū)間為〔0，+∞〕的一組曲線;而某一特定曲線的形狀則僅決定于參數(shù)v1和v2。在v1=1或v1=2時(shí)，F(xiàn)分布曲線是嚴(yán)重傾斜成反向J型;當(dāng)v1≥3時(shí)，曲線轉(zhuǎn)為偏態(tài)。隨著分子自由度的增加，F(xiàn)分布逐漸趨向于正態(tài)分布〔8〕。本實(shí)驗(yàn)中分母自由度為29，分子自由度分別為1、4和29的F分布平均數(shù)分別為1.06977、1.07854和 1.07491，方 差 分 別 為 2.50501、0.71181 和0.17673，可見隨著分子自由度的增加，F(xiàn)分布的方差逐漸減小。本實(shí)驗(yàn)中F分布分位數(shù)與文獻(xiàn)〔8〕附表5一致，說明了模擬的可靠性。

圖1 樣本容量n1分別為2、5和30，n2為30的F頻數(shù)分布圖和累積概率分布圖

討 論

本文通過學(xué)生較熟悉的SAS軟件編寫程序進(jìn)行模擬抽樣，獲得了t、u、χ2和F抽樣分布，統(tǒng)計(jì)出的抽樣分布分位數(shù)與理論值一致。分位數(shù)是判斷假設(shè)檢驗(yàn)是否顯著的標(biāo)準(zhǔn)。通過模擬抽樣求出各自由度下t、χ2和F分布所對(duì)應(yīng)的分位數(shù)加深了學(xué)生對(duì)t、χ2和F抽樣分布和統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)的理解。本文中的程序在課堂上作為講授理論課的例子輔助教學(xué)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，收到了良好的教學(xué)效果。

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國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展規(guī)劃項(xiàng)目(2009CB118404)，教育部高等學(xué)校創(chuàng)新引智計(jì)劃項(xiàng)目(B08025)，農(nóng)業(yè)部公益性行業(yè)專項(xiàng)(200803060)，國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(30900902)