安 迪，高媛媛，姜鳳怡

（1．吉林大學 電子科學與工程學院，吉林 長春130012；2．東北師范大學 物理學院，吉林 長春130024）

1 引 言

混沌控制是混沌領域的熱點課題之一［1－3］．控制混沌的方法有很多，但大體上分為反饋控制和非反饋控制兩大類．反饋控制方法的基本思想是：將系統(tǒng)輸出信號直接或通過某種組合或變換后送給系統(tǒng)本身，利用反饋信號的調(diào)制或控制作用使得系統(tǒng)的運動狀態(tài)從混沌態(tài)轉(zhuǎn)變成周期態(tài)或不動點，如延遲反饋控制法、線性反饋控制法、凹槽濾波反饋控制法等．

越來越多的院校已將混沌理論與實驗引入到大學物理教學中［4－7］．本文基于反饋控制機理，提出利用低通濾波器控制混沌的方法，即將混沌系統(tǒng)的輸出信號經(jīng)過低通濾波后回送給系統(tǒng)，利用低通濾波器的相移特性，適當調(diào)節(jié)電路元件參數(shù)，可達到控制混沌的目的．該方法電路實現(xiàn)簡單，實驗現(xiàn)象豐富，便于在教學中演示．

2 混沌控制電路的設計

本文采用如下混沌系統(tǒng)［8］：

當a1＝0．3，a2＝0．02，a3＝4．0，a4＝1．0時，系統(tǒng)有1個大于零的Lyapunov指數(shù)存在，此時系統(tǒng)是混沌的．

根據(jù)式（1）設計的混沌電路見圖1．集成運放分別構成積分、加法和比例運算電路，乘法器實現(xiàn)非線性函數(shù)的功能，為滿足式（1）中各參量的要求，選取R＝10 kΩ，R1＝33 kΩ，R2＝500 kΩ，R3＝0．25 kΩ，V1＝1 V，C＝22 nF．

由示波器觀測到實驗結(jié)果如圖2所示，圖2（a）反映系統(tǒng)運動軌跡在其相空間投影到u1（橫軸）～u2（縱軸）平面上所呈現(xiàn)的纏繞和折疊的幾何圖形，即混沌吸引子，而圖2（b）則反映系統(tǒng)運動隨時間變化的不規(guī)則性．

實現(xiàn)控制的電路如圖3所示，其中A6和A7構成2級級聯(lián)的低通濾波器，A8構成減法器．選取混沌電路中的變量u1作為濾波器的輸入信號，經(jīng)過低通濾波后從運放A7輸出，得到的輸出信號uO7與u1相減，通過電阻Rw回送給圖1電路中的N點，即將控制信號送入式（1）中的第一個方程的右端，此時控制信號可描述為

圖1 混沌電路

圖2 混沌電路的實驗結(jié)果

圖3 控制電路

3 實驗控制的結(jié)果

實驗中，調(diào)節(jié)電阻Rw由大到小變化，即相當于k由小到大變化，可以觀察到被控混沌電路逐漸由混沌態(tài)變?yōu)?周期（3P）窗口、4周期（4P）、2周期（2P）、1周期（1P）等倍周期現(xiàn)象．圖4（a）～（d）分別為當Rw＝40．2，23．5，20．0，15．5 kΩ時被控電路的實驗結(jié)果，顯然電路分別被控到3P，4P，2P，1P．

圖5（a）和圖5（b）分別為電路被控制到3P和4P時的時域圖，進一步驗證電路被控制到周期的結(jié)果．

圖4 電路被控制到周期的相圖（橫軸為u1，縱軸為u2）

4 結(jié)束語

以三維自治混沌系統(tǒng)為例研究了利用低通濾波器實現(xiàn)混沌控制的方法，適當調(diào)節(jié)電路元件參量，可以有效地將混沌電路控制到不同的周期態(tài)．本文提出的控制方法進一步拓寬了低通濾波器的應用范圍．該方法不僅可以控制自治混沌系統(tǒng)，還可以用于控制更高維的超混沌系統(tǒng)．

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