魏延剛

大連交通大學(xué),大連,116028

漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪的邊緣效應(yīng)與齒向修形初探

魏延剛

大連交通大學(xué),大連,116028

利用Pro/E參數(shù)化建模功能和齒輪嚙合原理,實(shí)現(xiàn)了修形變位漸開(kāi)線齒輪精確三維參數(shù)化建模,用有限元方法證明了漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪的邊緣效應(yīng);應(yīng)用嚙合原理和接觸力學(xué)基本概念,借鑒滾子軸承修形技術(shù),結(jié)合齒輪傳動(dòng)的特點(diǎn),對(duì)某齒輪傳動(dòng)進(jìn)行了齒向修形設(shè)計(jì),并用有限元法證實(shí)了齒向修形可有效避免邊緣效應(yīng),大大降低齒輪傳動(dòng)中的最大應(yīng)力。

漸開(kāi)線齒輪;邊緣效應(yīng);齒向修形;有限元分析

0 引言

很早以前就有人研究了接觸問(wèn)題中的邊界應(yīng)力集中問(wèn)題,即所謂的邊緣效應(yīng),如Johnson[1]在其“Contact Mechanics”(《接觸力學(xué)》)一書中介紹了理想模型下剛性壓頭與半平面接觸的邊界應(yīng)力集中問(wèn)題。直母線滾子軸承的滾動(dòng)體與滾道間的邊緣效應(yīng)問(wèn)題在20世紀(jì)30年代就已經(jīng)被滾動(dòng)軸承界廣泛注意,為了克服滾子類軸承的邊緣效應(yīng),多年來(lái)人們做了大量有效的研究工作[2-7]。

漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪傳動(dòng)應(yīng)用廣泛,可以說(shuō)經(jīng)典的漸開(kāi)線齒輪傳動(dòng)研究體系相當(dāng)完善。然而,齒輪傳動(dòng)中的邊緣效應(yīng)迄今為止鮮有人進(jìn)行專門研究。像漸開(kāi)齒輪傳動(dòng)這樣的漸開(kāi)線曲面間的接觸邊緣效應(yīng)問(wèn)題難以用經(jīng)典的力學(xué)方法來(lái)研究,本文用有限元方法對(duì)漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪的邊緣效應(yīng)問(wèn)題進(jìn)行了專門研究,研究了小輪單對(duì)齒嚙合區(qū)內(nèi)界點(diǎn)B、節(jié)點(diǎn)C及大輪單對(duì)齒嚙合區(qū)內(nèi)界點(diǎn)D這3個(gè)特征點(diǎn)嚙合時(shí)的邊界應(yīng)力集中的情況,并針對(duì)邊緣效應(yīng)初步對(duì)所研究的齒輪傳動(dòng)進(jìn)行了齒向修形設(shè)計(jì),通過(guò)齒向修形大大降低了邊界應(yīng)力集中引起的最大接觸應(yīng)力。

1 漸開(kāi)線齒輪嚙合過(guò)程有限元分析和邊緣效應(yīng)

本文首先用Pro/E實(shí)現(xiàn)了變位漸開(kāi)線齒輪精確三維參數(shù)化建模[8],再把模型導(dǎo)入有限元分析軟件中,然后,對(duì)齒輪進(jìn)行三維有限元接觸分析,從而研究邊緣效應(yīng)問(wèn)題。

1.1 漸開(kāi)線外嚙合直齒圓柱齒輪嚙合過(guò)程的接觸狀態(tài)及載荷

圖1 外齒輪副的嚙合情況

圖1所示是一對(duì)重合度大于1的漸開(kāi)線齒輪傳動(dòng)外齒輪副的嚙合情況,N1、N2是兩齒輪基圓的公切線上的兩切點(diǎn),線段 N1 N2便是這對(duì)齒輪的理論嚙合線;A點(diǎn)是齒輪1齒根處與齒輪2齒頂圓上的嚙合點(diǎn),也是這對(duì)輪齒進(jìn)入嚙合的起始點(diǎn);B點(diǎn)是小輪1單對(duì)齒嚙合區(qū)內(nèi)界點(diǎn);C是節(jié)點(diǎn);D點(diǎn)是大輪2單對(duì)齒嚙合區(qū)內(nèi)界點(diǎn);E點(diǎn)是齒輪2齒根處與齒輪1齒頂圓上的嚙合點(diǎn),也是這對(duì)輪齒嚙合的終點(diǎn)或說(shuō)是脫離嚙合的起始點(diǎn);BD是單齒嚙合區(qū);AB、DE是雙齒嚙合區(qū);AE是齒輪傳動(dòng)的實(shí)際嚙合線。在齒輪傳動(dòng)嚙合過(guò)程中輪齒上的載荷理論分布情況如圖2所示,圖中LMNOPQ表示載荷分布。

圖2 輪齒上的載荷沿實(shí)際嚙合線的分布示意圖

1.2 齒輪嚙合過(guò)程有限元分析模型

以某齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中的一對(duì)漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪為例,取主從動(dòng)齒輪的彈性模量E1=E2=E=207GPa,泊松比μ1=μ2=μ=0.3,其齒輪參數(shù)為:主動(dòng)輪齒數(shù)Z1=24,從動(dòng)輪齒數(shù)Z2=50,模數(shù)m=2.8222mm,分度圓壓力角20°,齒頂高系數(shù)1.35,齒頂間隙系數(shù)0.29,大齒輪寬度22mm,小齒輪寬度24mm,主動(dòng)輪上的轉(zhuǎn)矩T=208 340N?mm。有限元模型的合理確定和網(wǎng)格劃分,關(guān)系到有限元分析的計(jì)算精度和計(jì)算效率。利用齒輪嚙合原理和接觸力學(xué)理論,合理確定有限元分析模型,優(yōu)化有限元網(wǎng)格的疏密,在保證計(jì)算精度的同時(shí),提高計(jì)算效率。圖3所示為該齒輪傳動(dòng)的有限元模型,其中,圖3a為這對(duì)齒輪傳動(dòng)的整體模型,圖3b為某瞬時(shí)嚙合時(shí)的網(wǎng)格圖,圖 3c、圖3d、圖 3e分別為 B 、C、D 點(diǎn)嚙合網(wǎng)格圖,為節(jié)省計(jì)算時(shí)間和減少存儲(chǔ)容量,有限元計(jì)算網(wǎng)格在齒寬方向僅取一半。

圖3 齒輪傳動(dòng)有限元分析模型

1.3 齒輪嚙合過(guò)程中的邊緣效應(yīng)

為節(jié)省篇幅,本文僅研究齒輪傳動(dòng)在3個(gè)典型嚙合點(diǎn)(B點(diǎn)、C點(diǎn)和D點(diǎn))嚙合時(shí)的有限元計(jì)算結(jié)果,圖4為齒輪傳動(dòng)在C點(diǎn)嚙合時(shí)的等效應(yīng)力云圖,圖5為齒輪傳動(dòng)在C點(diǎn)嚙合時(shí)的接觸應(yīng)力云圖;由圖4和圖5可以看出,最大接觸應(yīng)力和等效應(yīng)力在齒向邊界存在明顯的應(yīng)力集中。圖6所示為齒輪傳動(dòng)在典型嚙合點(diǎn)嚙合時(shí)最大接觸應(yīng)力沿齒寬方向的變化曲線,坐標(biāo)原點(diǎn)為齒寬中點(diǎn)。由圖6可知,齒輪傳動(dòng)在B點(diǎn)、C點(diǎn)、D點(diǎn)嚙合時(shí),雖然應(yīng)力數(shù)值有較大不同,但都有邊界應(yīng)力集中的現(xiàn)象。

圖4 齒輪傳動(dòng)在C點(diǎn)嚙合時(shí)的等效應(yīng)力云圖

圖5 齒輪傳動(dòng)在C點(diǎn)嚙合時(shí)的接觸應(yīng)力云圖

表1所示為齒輪傳動(dòng)在典型嚙合點(diǎn)嚙合時(shí)的接觸應(yīng)力和等效應(yīng)力的邊界應(yīng)力集中情況,由表1可知,在B點(diǎn)嚙合時(shí)的邊界應(yīng)力數(shù)值最大,在D點(diǎn)嚙合時(shí)的應(yīng)力數(shù)值次之,在C點(diǎn)嚙合時(shí)的應(yīng)力數(shù)值最小;邊界最大接觸應(yīng)力分別是1441MPa、1079MPa和966MPa。應(yīng)力集中情況則是在D點(diǎn)嚙合時(shí)最大,在C點(diǎn)嚙合時(shí)次之,在B點(diǎn)嚙合時(shí)最小;接觸應(yīng)力理論應(yīng)力集中系數(shù)分別為 1.58、1.33和1.27。

圖6 齒輪傳動(dòng)在典型嚙合點(diǎn)嚙合時(shí)的最大接觸應(yīng)力沿齒寬方向的變化曲線

表1 齒輪傳動(dòng)在典型嚙合點(diǎn)嚙合時(shí)的接觸應(yīng)力和等效應(yīng)力的邊界應(yīng)力集中情況

2 針對(duì)齒輪嚙合過(guò)程中的邊緣效應(yīng)的修形設(shè)計(jì)與效果分析

2.1 齒向修形設(shè)計(jì)

針對(duì)上述邊緣效應(yīng),應(yīng)用齒輪嚙合原理和接觸力學(xué)基本概念,充分利用Pro/E的參數(shù)化建模功能,根據(jù)以往研究滾子軸承修形技術(shù)的經(jīng)驗(yàn)[8-12],結(jié)合齒輪傳動(dòng)的特點(diǎn)和載荷大小,初步對(duì)所研究的齒輪傳動(dòng)進(jìn)行了齒向修形設(shè)計(jì),并實(shí)現(xiàn)了修形變位漸開(kāi)線齒輪精確三維參數(shù)化建模[8]。齒向采用圓弧曲線修形,凸度量 C C=0.0025mm,齒輪有效寬度b=11mm,據(jù)此推導(dǎo)的齒向修形設(shè)計(jì)公式為

變位修形漸開(kāi)線齒輪副的精確三維模型如圖7所示。

圖7 修形變位漸開(kāi)線齒輪的三維精確模型

2.2 齒向修形效果分析

圖8為齒輪傳動(dòng)在C點(diǎn)嚙合時(shí)主動(dòng)齒輪的等效應(yīng)力云圖。圖9為齒輪傳動(dòng)在C點(diǎn)嚙合時(shí)的接觸應(yīng)力云圖。由圖8、圖9應(yīng)力云圖可見(jiàn),在齒輪齒向端部邊界處的應(yīng)力集中已經(jīng)不存在,最大應(yīng)力不是出現(xiàn)在齒輪對(duì)齒向接觸的邊界處,而是出現(xiàn)在齒輪對(duì)齒寬中點(diǎn)處。

圖8 齒輪傳動(dòng)在C點(diǎn)嚙合時(shí)的等效應(yīng)力云圖

圖9 齒輪傳動(dòng)在C點(diǎn)嚙合時(shí)的接觸應(yīng)力云圖

圖10所示為齒輪傳動(dòng)修形前后在B點(diǎn)、C點(diǎn)和D點(diǎn)嚙合時(shí)的最大接觸應(yīng)力沿齒向的分布情況,由圖10可以清楚地看到,齒向修形改變了應(yīng)力分布的規(guī)律,有效地避免了邊緣效應(yīng),使修形后發(fā)生在齒寬中點(diǎn)的最大應(yīng)力值小于修形前的邊界應(yīng)力值。另外,從圖10還可以看出,修形效果在不同的嚙合點(diǎn)嚙合時(shí)效果不同。就本文研究的具體齒輪傳動(dòng)而言,修形效果在B點(diǎn)、C點(diǎn)嚙合時(shí)相差不大,而在D點(diǎn)嚙合時(shí)修形效果最佳。

圖10 修形前后齒輪傳動(dòng)最大接觸應(yīng)力沿齒向的變化規(guī)律比較

表2給出了修形后齒輪傳動(dòng)在典型嚙合點(diǎn)嚙合時(shí)邊界和齒寬中點(diǎn)的最大應(yīng)力。修形后與修形前相比,在B點(diǎn)嚙合時(shí)齒寬中點(diǎn)最大接觸應(yīng)力由1136MPa增大到1253MPa,邊界最大接觸應(yīng)力由1441MPa減小到1040MPa;在C點(diǎn)嚙合時(shí)齒寬中點(diǎn)最大接觸應(yīng)力由724MPa增大到850M Pa,邊界最大接觸應(yīng)力由966MPa減小到539MPa;在D點(diǎn)嚙合時(shí)齒寬中點(diǎn)最大接觸應(yīng)力由683MPa增大到756MPa,邊界最大接觸應(yīng)力由1079減小到644MPa。

表2 修形后齒輪傳動(dòng)在典型嚙合點(diǎn)嚙合時(shí)的邊界和齒寬中點(diǎn)最大應(yīng)力

表3所示為修形前后典型嚙合點(diǎn)的最大接觸應(yīng)力和最大等效應(yīng)力比較。

表3 修形前后典型嚙合點(diǎn)的最大接觸應(yīng)力和最大等效應(yīng)力比較

3 結(jié)論

(1)齒寬不相等的直齒圓柱齒輪不可避免地存在類似于滾子軸承的接觸邊緣效應(yīng)。

(2)漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪邊緣效應(yīng)在不同嚙合點(diǎn)嚙合時(shí)引起的邊界應(yīng)力集中程度不同。

(3)齒向修形可以有效地避免邊緣效應(yīng),改善應(yīng)力齒向分布,從而大大減小最大應(yīng)力。

(4)同一齒向修形設(shè)計(jì)對(duì)不同嚙合點(diǎn)所產(chǎn)生的修形效果不同。

(5)本文的研究工作對(duì)于漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪傳動(dòng)的設(shè)計(jì)和制造有指導(dǎo)意義。

[1] Johnson K L.Contact Mechanics[M].Cambridge:Cambridge University Press,1985.

[2] Lundberg G,Palmgren A.Dynamic Capacity o f Rolling Bearings[J].Royal Swedish Academy o f Engineering Sciences,Stockholm,Sweden,1947,1(3):7-12.

[3] Kannel J W,Hartnett M J.Theoretical and Experimental Evaluation o f Edge Stresses under Severe Edge Loads[J].Trans.ASLE,1983,26(1):25-30.

[4] Chiu Y P,Hartnett M J.A Numerical Solution for the Contact Problem Invo lving Bodies with Cy lind rica l Surface Considering Cylinder Effect[J].Tans.ASM E,J.T ribology,1987,109:479-486.

[5] Reusner H.The Logarithm ic Ro ller Profile—the Key to Superior Performance of Cy lindrical and Taper Roller Bearings[J].Ball Bearing Journal,1987,230:2-10.

[6] H anson M T,Keer L M.Mechanics of Edge Effects on Friction less Contacts[J].Int.J.So lids Structures,1995,32(3/4):391-405.

[7] 陳曉陽(yáng),馬家駒.對(duì)數(shù)型滾子凸度量設(shè)計(jì)中的幾個(gè)問(wèn)題[J].軸承,1994,11(11):2-4.

[8] Zhang Xiujuan,Wei Yangang,Liu Yankui,et al.Accurate 3-D Parameterized Modeling and Finite ElementContact Analysis of Involute X-gear Pairs with Tooth Modification[C]//2010 International Conference on Mechanic Automation and Control Engineering.Wuhan,2010:347-350.

[9] 魏延剛,馬文.圓柱滾子軸承滾子凸度量的有限元分析[J].軸承,2004,4(4):1-4.

[10] 魏延剛,王忠敏,曲榮君.修形圓柱滾子軸承滾子凸度量設(shè)計(jì)[J].大連鐵道學(xué)院學(xué)報(bào),2004,9(3):23-25,27.

[11] 魏延剛,魏偉.圓柱滾子軸承滾動(dòng)體新的修形曲線[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造,2003,4(2):81-83.

[12] 魏延剛.圓柱滾子軸承滾動(dòng)體修形技術(shù)的研究[J].潤(rùn)滑與密封,2003,5(2):16-18,22.

Research on Edge Effect and Longitudinal Modification of Involute Spur Cylind rical Gear Pairs

Wei Yangang
Dalian Jiaotong University,Dalian,Liaoning,116028

An accurate 3-D model of crow ning modification involute gear wasmade by combining parameterized m odeling function o f Pro/E w ith gear engagement theory.The edge effect in meshing process of involute spur cy lindricalgear pairwas validated by FED.Using gear engagem ent theory and contact mechanics theory,longitudinal m odification of gear pair was designed combining crowning technology of ro ller bearings w ith the characteristics of gear engagement.Then it is testified by FEA that longitudinal m odification can avoid the edge effect in the meshing process of involute spur cy lindricalgears,somaxim um stresses of gears can be reduced effectively.

invo lute gear;edge effect;longitudinalmodification;FEA

TH 132.46

1004—132X(2011)12—1413—05

2010—08—17

遼寧省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(20082149);大連市產(chǎn)業(yè)技術(shù)創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(2008-1-215-JW-ZDCY)

(編輯 何成根)

魏延剛,男,1961年生。大連交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授。研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)及理論、機(jī)械傳動(dòng)、機(jī)械產(chǎn)品數(shù)字化仿真與優(yōu)化設(shè)計(jì)。獲省級(jí)科學(xué)技術(shù)進(jìn)步二等獎(jiǎng)2項(xiàng);獲發(fā)明專利1項(xiàng)、實(shí)用新型專利3項(xiàng)。發(fā)表論文70余篇。