陳國棟 韓 旭 劉桂萍 趙子衡

湖南大學汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室,長沙,410082

基于自適應(yīng)徑向基函數(shù)的整車耐撞性多目標優(yōu)化

陳國棟 韓 旭 劉桂萍 趙子衡

湖南大學汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室,長沙,410082

提出自適應(yīng)徑向基函數(shù)代理模型,并結(jié)合微型多目標遺傳算法對整車耐撞性進行優(yōu)化。在每個迭代步中,以最優(yōu)拉丁方進行樣本點設(shè)計,以遺傳最優(yōu)拉丁方進行測試點設(shè)計,通過隔代映射遺傳算法對徑向基函數(shù)代理模型的誤差進行評價并獲得最優(yōu)光滑參數(shù)。將測試點不斷添加到樣本空間,直至耐撞性各個目標代理模型在測試點的誤差都達到要求,再采用貪婪算法將最后迭代步的測試點篩選到樣本空間以進一步提高精度。最后采用微型多目標遺傳算法對達到許可誤差的各個自適應(yīng)徑向基函數(shù)模型進行優(yōu)化,獲得Pareto前沿面,根據(jù)工程要求或工程人員的經(jīng)驗權(quán)衡耐撞性,優(yōu)化各個目標之間的關(guān)系以獲得不同最優(yōu)妥協(xié)解。

自適應(yīng)徑向基函數(shù);光滑參數(shù);多目標優(yōu)化;整車耐撞性

0 引言

在汽車耐撞性優(yōu)化過程中存在如下問題:目標和約束不能顯式表達,單次模擬時間長。為解決以上問題,響應(yīng)面(RSM)[1]、逐步回歸模型[2]、移動最小二乘[3-4]、K riging模型[5]等代理模型已被廣泛地應(yīng)用于汽車結(jié)構(gòu)耐撞性優(yōu)化中。碰撞是個涉及非線性的復雜瞬態(tài)動力學過程,設(shè)計變量與某些目標或約束(如加速度峰值)之間非線性程度高,而響應(yīng)面法對非線性擬合能力不足。逐步回歸模型只是以減少不必要的多項式項來減少最小樣本點個數(shù)[2]。移動最小二乘法在局部進行擬合,對非線性問題的求解有很大改善,但需要樣本點較多,同時精度在很大程度上取決于權(quán)系數(shù)[3]。K riging模型需要應(yīng)用一個全局優(yōu)化步驟來鑒定最大似然估計,較難構(gòu)造和使用[6]。徑向基函數(shù)(radialbasis function,RBF)作為一種有效的代理模型在國內(nèi)還沒有用于整車汽車耐撞性優(yōu)化的實例。Fang等[7]成功地將RBF用于道奇士整車碰撞優(yōu)化中,與RSM法進行比較,RBF更穩(wěn)定可靠。Jin等[8]利用14個代表不同類型問題的算例,對常見4種代理模型進行了系統(tǒng)比較,發(fā)現(xiàn)在同時考慮模型精度和魯棒性的情況下,RBF最為可靠。但RBF存在兩個缺陷制約著它的廣泛使用:①RBF存在對模型精度影響很大的光滑參數(shù),但缺乏獲得最優(yōu)光滑參數(shù)的方法。通常光滑參數(shù)的選擇憑借使用者的經(jīng)驗[7,9]。實際上針對不同的問題,不同的樣本,最優(yōu)光滑參數(shù)不同[10]。國外一些文獻采用交叉驗證方法(CV)來獲得光滑參數(shù),但Jay等[11]發(fā)現(xiàn)這種方法不穩(wěn)定,可能導致模型精度很差。②RBF缺乏合適的模型驗證和更新的方法。RBF通過插值來構(gòu)造,不能像響應(yīng)面擬合那樣,通過樣本點誤差來評價整個模型的誤差。額外隨機挑選測試點,隨機性太大,而且測試點的獲得耗費額外的費用。CV方法不能真實地評價模型的精度[6]。

汽車耐撞性優(yōu)化是個要同時考慮耐撞性和輕量化的多目標優(yōu)化問題[3]。耐撞性和輕量化目標之間相互沖突,不存在同時達到最優(yōu)的解。張勇等[4]通過對耐撞性的約束將優(yōu)化目標轉(zhuǎn)化到輕量化一個目標上;張宏波等[3]通過博弈中的納什均衡平衡耐撞性和輕量化的沖突,以納什均衡狀態(tài)作為最優(yōu)解;孫光永等[12]通過最小距離選解法權(quán)衡各個目標以獲得最優(yōu)解。線性加權(quán)法在優(yōu)化前必須給定各個目標的權(quán)系數(shù),主觀性太大。主要目標法必須確定目標轉(zhuǎn)化為約束的對象和約束的大小。博弈方法克服了線性加權(quán)法依賴于權(quán)系數(shù)的缺點,但通常不滿足Pareto最優(yōu)條件[3]。上面的方法都是將多目標問題通過各種策略轉(zhuǎn)化到只獲得一個解,即獲得一個方案。

考慮到光滑參數(shù)對RBF的影響以及缺乏模型驗證和更新的方法,筆者提出自適應(yīng)徑向基函數(shù)方法。它通過獲得最優(yōu)光滑參數(shù)最大化模型的精度,并對模型精度系統(tǒng)作評價,更新模型直到達到規(guī)定的誤差范圍。而微型多目標遺傳算法采用少量個體數(shù)來提高效率,采用重啟動策略和探測算子保證Pareto的全局性,在大量工程算例中得到了應(yīng)用[13]。本文結(jié)合自適應(yīng)徑向基函數(shù)和微型多目標遺傳算法求解整車耐撞性優(yōu)化問題,尋找到Pareto前沿面,根據(jù)工程人員的經(jīng)驗權(quán)衡耐撞性和輕量化之間的關(guān)系來獲得不同的最優(yōu)方案。

1 自適應(yīng)徑向基函數(shù)

1.1 徑向基函數(shù)

構(gòu)建代理模型首先需要對優(yōu)化變量搜索空間進行采樣。樣本點選擇不當易導致代理模型精度較低甚至難以構(gòu)造,試驗設(shè)計(design of experim ents,DOE)的理論可幫助確定合理的樣本點。本文采用最優(yōu)拉丁方試驗設(shè)計(optimal latin hypercube design,OLHD)[14]獲得樣本點,使樣本點在整個設(shè)計空間均勻分布。最優(yōu)拉丁方試驗設(shè)計具有效率高,均衡性能好的優(yōu)點。

徑向基函數(shù)[7-8]是以徑向函數(shù)為基函數(shù)通過線性疊加構(gòu)造的模型。對于某一實際模型 f(x),其RBF代理模型~f(x)可表示如下:

式中,n為樣本點個數(shù);‖x-xi‖是待測點x與第i個樣本點xi之間的歐氏距離;φ為基函數(shù);λi為要求解的權(quán)系數(shù)。

根據(jù)n個樣本點插值條件,可以得到方程組:

其中,aij為矩陣A中的元素。

常用基函數(shù)及光滑參數(shù)如表1所示,在相同試驗設(shè)計情況下,Fang等[7]對各種基函數(shù)進行比較,發(fā)現(xiàn)采用MQ基精度最高,此處我們也選用MQ基。

表1 常用基函數(shù)及其光滑參數(shù)[7-8]

式(2)表明,對于一組樣本點,矩陣A決定權(quán)系數(shù)λ,也即決定代理模型的構(gòu)造。而光滑參數(shù)決定著矩陣A,光滑參數(shù)越大,每個樣本點產(chǎn)生的影響域越大,構(gòu)造的模型越平滑,代理模型通常越精確,但矩陣A的條件數(shù)急劇增加,可能造成模型精度突然急劇降低。RBF經(jīng)過每個樣本點,而樣本點之間的構(gòu)造形式受光滑參數(shù)的影響,圖1所示為不同光滑參數(shù)在相同樣本下構(gòu)造的RBF模型,其中,x表示設(shè)計變量,f表示關(guān)于x的響應(yīng)。

代理模型構(gòu)造完后必須驗證模型的精度,RBF是一種插值模型,樣本點處誤差為零,不能像多項式擬合那樣通過樣本點誤差來評價整個代理模型的誤差。必須通過額外的測試點來評價,通常用平均相對誤差(APE)、決定性系數(shù)(R2)來評價:

圖1 不同光滑參數(shù)在相同樣本下構(gòu)造的RBF模型

額外的測試點的個數(shù)和位置具有很大的偶然性和隨機性。

1.2 遺傳最優(yōu)拉丁方試驗設(shè)計

在代理模型誤差未達要求情況下,遺傳拉丁方試驗設(shè)計[15](ILHD)可以遺傳樣本點產(chǎn)生修正點來更新代理模型,從而避免了在整個設(shè)計空間重新采樣,造成樣本點的浪費,提高了效率。但修正點添加到樣本點中,不能保證在空間均勻分布,更新的代理模型會丟失局部信息。

本文結(jié)合OLHD和ILHD得到遺傳最優(yōu)拉丁方試驗設(shè)計(inherited op timal latin hypercube design,IOLHD)方法,它采用模擬退火法以最大化最小距離準則遺傳拉丁方獲得修正點。

IOLHD具有以下兩個特征:①修正點距離樣本點的距離大;②修正點添加到樣本點中,依然能保證在設(shè)計空間均勻分布。以二維設(shè)計空間為例,樣本點的分布如圖2所示,其中橫坐標和縱坐標分別表示二維設(shè)計變量,圖2a表示OLHD獲得樣本點的分布;圖2b表示遺傳圖2a中樣本點獲得的修正點的分布;圖2c表示合并的樣本點和修正點的分布。合并后每個橫豎格子里面只有一個樣本,依然保持著拉丁方試驗設(shè)計的特點。

圖2 試驗設(shè)計

RBF的最優(yōu)光滑參數(shù)很難確定,但在一個大概確定的范圍內(nèi)。根據(jù)RBF模型的插值特點,距離樣本點越近,誤差越小,直至樣本點處誤差為零,距離樣本點越遠處誤差可能越大。根據(jù)IOLHD采樣特征①,采用模擬退火法以最大化最小距離準則來獲得修正點,所獲修正點離樣本點的距離是最大的。于是以O(shè)LHD產(chǎn)生的樣本點構(gòu)造RBF,以IOLHD產(chǎn)生的修正點作為測試點。因為測試點距離樣本點距離最大,誤差可能最大,于是以測試點的誤差最小為目標在光滑參數(shù)的區(qū)間內(nèi)確定最優(yōu)光滑參數(shù)。根據(jù)IOLHD遺傳采樣的特征②,樣本點和修正點(即測試點)構(gòu)成的樣本點集在整個設(shè)計空間里面還是均勻分布的。所以當確定了最優(yōu)光滑參數(shù)后,若測試點誤差沒有處于設(shè)定的模型誤差范圍內(nèi),就將測試點添加到樣本點中去,重新獲得測試點和合適的光滑參數(shù),直至測試點誤差達到設(shè)定的模型誤差范圍。

1.3 隔代映射遺傳算法

為了提高搜索最優(yōu)光滑參數(shù)的效率,在每次迭代中,以光滑參數(shù)為設(shè)計變量,以樣本點構(gòu)造的RBF模型計算的測試點誤差為適應(yīng)度,采用隔代映射遺傳算法[16](IP-GA)作為搜索工具。IPGA在小種群遺傳算法(μGA)的基礎(chǔ)上添加了隔代映射算子,通過父代和祖代的最優(yōu)個體的變化方向來搜尋更好的個體,這樣通過它在父代和祖代的最優(yōu)個體附近的搜索,大大增強了算法的局部搜索能力,提高了收斂效率。達到全局最優(yōu)點時所用的代數(shù)僅僅是μGA的6.4%～74.4%[17]。

1.4 貪婪算法

在模型誤差達到要求、同時確定了當前樣本點下的最優(yōu)光滑參數(shù)后,面臨的一個問題是怎么處理最后一個迭代中產(chǎn)生的測試點。由于最優(yōu)光滑參數(shù)是在當前樣本情況下確定的,樣本點改變,最優(yōu)光滑參數(shù)一般也會改變,若將最后迭代產(chǎn)生的測試點全部加入到樣本中去,雖然樣本點增多但不是在最優(yōu)光滑參數(shù)下構(gòu)造RBF,模型精度很可能會降低。若都不加入到樣本中去,只會保證是在最優(yōu)光滑參數(shù)下構(gòu)造RBF,而沒有充分利用最后迭代步的測試點,特別是在測試點耗費大量計算機資源的時候。

本文通過貪婪算法[17]挑選出部分最后迭代步的測試點添加到樣本空間中,最大限度地利用試驗樣本來提高模型精度。

2 微型多目標遺傳算法

微型多目標遺傳算法(micro multi-objec-tive genetic algorithm,μMOGA)[13]采用小規(guī)模進化種群,一般為5～8個(常見MOGA種群大小為20～100個),可以減少目標值的計算次數(shù),提高優(yōu)化效率。采用重啟動策略和個體擁擠距離比較方法保持進化種群中個體基因和外部種群多樣性。為了加快收斂速度,在重啟動時加入了一種探測算子,在非支配解分布密集和分布稀疏區(qū)域各產(chǎn)生一個新個體,對非支配解的區(qū)域進行探測性的局部搜索。通過與大量測試函數(shù)[13]比較發(fā)現(xiàn),μMOGA與NSGAⅡ等常見多目標遺傳算法相比,在收斂速度和非支配解分布均勻度上具有明顯的提高。

3 基于自適應(yīng)徑向基函數(shù)的耐撞性多目標優(yōu)化方法

運用自適應(yīng)徑向基函數(shù)構(gòu)造碰撞各個目標和約束的代理模型。通過自適應(yīng)得到最優(yōu)光滑參數(shù),從而可以最大化模型的精度,減少碰撞有限元模型的計算次數(shù);對模型精度進行系統(tǒng)的評價并更新模型達到許可誤差。再運用高效率微型多目標遺傳算法獲得Pareto前沿面。整個優(yōu)化過程的流程如圖3所示,其基本步驟如下:

圖3 基于ARBF的整車耐撞性多目標優(yōu)化流程圖

(1)確定耐撞性的各個目標和約束,選擇對目標影響大的部件為設(shè)計變量。

(2)初始化,給定光滑參數(shù)R和q、每個目標和約束的誤差范圍、樣本點個數(shù)n s、測試點個數(shù)n t。

(3)采用OLHD試驗設(shè)計獲得n s個樣本點,并代入實際有限元模型中,計算目標值和約束值。

(4)采用步驟(3)中n s個樣本點獲得n t個測試點,代入實際有限元模型中,計算目標值和約束值。

(5)以光滑參數(shù)為設(shè)計變量,以ns個樣本點構(gòu)造的RBF模型計算的n t個測試點誤差為適應(yīng)度,采用IP-GA獲得最優(yōu)光滑參數(shù)。

(6)計算步驟(5)中得到的最優(yōu)光滑參數(shù)對應(yīng)的測試點誤差。若大于設(shè)定的誤差范圍,更新樣本n s←n s∪n t,再轉(zhuǎn)步驟(4);否則轉(zhuǎn)步驟(7)。

(7)通過貪婪算法挑選出最后迭代步中部分測試點,添加到樣本中。

(8)運用μMOGA對通過貪婪算法確定的最終樣本點和步驟(5)中獲得的最優(yōu)光滑參數(shù)構(gòu)造的自適應(yīng)徑向基函數(shù)(adap tive radial basis function,ARBF)模型進行優(yōu)化。

(9)輸出Pareto前沿面,根據(jù)實際工程人員的設(shè)計要求和偏好從Pareto前沿面中選擇最優(yōu)妥協(xié)解。

4 某車型整車耐撞性多目標優(yōu)化

4.1 有限元模型的建立

圖4給出了早期開發(fā)階段某車型整車正面碰撞有限元模型。某車以50km/h速度撞向固定剛性墻,整個過程的數(shù)值仿真時間為150ms,數(shù)值仿真采用有限元軟件LS-DYNA。

圖4 某車型正面碰撞有限元模型

4.2 多目標優(yōu)化問題的建立

在汽車的正面碰撞車體,沖擊加速度峰值最大,乘員頭部、胸部傷害較嚴重,選擇B柱加速度峰值最小作為一個目標;為了保證乘員有足夠的生存空間,選擇腳踏板侵入量為另一個目標;輕量化是永恒的主題,整車質(zhì)量最小為第三個目標。這些目標之間相互沖突,不存在同時達到最優(yōu)的解。

國內(nèi)外的研究表明,在正碰時車輛前部結(jié)構(gòu)吸收的能量占車輛總吸收能量的50%以上[12]。前部結(jié)構(gòu)的吸能特性和變形模式?jīng)Q定著車身在撞擊時的加速度或力的響應(yīng)。圖5為從整個模型222個部件中選擇的10個主要吸能前部結(jié)構(gòu)部件圖。如圖6所示,在第20m s時吸收的能量占總吸收能量的53%,在第150ms時吸收的能量占總吸收能量的45%。選擇這10個部件為設(shè)計變量,其中3個部件左右對稱,于是共有7個設(shè)計變量。

圖5 設(shè)計變量部件

圖6 隨時間歷程的內(nèi)能變化

4.3 優(yōu)化結(jié)果及分析

選用MQ形式基函數(shù),設(shè)定光滑參數(shù)范圍0≤R≤2,0＜q≤3。選擇初始樣本點n s和每個迭代步測試點n t都為10個。板厚與車體質(zhì)量m之間基本呈線性關(guān)系,選擇m的許可誤差ε3≤1%;而板厚與B柱加速度峰值a之間非線性度高,伴隨著波動和噪聲,誤差很難收斂到很小,選擇a的許可誤差ε1≤6%;腳踏板侵入量d的許可誤差ε2≤6%。

圖7所示為第一個迭代步中光滑參數(shù)對d的影響曲面。在第一個迭代步中,在樣本點相同的情況下,腳踏板侵入量 d的代理模型誤差范圍為6.2%～46%,可見光滑參數(shù)對模型精度影響很大。各個代理模型在不同樣本情況下,最優(yōu)光滑參數(shù)隨迭代步的變化如圖8所示。

圖7 第一個迭代步中光滑參數(shù)對d的影響

圖8 各代理模型最優(yōu)光滑參數(shù)隨迭代步的變化

構(gòu)造ARBF的迭代過程如圖9所示,共迭代4次,a、d和m 的誤差分別達到5.71%、3.72%和0.1%,都達到了各自的許可誤差。

圖9 各個目標代理模型誤差隨迭代步的變化

采用μMOGA對3個ARBF模型進行優(yōu)化,輸出100個Pareto解,如圖 10所示。

圖10 獲得的多目標Pareto前沿面

根據(jù)工程要求或工程人員的經(jīng)驗權(quán)衡耐撞性和輕量化之間的關(guān)系,選擇Pareto前沿面中的某個解為設(shè)計方案。優(yōu)化前后各代理模型最優(yōu)光滑參數(shù)比較如圖11～圖13所示。若著重提高安全性能,可選擇方案一,此時B柱加速度峰值降低25.7%,腳踏板侵入量減少36.5%,質(zhì)量僅增加6.8kg;若同時考慮安全性和輕量化,可選擇方案二,B柱加速度峰值降低18%,腳踏板侵入量減少3.5%,質(zhì)量也減輕1kg。

圖11 優(yōu)化前后B柱加速度曲線

圖12 優(yōu)化前后質(zhì)量

圖13 優(yōu)化前后腳踏板侵入量

5 結(jié)束語

將具有較強非線性描述能力的徑向基函數(shù)應(yīng)用到汽車碰撞中,考慮到徑向基函數(shù)精度受光滑參數(shù)影響和缺乏系統(tǒng)的模型驗證、更新方法等缺點,提出自適應(yīng)徑向基函數(shù)。它通過獲得最優(yōu)光滑參數(shù)來最大化碰撞各個目標代理模型的精度,減少有限元模型的調(diào)用次數(shù)。對代理模型精度系統(tǒng)進行了評價,并進行了代理模型迭代更新,構(gòu)造了滿足碰撞各個代理模型精度要求的模型。結(jié)合了自適應(yīng)徑向基函數(shù)和微型多目標遺傳算法,對某整車正碰中10個主要吸能部件的板厚分布對整車耐撞性和輕量化的影響進行了優(yōu)化,獲得了多目標Pareto前沿面,根據(jù)工程要求或工程人員的經(jīng)驗權(quán)衡耐撞性和輕量化之間的關(guān)系,從Pareto前沿面中挑選出了不同的最優(yōu)妥協(xié)方案。

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Multi-objective Design Optim ization on Crashworthinessof Full Vehicle Based on Adap tive Radia l Basis Function

Chen Guodong Han Xu Liu Guiping Zhao Ziheng
State Key Laboratory of A dvanced Design and Manufacturing for Vehicle Body,H unan University,Changsha,410082

An ARBF model method was suggested and combined w ith micro m ulti-objective genetic algorithm(μMOGA)to solve vehicle crashworthiness.In each iterative,samp ling points were obtained by the optimal Latin hypercube design,while testing points were obtained by the inherit op timal Latin hypercube design,this method regarded the errors of testing points as fitness of intergeneration projection genetic algorithm(IP-GA),assessed themodel systematically and got the op timal sm ooth parameters to maximize model accuracy,testing points added to sam ple space until reaching errors allow able of each crashworthiness objective.Then greed algorithm was adopted to filter the testing points from the last iterative to sam pling space to increase accuracy.A t last,μMOGA was app lied to op timize the ARBF,and got Pareto and balanced each ob jective to get different best com p romise solutions according to engineer experim ents or engineerring requirements.

adap tive radial basis function(ARBF);smooth parameter;m ulti-objective op tim ization;vehicle crashworthiness

TP18;TG386

1004—132X(2011)04—0488—06

2010—04—20

國家自然科學基金資助項目(10725208);國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(973計劃)資助項目(2010CB832700);高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(200805321034);國家科技重大專項(2010ZX04017-013-005)

(編輯 王艷麗)

陳國棟,男,1983年生。湖南大學汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室博士研究生。主要研究方向為多目標優(yōu)化算法、汽車車身結(jié)構(gòu)CAE、汽車碰撞安全。韓 旭,男,1968年生。湖南大學機械與運載工程學院院長、教授、博士研究生導師。劉桂萍,女,1980年生。湖南大學機械與運載工程學院講師。趙子衡,男,1983年生。湖南大學汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室博士研究生。