●張世林 (巴東市第一中學 湖北巴東 444300) ●譚 斌 (恩施高級中學 湖北恩施 445000)
一道2011年湖北省數(shù)學高考試題的圖像妙解
●張世林 (巴東市第一中學 湖北巴東 444300) ●譚 斌 (恩施高級中學 湖北恩施 445000)
2011年湖北省數(shù)學高考文科試題第20題:
設函數(shù) f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中 x∈R,a,b為常數(shù),已知曲線 y=f(x)與y=g(x)在點(2,0)處有相同的切線l.
(1)求a,b的值,并寫出切線l的方程;
(2)若方程f(x)+g(x)=mx有3個互不相同的實根0,x1,x2,其中 x1< x2,且對任意的 x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,求實數(shù) m 的取值范圍.
本題主要考查函數(shù)、導數(shù)、不等式等基礎知識,同時考查綜合運用數(shù)學知識進行推理論證的能力,以及函數(shù)與方程和特殊與一般的思想.
第(1)小題比較簡單,易得 a=-2,b=5,l:x-y-2=0.第(2)小題大部分考生感覺題目似曾相識,但又不合常規(guī),解答起來困難不小.下面筆者用圖像法進行求解,比參考答案要簡單、明了.
解(2)由第(1)小題可將方程 f(x)+g(x)=mx化為
設 h(x)=x(x2-3x+2 -m),由題意知 x1,x2是方程x2-3x+2-m=0的2個根,因此
圖1