陳 沛 韓 旭 姜 潮 張 正

湖南大學(xué)汽車(chē)車(chē)身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)沙,410082

基于最小二乘映射的多參數(shù)結(jié)構(gòu)問(wèn)題快速計(jì)算方法

陳 沛 韓 旭 姜 潮 張 正

湖南大學(xué)汽車(chē)車(chē)身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)沙,410082

針對(duì)機(jī)械工程中復(fù)雜結(jié)構(gòu)多參數(shù)問(wèn)題,提出一種新的基于最小二乘映射的減基法。該方法通過(guò)在參數(shù)域采集樣本點(diǎn),計(jì)算系統(tǒng)在有限個(gè)樣本點(diǎn)下的響應(yīng)以構(gòu)造減基空間,利用最小二乘映射把原方程向減基空間進(jìn)行投影得到減縮方程,在減基空間快速求解該減縮系統(tǒng),獲得原問(wèn)題的減縮解,并把減縮解還原到原空間,得到問(wèn)題的近似解。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí),能通過(guò)減縮系統(tǒng)快速得到新參數(shù)下的響應(yīng),極大地提高了計(jì)算效率。最后將該方法用于賽車(chē)車(chē)架剛度計(jì)算,結(jié)果表明方法是有效且可靠的。

減基法;最小二乘映射;多參數(shù)問(wèn)題;拉丁超立方采樣

0 引言

工程設(shè)計(jì)和產(chǎn)品開(kāi)發(fā)越來(lái)越注重優(yōu)化設(shè)計(jì),如何為眾多的參數(shù)選擇最合適的數(shù)值,這將在很大程度上影響產(chǎn)品的質(zhì)量、性能及成本。優(yōu)化設(shè)計(jì)的主要工作是性能的重復(fù)分析,每次系統(tǒng)幾何參數(shù)或物理參數(shù)的改變,都需要對(duì)結(jié)構(gòu)重新進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)多參數(shù)系統(tǒng)而言,用傳統(tǒng)的計(jì)算方法循環(huán)求解不同輸入下的輸出,計(jì)算費(fèi)用非常高,因此,受制于計(jì)算成本,很難對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行自適應(yīng)設(shè)計(jì)和優(yōu)化,或?qū)?shù)進(jìn)行穩(wěn)健的估計(jì)。目前解決這類(lèi)問(wèn)題的一條途徑是對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行降階建模和分析,如Guyan降階法[1]、Ritz向量降階法[2]、正常正交分解法[3]等,但這些方法在保持原模型的物理特性和提高效率上仍存在一定的局限性,即使是降階后,求解仍比較耗時(shí)。

減基法作為一種新的快速計(jì)算方法,在20世紀(jì)70年代被提出,其基本思想是,當(dāng)系統(tǒng)由多個(gè)參數(shù)來(lái)描述時(shí),這些參數(shù)的不同組合會(huì)使系統(tǒng)方程有不同的解,而系統(tǒng)在新參數(shù)下的解可以用事先設(shè)計(jì)的樣本參數(shù)組所對(duì)應(yīng)解的線性組合來(lái)得到。近年來(lái),不少學(xué)者對(duì)該方法進(jìn)行了研究,Maday等[4-5]提出了減基法計(jì)算的預(yù)收斂理論;Rovas[6]把減基法應(yīng)用于不同種類(lèi)偏微分方程的求解中;Liu等[7]將減基法擴(kuò)展到反問(wèn)題中,并進(jìn)行了相關(guān)研究。國(guó)內(nèi)對(duì)該方法的研究很少,劉玉秋等[8]將修正減基法用于船舶設(shè)計(jì),雷飛等[9]將減基法用于車(chē)身復(fù)雜結(jié)構(gòu)大規(guī)模問(wèn)題的快速分析。

上述文獻(xiàn)中采用的減基法都是先構(gòu)造減基空間,再通過(guò)Galerkin映射把原方程投影到低階方程進(jìn)行求解。本文在此基礎(chǔ)上提出一種新的減基法:在獲取減基空間后,利用最小二乘映射把系統(tǒng)特征矩陣及載荷向量向減基空間投影得到減縮系統(tǒng),求解減縮系統(tǒng)并將解映射到原空間得到問(wèn)題的近似解。本文以某賽車(chē)車(chē)架為例,分別通過(guò)計(jì)算耗時(shí)和誤差對(duì)比,驗(yàn)證了該減基方法的可靠性和有效性。

1 基于最小二乘映射的減基法理論及算法

1.1 基于最小二乘映射減基法理論

對(duì)于大型結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問(wèn)題,有限元方法通常用偏微分方程弱形式的矩陣表示:

式中,Κ(μ)為剛度矩陣;U(μ)為場(chǎng)變量;F為載荷向量;μ為輸入?yún)?shù),對(duì)于多參數(shù)問(wèn)題,μ為參數(shù)向量。

通過(guò)拉丁超立方采樣,在參數(shù)域 Ω中采樣N個(gè)參數(shù)點(diǎn),得到集合

當(dāng)采樣方法科學(xué),樣本點(diǎn)數(shù)目選取合理時(shí),所構(gòu)造的減基空間具有良好的完備性,從而保障了降階投影后原模型的物理特性不發(fā)生改變或缺失。因此,當(dāng)參數(shù)域發(fā)生變化時(shí),新參數(shù)下的解能用減基空間中基向量的線性組合表示,即

對(duì)于靜力學(xué)問(wèn)題,當(dāng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí),結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化,即剛度矩陣改變。為了避免參數(shù)變化后重新進(jìn)行前處理以及保證計(jì)算的高效性,將系統(tǒng)剛度矩陣顯式分解成與參數(shù)相關(guān)的系數(shù)部分和與參數(shù)無(wú)關(guān)的矩陣部分,將剛度矩陣表示為

式中,σi(μ)為與參數(shù)相關(guān)的函數(shù)項(xiàng);Ki(i=1,2,…,m)為剛度矩陣中的不變項(xiàng);m為剛度矩陣分離項(xiàng)數(shù)。

當(dāng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí),無(wú)需對(duì)結(jié)構(gòu)重新進(jìn)行前處理,只需要對(duì)與參數(shù)相關(guān)的系數(shù)部分進(jìn)行修正即可快速得到新的系統(tǒng)矩陣。

式(13)和式(14)中,K i為剛度矩陣中不變項(xiàng),F為載荷常向量,故A i j、B i的值恒定而不受參數(shù)變化的影響,只需在離線階段計(jì)算一次,其結(jié)果可以在在線階段反復(fù)調(diào)用。KN(μ)為減縮系統(tǒng)方程的剛度矩陣,FN為縮減系統(tǒng)方程的力向量。在經(jīng)過(guò)上述最小二乘變換后,原線性系統(tǒng)由n×n階降為了N×N階,從而使問(wèn)題求解計(jì)算量大大縮減。求解式(17)得到減縮系統(tǒng)的響應(yīng)α(μ),將α(μ)回代式(4)即可得到原系統(tǒng)的近似響應(yīng)。

1.2 基于最小二乘映射減基法計(jì)算流程

根據(jù)減基法計(jì)算特點(diǎn),將計(jì)算分為離線計(jì)算與在線計(jì)算兩部分。

(1)離線階段。①對(duì)參數(shù)域進(jìn)行采樣并求解系統(tǒng)在樣本點(diǎn)的解;②構(gòu)造減基空間;③分離剛度矩陣,投影與參數(shù)無(wú)關(guān)的矩陣。

(2)在線階段。①將參數(shù)無(wú)關(guān)矩陣與設(shè)計(jì)變量集成,構(gòu)造新參數(shù)下的減縮系統(tǒng);②求解減縮系統(tǒng);③以減縮解為系數(shù)對(duì)解空間基向量進(jìn)行線性組合,得到新參數(shù)下的近似解。

2 基于最小二乘映射減基法誤差定義

由于減基法是通過(guò)求解高維問(wèn)題降階后的低維系統(tǒng)而快速得到原系統(tǒng)的近似解,所以在進(jìn)行降階的過(guò)程中必然存在數(shù)值誤差。為了驗(yàn)證減基法的計(jì)算精度,在相同參數(shù)下比較有限元法計(jì)算結(jié)果和減縮計(jì)算結(jié)果,利用歐幾里德范數(shù)定義相對(duì)誤差:

3 賽車(chē)車(chē)架剛度計(jì)算算例

以某大學(xué)生方程式賽車(chē)的車(chē)架剛度計(jì)算為例,車(chē)架剛度是評(píng)價(jià)賽車(chē)可靠性及安全性的一個(gè)重要指標(biāo),它直接影響賽車(chē)能承受的最大載荷以及沖擊韌性等,而車(chē)架材料及幾何尺寸都是影響剛度的重要因素。當(dāng)進(jìn)行車(chē)架設(shè)計(jì)時(shí),需要在各參數(shù)范圍內(nèi)選取多組參數(shù)組合,分別進(jìn)行計(jì)算分析以找出最優(yōu)設(shè)計(jì)方案?；趥鹘y(tǒng)有限元的計(jì)算方法在參數(shù)改變時(shí)需要重新進(jìn)行前處理并集成新的特征矩陣,不僅繁瑣而且耗時(shí),以減基法為基礎(chǔ)的快速算法對(duì)處理此類(lèi)多參數(shù)變化問(wèn)題非常有優(yōu)勢(shì)。

根據(jù)車(chē)架各部位承受載荷狀況的不同,該賽車(chē)車(chē)架的主要受力構(gòu)件采用直徑為25mm的空心圓鋼管焊接而成,次要受力構(gòu)件及支撐件采用直徑為20mm的空心圓鋼管焊接而成。取其壁厚作為設(shè)計(jì)參數(shù),直徑20mm的鋼管壁厚t1變化范圍為1.2～2.8mm,直徑25mm的鋼管壁厚t2變化范圍為1.0～2.5mm。根據(jù)鋼管加工過(guò)程包含的雜質(zhì)元素及熱處理工藝的不同[10],取其彈性模量E變化范圍為192～320GPa,泊松比υ=0.33。計(jì)算邊界條件如圖1所示,約束 A點(diǎn)六個(gè)由度,B、C、D三點(diǎn)約束三個(gè)平動(dòng)自由度,保留三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度,在車(chē)架頂部四個(gè)對(duì)稱(chēng)位置分別施加垂直向下的集中載荷,通過(guò)測(cè)量車(chē)架變形大小來(lái)計(jì)算車(chē)架剛度。用梁?jiǎn)卧獙④?chē)架離散成409個(gè)單元,371個(gè)節(jié)點(diǎn),共2226個(gè)自由度。

圖1 賽車(chē)車(chē)架及剛度計(jì)算邊界條件

用拉丁超立方采樣法在參數(shù)域采取10個(gè)樣本點(diǎn),用減基法把原來(lái)2226×2226的系數(shù)矩陣縮減為10×10的矩陣,大幅度提高了求解效率。計(jì)算過(guò)程用Fortran程序?qū)崿F(xiàn),采用減基法計(jì)算,離線計(jì)算時(shí)間為27.217s,在線計(jì)算時(shí)間為0.00016s,而用有限元法計(jì)算一次的時(shí)間為2.018s。當(dāng)問(wèn)題規(guī)模不大或計(jì)算次數(shù)不多時(shí),減基法并不能充分體現(xiàn)出其優(yōu)勢(shì)。隨著計(jì)算次數(shù)的增加,減縮系統(tǒng)的計(jì)算時(shí)間與有限元計(jì)算時(shí)間的比較見(jiàn)圖2。由圖2知,當(dāng)計(jì)算次數(shù)大于某一臨界值時(shí),減縮計(jì)算的時(shí)間總是小于有限元計(jì)算時(shí)間,且隨著計(jì)算次數(shù)的增加,減縮計(jì)算的優(yōu)勢(shì)越明顯。在需要修改參數(shù)進(jìn)行反復(fù)迭代的大規(guī)模計(jì)算過(guò)程中,采用減縮法能有效提高求解效率。

圖2 減縮計(jì)算時(shí)間與有限元計(jì)算時(shí)間對(duì)比

為驗(yàn)證該減縮算法的穩(wěn)定性,在參數(shù)域中隨機(jī)選取50組參數(shù)組合:

在10個(gè)基下分別計(jì)算其響應(yīng)。選取圖1中E點(diǎn)作為響應(yīng)觀測(cè)點(diǎn),考慮位移變化較大的y方向和z方向,減縮計(jì)算與有限元計(jì)算結(jié)果相對(duì)誤差分別如圖3和圖4所示。由圖3和圖4可知,所有參數(shù)點(diǎn)兩個(gè)方向的誤差均小于3.5×10-4,說(shuō)明該方法對(duì)參數(shù)空間具有良好的適應(yīng)性,同時(shí)表明通過(guò)拉丁超立方采樣構(gòu)造的減縮空間能較好地保持原系統(tǒng)的物理特性。

圖3 不同參數(shù)組合下E點(diǎn)y方向誤差

圖4 不同參數(shù)組合下E點(diǎn)z方向誤差

減縮計(jì)算誤差與基空間維數(shù)之間的關(guān)系如圖5和圖6所示。同樣選取y方向和z方向進(jìn)行觀測(cè),圖5和圖6表明,最小二乘映射減基法與基于Galerkin映射的傳統(tǒng)減基法相比,兩者的最大減縮誤差具有一致收斂特性,當(dāng)基空間維數(shù)較低時(shí),最小二乘映射減基法的精度略?xún)?yōu)于基于Galerkin映射的減基法,隨著基空間維數(shù)的增加,兩者的減縮誤差都迅速減小并趨于一個(gè)穩(wěn)定值,且之后再增加基向量的個(gè)數(shù)不會(huì)提高減縮精度。

圖5 y方向最大減基誤差與基空間維數(shù)變化情況

圖6 z方向最大減基誤差與基空間維數(shù)變化情況

4 結(jié)論

本文提出了一種基于最小二乘映射的減基法。該方法通過(guò)樣本點(diǎn)求解構(gòu)造減基空間,并將系統(tǒng)特征矩陣及載荷向量向減基空間進(jìn)行最小二乘映射,從而將求解大規(guī)模線性方程組變?yōu)榻庑⌒途€性方程組,與常規(guī)計(jì)算方法相比,節(jié)省了求解資源,有效地提高了計(jì)算效率,同時(shí)具有良好的計(jì)算精度。賽車(chē)車(chē)架的算例表明該方法是有效且可靠的。此外,該方法對(duì)大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的反復(fù)迭代計(jì)算優(yōu)勢(shì)明顯,故可應(yīng)用到工程優(yōu)化設(shè)計(jì)和反問(wèn)題求解領(lǐng)域。

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Efficient Method for Computation of Multi-parameterized Problem Based on Least Square Mapping

Chen Pei Han Xu Jiang Chao Zhang Zheng
State Key Laboratory of A dvanced Design and Manufacturing for Vehicle Body,H unan University,Changsha,410082

A new reduced-basis method based on the least square m apping was suggested to improve the efficiency of solving comp lex and multi-parameterized problems in mechanical engineering.In thismethod,sam pling pointsw ere obtained from the parameter domain,and a reduced-basis space w as constructed by com puting responses of the problem at these points.Then the least square mapping was emp loyed to conduct projection from original space onto the reduced-basis space.A reduced system was obtained and can be solved efficiently.By p ro jecting the reduced so lution back into the original space,an app roximate solution of the original system was obtained efficiently and accurately.Even w ith new variables,the solution can be obtained fastly by solving the reduced system.The numericalexamp le demonstrates that thism ethod is of validity and reliability.

reduced-basis method;least square mapping;m ulti-parameterized problem;Latin hypercube sam pling

TB121

1004—132X(2011)06—0706—04

2010—05—27

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10802028)

(編輯 蘇衛(wèi)國(guó))

陳 沛,男,1985年生。湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院碩士研究生。研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)分析的快速算法。韓 旭,男,1968年生。湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。姜 潮,男,1978年生。湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院副教授。張 正,男,1981年生。湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院博士研究生。