許冬保

(九江市第一中學(xué) 江西 九江 332000)

1 引言

流量是流體力學(xué)中描述流體運動的重要物理量.《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》、高考《考試大綱》及競賽大綱(即全國中學(xué)生物理競賽內(nèi)容提要)，均未將流量列入知識內(nèi)容.因此，它既非教學(xué)目標(biāo)，也非學(xué)習(xí)內(nèi)容.但是在物理習(xí)題和試題中，往往出現(xiàn)與流量相關(guān)的問題，于是流量便成為一個游離于考綱邊緣的物理量.在習(xí)題教學(xué)中，流量教學(xué)應(yīng)依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和物理學(xué)的特點進(jìn)行設(shè)計.

2 由“電磁流量計”認(rèn)識流量

首先看文獻(xiàn)[1]第四章中的一道習(xí)題.

原題：圖1是電磁流量計的示意圖.圓管由非磁性材料制成，空間有勻強(qiáng)磁場.當(dāng)管中的導(dǎo)電液體流過磁場區(qū)域時，測出管壁上MN兩點間的電動勢E，就可以知道管中液體的流量Q——單位時間內(nèi)流過管道橫截面的液體的體積.已知管的直徑為d，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，試推出Q與E的關(guān)系式.假定管中各處液體的流速相同.

電磁流量計的管道內(nèi)沒有任何阻礙流體流動的結(jié)構(gòu)，所以常用來測量高黏度及強(qiáng)腐蝕性流體的流量.它的優(yōu)點是測量范圍寬、反應(yīng)快、易與其他自動裝置配套.

2.1 分析

當(dāng)導(dǎo)電液體流過管道時，液體中的正、負(fù)離子由于受到洛倫茲力作用，分別向管道兩側(cè)壁遷移，于是產(chǎn)生動生電動勢E.電荷的積累形成附加電場，該電場阻礙離子的定向遷移，當(dāng)洛倫茲力和附加電場力大小相等時，達(dá)到動態(tài)平衡.于是有

由流量的定義，有

Q=Sv

圓管截面積S與直徑d的關(guān)系為

聯(lián)立解得

說明：原題中的流量用字母q表示，考慮到它與表示電荷量的符號q相同及流體力學(xué)中表示流量的通用符號Q的一致性，將字母q改為字母Q.

2.2 探究

上述分析自然、流暢，進(jìn)一步提出下面兩個探究性的問題.

(1)流量在國際單位制中是什么單位？

(2)流量的物理意義是什么？

2.3 總結(jié)

師生共同完成，通過該題的分析，認(rèn)識了什么是流量(準(zhǔn)確的說是體積流量).

(1)從定義式知道流量在國際單位制中的單位是m3·s-1.

(2)對于同一管道中的任意兩個截面，單位時間內(nèi)流進(jìn)某一截面的液體的體積(或質(zhì)量)等于從另一個截面流出的液體的體積(或質(zhì)量).即液體在管道中穩(wěn)定流動時質(zhì)量守恒.這就是流量的物理意義.

3 流體力學(xué)中的流量

首先介紹兩個概念：流線和流管.

物理學(xué)中常把某個物理量的時空分布叫做場，流體內(nèi)各點流速分布可以看成速度場.描述場的幾何方法是引入所謂的場線，就像靜電場中引入電場線一樣.在流速場中，將流體內(nèi)的一條連續(xù)的有向曲線定義為流線.流線上每一點的切線方向代表流體內(nèi)微粒經(jīng)過該點時的速度方向.在穩(wěn)定流動中，流線不隨時間變化，此時流線表示流體中微粒運動的軌道(即行跡).在流體內(nèi)作一微小的閉合曲線，通過其上各點的流線所圍成的細(xì)管叫做流管.由于流線永遠(yuǎn)不會相交，因此流管內(nèi)、外的流體都不具有穿過流管的速度，也就是說流管內(nèi)部的流體不能流到流管外部，流管外部的流體也不能流入流管內(nèi)[2].

為了定量描述流體的運動，流體力學(xué)中引入了流量的概念.單位時間通過流管截面的流體質(zhì)量叫做質(zhì)量流量.單位時間通過流管截面的體積叫做體積流量.質(zhì)量流量及體積流量又泛稱為流量[3].

如圖2所示，表示流管的兩個截面S1，S2，流體經(jīng)過兩個截面的速度分別為v1，v2.對于理想流體(沒有黏性且不可壓縮)的定常流動(穩(wěn)定流動)，則有

S1v1=S2v2

該式稱為定常流體的連續(xù)性方程.

圖2 流速和流管截面的關(guān)系

上述方程表明：流管入口端的流量等于出口端的流量，流管周壁的流量為零，一流管的擴(kuò)張?zhí)幜魉傩?，收縮處流速大，以保持流量為一常量.流量符號一般用Q表示，即

式中流體密度為ρ，通過截面ΔS的速度為v，在Δt時間內(nèi)流體通過截面的質(zhì)量為Δm.

在應(yīng)用中，研究的往往是理想流體的定常流動，流管便為理想化模型，與該模型相伴隨的一個物理量就是流量.

上述內(nèi)容是否補(bǔ)充，應(yīng)視學(xué)生實際情況而定.

4 流量在解題中的應(yīng)用

認(rèn)識流量，理解流量的意義，并不意味著學(xué)生就會應(yīng)用流量分析問題，必須通過習(xí)題教學(xué)來完成.

4.1 流管中的流量分析

【例1】如圖3所示為不可壓縮流體在截面面積變化的管道中流動的示意圖.在S1面以速度v1向前運動，在S2面以速度v2向前運動，若S1

A.v1>v2B.v1

C.v1=v2D.以上均有可能

圖3 流管中流量分布

分析：由于流體不可壓縮，因此在截面面積變化的管道中流量Q=Sv保持不變，即S1v1=S2v2.已知S1v2.選項A正確.

點評：不可壓縮的流體即流體密度不隨空間、時間發(fā)生變化.管道確定時，流體的運動是定常流動，S1v1=S2v2，即為流體的連續(xù)性方程.

4.2 氣體中的流量分析

【例2】(2006年高考廣東理綜試題)風(fēng)力發(fā)電是一種環(huán)保的電能獲取方式.設(shè)計每臺風(fēng)力發(fā)電機(jī)的功率為40.0 kW.實驗測得風(fēng)的動能轉(zhuǎn)化為電能的效率約為20%，空氣的密度是1.29 kg/m3，當(dāng)?shù)厮斤L(fēng)速約為10.0 m/s.問風(fēng)力發(fā)電機(jī)的葉片長度約為多少才能滿足設(shè)計要求？

圖4 長為vΔt的流管

分析：設(shè)風(fēng)力發(fā)電機(jī)的葉片長度為l，如圖4所示，在Δt時間內(nèi)作用于葉片的空氣質(zhì)量Δm；Δm即以發(fā)電機(jī)的葉片為半徑的圓面積S和以vΔt為長度的體積內(nèi)的空氣質(zhì)量

Δm=ρV=ρπl(wèi)2vΔt

風(fēng)的動能為

由能量轉(zhuǎn)化及守恒定律知，發(fā)電機(jī)的功率

聯(lián)立解得

代入已知數(shù)值，得

l≈10.0 m

點評：風(fēng)是空氣的流動形成的，大量空氣微粒的定向運動使發(fā)電機(jī)葉片轉(zhuǎn)動以帶動發(fā)電機(jī)發(fā)電.在這一過程中，將“風(fēng)”視為理想流體，微粒的運動視為定常流動，建立流管模型.表達(dá)式

Δm=ρπl(wèi)2vΔt

即

表示質(zhì)量流量保持不變.

繼續(xù)探究的問題：假設(shè)某一固定豎直平面的面積和以發(fā)電機(jī)的葉片為半徑的圓面積相等，從豎直平面返回的空氣不影響后面的風(fēng)吹向該平面，并設(shè)想豎直平面是完全彈性面.試求豎直平面受到風(fēng)作用的平均壓強(qiáng).

師生共同分析：由動量定理，有

4.3 液體中的流量分析

【例3】在風(fēng)景旖麗的公園，往往都有噴泉以增加觀賞性.一噴泉的豎直水柱高達(dá)h.已知水的密度為ρ，噴泉出水口的面積為S，則空中水的質(zhì)量為

A.ρhSB.2ρhS

C.3ρhSD.4ρhS

分析：如圖5所示，噴泉出水口噴出的水做豎直上拋運動，空中水的質(zhì)量取決于空中水的體積，如何計算這一體積，成為問題的難點.如果從流量的角度思考，則柳暗花明.

圖5 水流的長拋運動

假定從出口處流出的水的速度v0相同，空中水的體積等于從噴泉出水口在一段時間內(nèi)噴出的水的體積，這段時間就是水作上拋運動的總時間t，即

噴嘴噴出的水其體積流量

Q=Sv0

空中水的體積

V=Qt

空中水的質(zhì)量

m=ρV

水柱高達(dá)h與速度v0的關(guān)系為

聯(lián)立解得

m=4ρhS

因此選項D正確.

點評：解決本題的思路在于研究對象的轉(zhuǎn)換，即空中水的體積轉(zhuǎn)換為噴嘴在一段時間內(nèi)噴出的水的體積，這一段時間即為上拋運動的時間.理解流量的意義則成為求解的關(guān)鍵.

2004年全國理綜卷Ⅱ上有一道類似的試題：

一水平放置的水管，距地面高h(yuǎn)=1.8 m，管內(nèi)橫截面積S=2.0 cm2.有水從管口處以不變的速度v=2.0 m/s源源不斷地沿水平方向射出，設(shè)出口處橫截面上各處水的速度都相同，并假設(shè)水流在空中不散開.取重力加速度g=10 m/s2，不計空氣阻力.求水流穩(wěn)定后在空中有多少立方米的水?

該題可作為學(xué)生課外練習(xí)題(分析方法同上，解略).

4.4 電流中的流量分析

【例4】有一段通電導(dǎo)線，橫截面積為S，導(dǎo)線每單位體積中含有的自由電荷數(shù)為n，每個自由電荷的電荷量為q，定向移動的平均速率為v.試導(dǎo)出導(dǎo)線中電流的微觀表達(dá)式.

圖6 一段導(dǎo)線中的流管

分析：大量自由電荷的定向運動形成電流，自由電荷的定向運動可視為流體的運動，在Δt時間內(nèi)自由電荷運動的位移大小為vΔt，如圖6所示.在通電導(dǎo)線中取微小的一段，對應(yīng)流管的長度vΔt，體積流量為Q=Sv，則流經(jīng)某一截面的電荷量表示為

Δq=qnQΔt

由電流的定義式，有

聯(lián)立解得

I=nqQ

即

I=nqSv

點評：本題的推導(dǎo)過程可以不用流量表達(dá)式；但是建立流管模型，用流量來分析問題比較自然.流體力學(xué)中的流管及流量，遷移到電學(xué)中，這有利于學(xué)生解題能力的提高.實際上電磁學(xué)中引入了“電流管”[4]，含義與流體力學(xué)中的流管類似.

4.5 復(fù)雜問題中的流量分析

圖7 出口與噴氣口間的流管

分析：于火箭燃燒室出口處與噴氣口間的流管如圖7所示，設(shè)經(jīng)過極短時間Δt，有質(zhì)量為Δm的氣體從噴氣口噴出，并假設(shè)流經(jīng)截面S1的體積和流經(jīng)截面S2的體積分別為ΔV1，ΔV2，兩處氣體密度分別為ρ1，ρ2，流速分別為v1，v2.氣流定常流動時，流管內(nèi)的氣體質(zhì)量與能量不變.

由理想氣體的狀態(tài)方程和絕熱過程方程，有

(1)

(2)

聯(lián)立(1)、(2)式解得，噴氣口處氣體的溫度

(3)

流經(jīng)截面S1的質(zhì)量流量和流經(jīng)截面S2的質(zhì)量流量相等，即

ρ1S1v1=ρ2S2v2

(4)

或ρ1ΔV1=ρ2ΔV2

(5)

由(2)、(3)、(4)、(5)式解得

(6)

因為S2?S1，p2?p1，所以v1?v2.

整個體系經(jīng)Δt時間的總能量(包括宏觀流動機(jī)械能與微觀熱運動內(nèi)能)增量為ΔE.忽略重力勢能變化，對理想氣體并考慮到v1?v2，有

(7)

體系移動過程中，外界做的總功為

W=p1ΔV1-p2ΔV2

(8)

根據(jù)能量守恒定律，絕熱過程滿足

ΔE=W

(9)

聯(lián)立(7)、(8)、(9)式并利用(1)、(3)式，解得氣體的噴射速率

點評：本題描述的是理想氣體(理想流體)的定常流動.綜合應(yīng)用熱力學(xué)中的狀態(tài)方程及熱力學(xué)第一定律求解，原參考解答未提及流量概念，但實際上應(yīng)用流量來處理問題.文字說明多，給學(xué)生理解帶來困惑.

5 結(jié)語

有關(guān)流量分析的實例還很多，限于篇幅僅舉以上幾例.流體是連續(xù)體，理想流體的定常流動遵循質(zhì)量守恒定律.流體在流動中對物體的持續(xù)作用，產(chǎn)生的宏觀效果是壓強(qiáng)，或者是力.在習(xí)題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用流量分析流體問題，讓學(xué)生領(lǐng)悟流量在解題中的價值，有利于提高學(xué)生分析問題及解決問題的能力.

參考文獻(xiàn)

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4 胡友秋，程福臻，葉邦角.電磁學(xué)與電動力學(xué)(上冊).北京：科學(xué)出版社，2008.90

5 全國中學(xué)生物理競賽委員會辦公室.全國中學(xué)生物理2010競賽專輯.北京：北京大學(xué)出版社，2010.48～52