沈婷婷， 馬和平

(上海大學(xué)理學(xué)院，上海200444)

譜方法作為數(shù)值求解偏微分方程的有效工具之一，近年來得到了廣泛的應(yīng)用.根據(jù)選取檢驗函數(shù)的不同，譜方法可分為Galerkin方法、tau方法和配置法.關(guān)于Galerkin方法和配置法的一些理論分析和數(shù)值計算結(jié)果可參見文獻(xiàn)［1-3］.本研究主要討論tau方法在二維問題中的收斂性態(tài).

文獻(xiàn)［12］雖然給出了Legendre tau方法求解一維二階微分方程的L2模的最優(yōu)誤差估計，但對于高維情況下的收斂結(jié)果卻沒有具體討論.由于tau方法在高維情況下僅有次優(yōu)的誤差估計，因此，本研究對于高維情況下 tau方法的收斂性態(tài)更感興趣.

本研究考慮二維Poisson方程的Dirichlet問題，即

本研究主要目的是證明Legendre tau方法對于求解二維Poisson方程Dirichlet問題具有H1模和L2模的最優(yōu)誤差估計.文獻(xiàn)［12］取類似(1-x2)-1uN作為檢驗函數(shù)，其中uN∈(I)，I=(-1，1).本研究將該方法應(yīng)用到二維的情形.

1 基本引理

對任意的u∈H2(Ω)，v∈L2(Ω)，定義雙線性形式為

引理1 對任意的u∈H2(Ω)，v∈H1(Ω)，存在常數(shù)C，使得

證明 由文獻(xiàn)［2］中的結(jié)論，得到

另一方面，有

因此，

如果考慮對u，v∈H1(Ω)定義a(u，v)(弱形式)，則同樣可以得到以上結(jié)果.

下面引入2個正交投影算子.

引理2［1］如果 u∈Hr(Ω)，且0≤l≤2≤r，則有

引理3［1］如果u∈Hr(Ω)∩H10(Ω)，且0≤l≤1≤r，則有

2 收斂性分析

由式(1)和(2)，可以得到如下誤差方程：

假設(shè)ω-1，-1U∈H2，設(shè)u*=ω1，1PN-22(ω-1，-1U)，e=uN-u*，有∶=ω-1，-1e∈N-2，因此，

并且，

因此，由式(4)，得

根據(jù)引理2，可得

另一方面，

由三角不等式和Poincaré不等式，可以得到以下定理.

式中，C為依賴于‖ω-1，-1U‖r的正常數(shù).

下面利用對偶技巧來估計‖U-uN‖.

式中，C為依賴于‖ω-1，-1U‖r的正常數(shù).

證明 考慮如下問題：對于g∈L2(Ω)，令φ= φ(g)，滿足

根據(jù)文獻(xiàn)［1］，可知式(5)有唯一解，并且φ滿足

因此，

由定理1和定理2可知，條件ω-1，-1U∈Hr(Ω)稍嚴(yán)格，這里可以更仔細(xì)地考慮權(quán)的影響.如果采用適當(dāng)?shù)耐队八阕?，例如考慮廣義Jacobi投影算子，那么精確解可以屬于較弱的帶權(quán)Sobolev空間.

3 數(shù)值算例

例1 考慮如下二維 Poisson方程的齊次Dirichlet邊值問題：

其精確解為

分別使用Legendre tau(LT)方法和Legendre Galerkin (LG)方法計算，得到的L2模誤差如表1所示.

表1 例1的L2模誤差Table 1 L2errors for Example 1

例2 考慮如下二維 Poisson方程的齊次Dirichlet邊值問題：

其精確解為

分別采用LT方法和LG方法計算，得到的L2模誤差如表2所示.

由例2可以看出，因為解U∈H3.5-?(Ω)(?＞0)，所以其數(shù)值結(jié)果表明它能達(dá)到L2模下最優(yōu)收斂階，并且tau方法具有與Galerkin方法相似的收斂性態(tài).

例3 考慮如下二維 Poisson方程的齊次Dirichlet邊值問題：

式中，

其精確解為

分別用LT方法和LG方法計算，得到的L2模誤差如表3所示.

表2 例2的L2模誤差Table 2 L2errors for Example 2

表3 例3的L2模誤差Table 3 L2errors for Example 3

由例3可以看出，如果解在邊界上有奇性，則LT方法的精度就不如LG方法.

例4 考慮如下二維 Poisson方程的齊次Dirichlet邊值問題：

式中，

其精確解為分別用LT方法和LG方法進行計算，得到的L2模誤差如表4所示.

表4 例4的L2模誤差Table 4 L2errors for Example 4

通過上述算例，對于ω-1，-1U∈Hr(Ω)這個條件，當(dāng)更仔細(xì)地考慮權(quán)的影響時，就可以看出LT方法與LG方法的區(qū)別，即如果解充分光滑或者解在區(qū)域內(nèi)有奇性，則LT方法和LG方法幾乎具有相同的精度;如果解在邊界上有奇性，則LT方法的精度就不及LG方法.

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