馮明庫(kù)

(廣東技術(shù)師范學(xué)院電子與信息學(xué)院,廣東廣州510665)

1 引 言

混沌及其應(yīng)用是非線性科學(xué)研究領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn).自然界和人類社會(huì)中的許多混沌現(xiàn)象都可用非線性代數(shù)方程或微分方程來(lái)表示,并可用混沌電路來(lái)加以模擬.由于混沌電路易于構(gòu)造、操作控制和觀察,因而混沌電路的研究不僅在電路系統(tǒng),而且在整個(gè)非線性科學(xué)研究領(lǐng)域都具有深刻的意義.

在已有的混沌電路中,最典型的是美國(guó)Berkeley大學(xué) Leon.O.Chua提出的蔡氏電路[1-4].因其是能產(chǎn)生混沌行為的最小、最簡(jiǎn)、可證明的三階自治電路,而獲得了最為廣泛的研究.電路的混沌特性是由其元件參量確定的,只要元件的參量在可能的范圍內(nèi)取值,系統(tǒng)就可展現(xiàn)出周期現(xiàn)象和混沌現(xiàn)象.在已有的對(duì)原始蔡氏電路混沌現(xiàn)象的研究文獻(xiàn)中[5-7],研究者多是探討電阻阻值或電容容值改變時(shí)分岔現(xiàn)象產(chǎn)生的情形.即便是對(duì)含有模擬電感的蔡氏電路,也是探討原蔡氏電路部分中的電阻電容取值改變時(shí)蔡氏電路系統(tǒng)經(jīng)倍周期分岔走向混沌的過(guò)程[8-9],很少研究組成模擬電感的各元件對(duì)蔡氏電路系統(tǒng)中混沌現(xiàn)象的影響.

本文用模擬電感代替原蔡氏電路中的電感元件,深入討論模擬電感中2個(gè)電阻元件和1個(gè)電容元件參量改變時(shí),系統(tǒng)由倍周期分岔走向混沌的過(guò)程,并與原始蔡氏電路改變電阻元件產(chǎn)生混沌的情形做比較,發(fā)現(xiàn)電路的魯棒性和倍周期過(guò)程豐富性的優(yōu)劣.

2 基于模擬電感的蔡氏電路

原始的蔡氏電路是三階自治非線性電路系統(tǒng),由1個(gè)電感L,2個(gè)電容 C1和 C2,1個(gè)線性電阻 R0以及1個(gè)分段線性電阻 NR所組成,如圖1所示.

圖1 原始蔡氏電路

蔡氏電路的三階微分方程為

式中 u1和 u2分別是電容 C1和電容 C2兩端的電壓,iL為流過(guò)電感L的電流;g(u1)為蔡氏二極管NR的伏安特性函數(shù),g(u1)=Gbu1+0.5(Ga-Gb)(|u1+E|-|u1-E|),其中 E為轉(zhuǎn)折點(diǎn)電壓,Ga和Gb為伏安特性曲線中2段不同折線線段的斜率,蔡氏二極管的伏安特性曲線見(jiàn)文獻(xiàn)[2].

將圖1中的電感L用模擬電感L′(圖2中左虛線框內(nèi)部分)替代,就組成了基于模擬電感的蔡氏電路(圖2).圖中右邊的虛線框部分即為蔡氏二極管NR.

圖2 基于模擬電感的蔡氏電路

利用理想運(yùn)放的“虛短”和“虛斷”的概念,可得出模擬電感的等效阻抗為

為了簡(jiǎn)化計(jì)算,在實(shí)驗(yàn)中,令 R11=R12=1 kΩ,則模擬電感的等效電感L′=RSRPCS.

3 仿真實(shí)驗(yàn)

對(duì)圖1所示的原始蔡氏電路和圖2所示的基于模擬電感的蔡氏電路,采用M ultisim仿真軟件,分別調(diào)節(jié)電阻 R0和模擬電感中的 RS,RP和CS,觀察不同組成的蔡氏電路經(jīng)倍周期分岔走向混沌的過(guò)程,并計(jì)算各自的周期態(tài)時(shí)間和混沌態(tài)時(shí)間占整個(gè)分岔過(guò)程時(shí)間的百分比,比較它們的調(diào)節(jié)范圍大小,給出電路分岔參量的容差數(shù)值.實(shí)驗(yàn)中,運(yùn)算放大器的型號(hào)為 TB032,為了簡(jiǎn)化畫圖,±9 V的電源未畫出.

3.1 原始蔡氏電路

按圖1接線,電感取值18 m H,改變電阻元件 R0的阻值,得到電路經(jīng)倍周期分岔進(jìn)入混沌,乃至極限環(huán)的歷程,見(jiàn)圖3,橫坐標(biāo)為電容 C1上的電壓u1,縱坐標(biāo)為電容 C2上的電壓 u2.當(dāng) R0大于2 108Ω時(shí),電路經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)短時(shí)間振蕩即進(jìn)入平衡點(diǎn)[圖3(a)是 R0=2 180Ω時(shí)的相圖].當(dāng)R0減小到2 018Ω時(shí),電路進(jìn)入穩(wěn)定的一周期狀態(tài)[圖3(b)],繼續(xù)減小阻值至1 978Ω,電路進(jìn)入穩(wěn)定的二周期狀態(tài)[圖3(c)],但再減小阻值,未能見(jiàn)到明顯的四周期態(tài)和八周期態(tài).當(dāng)阻值減小到1 962Ω時(shí),出現(xiàn)多周期狀態(tài).繼續(xù)減小阻值至1 936Ω時(shí),出現(xiàn)單渦卷混沌吸引子[圖3(d)].當(dāng)阻值等于1 933Ω時(shí),電路出現(xiàn)雙渦卷混沌吸引子[圖3(e)].直到阻值為1 547Ω時(shí),電路才開始出現(xiàn)極限環(huán)[圖3(f)].電路的各個(gè)狀態(tài)及其出現(xiàn)時(shí)相應(yīng)的電阻阻值 R0見(jiàn)表1的第2列.

圖3 原始蔡氏電路的倍周期分岔歷程相圖

3.2 基于模擬電感的蔡氏電路

按圖2電路接線,取 R0的電阻值為1 600Ω,改變電阻 RS,RP和電容 CS的任一元件的值,同樣觀察電路經(jīng)倍周期分岔走向混沌的過(guò)程.圖4是改變電阻 RS時(shí)電路的各個(gè)狀態(tài)圖,橫坐標(biāo)為電容C1上的電壓 u1,縱坐標(biāo)為電容 C2上的電壓u2.電路的各個(gè)狀態(tài)及其出現(xiàn)時(shí)相應(yīng)的電阻值RS,RP和電容值 CS見(jiàn)表1的第3～5列.

當(dāng)電阻 RS等于750Ω時(shí),電路開始起振,但隨即進(jìn)入穩(wěn)定的平衡點(diǎn)[圖4(a)].當(dāng)阻值增大至812Ω時(shí),電路進(jìn)入穩(wěn)定的一周期狀態(tài)[圖4(b)];當(dāng)阻值增至1 197Ω時(shí),電路進(jìn)入穩(wěn)定的二周期狀態(tài)[圖4(c)];繼續(xù)增大阻值至1 251Ω時(shí),四周期狀態(tài)[圖4(d)]開始出現(xiàn),當(dāng)阻值為1 258Ω時(shí),八周期狀態(tài)[圖4(e)]出現(xiàn),而四周期和八周期狀態(tài)在圖1所示的原始蔡氏電路很難觀察到.當(dāng)阻值變化到1 270Ω時(shí),電路進(jìn)入混沌態(tài),開始出現(xiàn)單渦卷混沌吸引子[圖4(f)];繼續(xù)增大阻值到1 350Ω,雙渦卷混沌吸引子[圖4(g)]開始出現(xiàn).在阻值增至1 800Ω時(shí),混沌態(tài)結(jié)束,出現(xiàn)極限環(huán)[圖4(h)].

由圖3和圖4可知,基于模擬電感的蔡氏電路的倍周期分岔歷程更加豐富.從表1的數(shù)據(jù)可看出,基于模擬電感的蔡氏電路從倍周期開始至混沌態(tài)結(jié)束,整個(gè)阻值的調(diào)節(jié)范圍為988Ω,而原始蔡氏電路僅為471Ω.基于模擬電感的蔡氏電路的倍周期過(guò)程可調(diào)電阻的調(diào)節(jié)范圍(458Ω)占了整個(gè)分岔過(guò)程的46.4%,遠(yuǎn)大于原始蔡氏電路的17.4%,所以基于模擬電感的蔡氏電路的倍周期分岔過(guò)程更為豐富且易觀察.從單渦卷混沌吸引子到雙渦卷混沌吸引子再到極限環(huán)的整個(gè)混沌態(tài)分岔參量調(diào)節(jié)過(guò)程看,原始蔡氏電路為389Ω,而基于模擬電感的蔡氏電路達(dá)到了530Ω,調(diào)節(jié)范圍更大,魯棒性更強(qiáng).從表1后3列 RS,RP和CS的分岔參量值來(lái)看,RS和 RP各個(gè)狀態(tài)出現(xiàn)時(shí)的數(shù)值相同,三者的容差范圍相同,這從式(2)也可以直接得出同樣的結(jié)論.當(dāng)改變 R0阻值,得到的三元件調(diào)節(jié)時(shí)的容差范圍也是一致的,說(shuō)明調(diào)節(jié) RS,RP和電容值 CS的任何一個(gè)都能起到同樣的效果.

圖4 基于模擬電感的蔡氏電路的倍周期分岔歷程相圖

表1 電路的各個(gè)狀態(tài)對(duì)應(yīng)的分岔參量值及分岔元件的容差范圍

4 硬件電路搭建及測(cè)試實(shí)驗(yàn)

按圖2制成電路板后,固定其他元件值,只改變 RS的阻值,在 TDS 2022B數(shù)字存儲(chǔ)示波器上記錄下電容 C1和電容 C2上的 u1和 u2的相圖,得到基于模擬電感的硬件蔡氏電路由倍周期分岔走向混沌的全過(guò)程,如圖5所示.圖5(a)是當(dāng) RS等于1 000Ω時(shí),電路出現(xiàn)的一周期狀態(tài);當(dāng) RS等于1 200Ω時(shí),出現(xiàn)圖5(b)所示的二周期狀態(tài);圖5(c)是 RS等于1 254Ω時(shí)出現(xiàn)的四周期狀態(tài);調(diào)節(jié) RS等于1 265Ω,電路出現(xiàn)如圖5(d)所示的八周期狀態(tài),由于內(nèi)側(cè)和外側(cè)的4個(gè)周期狀態(tài)不明顯,改變示波器2個(gè)輸入通道的靈敏度選擇開關(guān),放大圖5(d)為圖5(e)和圖5(f).圖5(e)是圖5(d)的右半部分放大圖,而圖5(f)是對(duì)圖5(d)右外側(cè)的4個(gè)周期態(tài)的局部放大.可見(jiàn),圖5(d)中不明顯的周期軌道在圖5(e)和圖5(f)中已清晰可見(jiàn).圖5(g)是 RS等于1 300Ω時(shí)出現(xiàn)的單渦卷吸引子,而圖5(h)是 RS等于1 500Ω時(shí)電路呈現(xiàn)出的雙渦卷吸引子;當(dāng)調(diào)節(jié) RS等于1 900Ω時(shí),硬件電路出現(xiàn)如圖5(i)所示的極限環(huán).比較圖5和表1的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn),硬件電路實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果中 RS的各取值都在表1的各狀態(tài)參量取值范圍內(nèi),硬件電路實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果與仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合.

圖5 基于模擬電感的硬件蔡氏電路的倍周期分岔相圖

5 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了基于模擬電感的蔡氏電路的倍周期分岔過(guò)程.由于原始蔡氏電路的電感元件被由運(yùn)算放大器組成的模擬電感取代,因此硬件電路體積更小,便于集成.同時(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,此電路不但不影響蔡氏電路本身的特性,而且容易起振,更為突出的優(yōu)勢(shì)是分岔參量調(diào)節(jié)范圍更寬,倍周期分岔現(xiàn)象豐富且易觀察.

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