李文忠，江遠(yuǎn)鵬，段 宇，常會(huì)江，吳曉慧

（中海石油（中國(guó)）有限公司天津分公司，天津 300452）

油藏動(dòng)態(tài)分析是油氣田開(kāi)發(fā)的重要工作，經(jīng)典的動(dòng)態(tài)分析方法主要有童氏圖版法、水驅(qū)特征曲線法、油藏?cái)?shù)值模擬等方法[1-3]。通過(guò)對(duì)比實(shí)際生產(chǎn)資料與理論計(jì)算結(jié)果的關(guān)系，判斷油田開(kāi)發(fā)生產(chǎn)形勢(shì)和確定最終采收率。但是經(jīng)典方法側(cè)重油田整體研究，對(duì)井組級(jí)別的研究不夠靈活。

流管法具有模型相對(duì)簡(jiǎn)單，計(jì)算速度快，參數(shù)調(diào)整靈活等特點(diǎn)。它豐富了油藏?cái)?shù)值模擬的思路和方法，提供了形象、快速解決油田開(kāi)發(fā)問(wèn)題的途徑[4]。MUSKAT等[5]于1934 年首次提出流管法的概念，但最早的模擬研究模型較簡(jiǎn)單，主要是針對(duì)均質(zhì)地層、單相流體的滲流模擬。1962 年HIGGINS 等[6]選擇采用實(shí)驗(yàn)方法獲得流管的油水兩相分布，Buckley-Leverett 等則從理論上推導(dǎo)了一維兩相水驅(qū)油規(guī)律。從物模和數(shù)模兩方面將流管法發(fā)展至兩相。隨后Martin、Batycky、Kulkani 等多名學(xué)者和軟件公司將流管法推廣至三維空間，并用來(lái)模擬化學(xué)驅(qū)等采油技術(shù)。但這些方法大都是基于軟件平臺(tái)和數(shù)值方法。計(jì)算過(guò)程相對(duì)比較復(fù)雜，而且不夠透明和靈活。

考慮到各方法的特點(diǎn)和不足，本文提出了基于流管法的水平井組開(kāi)發(fā)指標(biāo)預(yù)測(cè)模型。該模型基于水平井組流線分布的規(guī)律，通過(guò)流管滲透率、流管體積和流管長(zhǎng)度描述了井間非均質(zhì)性、井控儲(chǔ)量、井距等關(guān)鍵參數(shù)?；贐uckley-Leverett 水驅(qū)油理論，對(duì)模型進(jìn)行了求解，將動(dòng)態(tài)研究推進(jìn)至井組級(jí)別[7－9]。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 模型假設(shè)

假設(shè)水平井具有無(wú)限導(dǎo)流能力，根據(jù)水平井勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)，繪制水平井間的壓力和流線分布見(jiàn)圖1、圖2，可以看出水平注采井間大部分流線近似呈直線狀。假設(shè)水平井組從注水井到生產(chǎn)井間是由許多流管連接的，不同流管具有不同的滲透率、儲(chǔ)量和長(zhǎng)度。如果已知每根流管的注入量，那么根據(jù)Buckley-Leverett水驅(qū)油理論，則可以計(jì)算出這根流管的飽和度分布，進(jìn)而計(jì)算出口端含水飽和度、含水率、產(chǎn)油量、產(chǎn)水量等指標(biāo)。由于實(shí)際井組開(kāi)發(fā)狀況較復(fù)雜，為了強(qiáng)化關(guān)鍵參數(shù)，并簡(jiǎn)化模型，對(duì)模型作如下假設(shè)。

圖1 水平井組勢(shì)能分布示意圖

圖2 水平井組等勢(shì)面和流線分布示意圖

（1）假設(shè)井組開(kāi)發(fā)處于泡點(diǎn)壓力以上，僅有油水兩相流動(dòng)；

（2）井組保持注采平衡，注入與產(chǎn)出的流體體積相同；

（3）假設(shè)水平井段具有無(wú)限導(dǎo)流能力，忽略壓力在水平井井筒內(nèi)的變化；

（4）注采井之間的多根流管彼此之間無(wú)竄流。

1.2 單流管求解

根據(jù)Buckley-Leverett 水驅(qū)油理論，一維兩相水驅(qū)油過(guò)程中，如果已知注入端的注水量，油、水的黏度，兩相滲透率曲線，便可求出在任意截面的含水率、含水飽和度、水驅(qū)前緣的位置及含水飽和度。相關(guān)的公式如下：

（1）任意截面的含水率表達(dá)式：

式中：fw－含水率，%；Qw－產(chǎn)水量，m3；Q－產(chǎn)液量，m3；Kw－水相滲透率；μw－水的黏度，mPa·s；Ko－油相滲透率；μo－油的黏度，mPa·s；A－流管的橫截面積，m2；P－壓力，MPa。

（2）等飽和度面移動(dòng)方程：

（3）水驅(qū)前緣含水飽和度：

公式（3）是一個(gè)含有Swf的隱函數(shù)。根據(jù)Buckley-Leverett 水驅(qū)油理論，Swf可以通過(guò)圖解法確定（圖3）。

圖3 水驅(qū)前緣含水飽和度Swf的確定方法圖

（4）水驅(qū)前緣位置的確定：求得水驅(qū)前緣含水飽和度Swf以后，再在關(guān)系曲線上求出，然后根據(jù)公式（2）即可求出水驅(qū)前緣所到達(dá)的位置。

（5）單流管計(jì)算過(guò)程及結(jié)果：首先，圖解法求取水驅(qū)前緣含水飽和度函數(shù)，根據(jù)油田的相對(duì)滲透率數(shù)據(jù)和黏度數(shù)據(jù)，繪制fw-Sw曲線。過(guò)Swc點(diǎn)，對(duì)fw曲線作切線，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為Swf。

其次，擬合fw-Sw曲線，保證擬合曲線光滑可導(dǎo)。根據(jù)總注入量和等飽和度面移動(dòng)方程，可以求出任意位置x 處的，進(jìn)而求出任意位置處的含水飽和度。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖4。

圖4 單流管任意位置處含水飽和度分布

1.3 水平井組轉(zhuǎn)化為多流管模型的方法

井筒無(wú)限導(dǎo)流能力的一注一采水平井組，其井間勢(shì)能分布和流線分布見(jiàn)圖1。在井組間流線可以近似認(rèn)為是許多條長(zhǎng)度相等，注入端和出口端壓力分別相同的流管。由于儲(chǔ)層非均質(zhì)性的影響，不同流管具有不同的滲透率和儲(chǔ)量。為了將實(shí)際的井組轉(zhuǎn)化為流管模型（圖5），需要解決四個(gè)問(wèn)題：

圖5 實(shí)際井組轉(zhuǎn)化為多流管模型示意圖

（1）統(tǒng)計(jì)油田的滲透率分布，建立流管模型的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

（2）將實(shí)際油田或井組的儲(chǔ)量劈分到每一根流管上；

（3）計(jì)算每個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)，每根流管的滲流阻力；

（4）計(jì)算每個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)，每根流管的吸水量，進(jìn)而根據(jù)Buckley-Leverett 水驅(qū)油理論，求取每根流管的含水飽和度分布和產(chǎn)水產(chǎn)油量，匯總后可得到井組的開(kāi)發(fā)指標(biāo)。

1.3.1 多流管滲透率的確定 根據(jù)BZ 油田的滲透率分布特征，結(jié)合數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論，綜合分析認(rèn)為威布爾分布能較為準(zhǔn)確地描述油藏滲透率的非均質(zhì)性[10－11]。

威布爾分布的概率密度函數(shù)為：

式中：f 為威布爾分布概率密度函數(shù)；δ≥0 為位置參數(shù)；α＞1 為形狀參數(shù)；β＞1 為尺度參數(shù)。威布爾分布的累計(jì)概率密度函數(shù)為：

根據(jù)公式（4）和公式（5），擬合BZ 油田的滲透率分布見(jiàn)圖6、圖7。

圖6 BZ 油田滲透率累計(jì)概率分布擬合

圖7 BZ 油田滲透率概率密度曲線

1.3.2 多流管儲(chǔ)量的劈分 滲透率的分布確定之后，便可確定每根流管對(duì)應(yīng)滲透率的概率密度。但不能僅僅通過(guò)滲透率的概率密度進(jìn)行儲(chǔ)量的劈分。因?yàn)闈B透率的分布只能決定滲透率空間范圍的參數(shù)，要把井控儲(chǔ)量劈分到對(duì)應(yīng)滲透率的流管上，還需要考慮孔隙度的影響。

對(duì)于砂巖油藏，孔隙度和滲透率呈現(xiàn)良好的線性關(guān)系。統(tǒng)計(jì)了BZ 油田孔隙度和滲透率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并進(jìn)行了回歸，見(jiàn)圖8。

圖8 BZ 油田孔隙度和滲透率關(guān)系擬合

對(duì)于水平井組，假設(shè)多流管長(zhǎng)度是相同的，因此，對(duì)儲(chǔ)量的劈分等效于求取具有同一滲透率的流管橫截面積。

式中：N-地質(zhì)含量；L-流管長(zhǎng)度；V-總孔隙體積；f（ki）-滲透率為ki的流管對(duì)應(yīng)的累計(jì)概率密度；Φ（ki）-滲透率為ki的流管對(duì)應(yīng)的孔隙度。

根據(jù)公式（7）即可求出每根流管對(duì)應(yīng)的橫截面積。橫截面積大小與對(duì)應(yīng)滲透率的流管儲(chǔ)量成正比。

1.3.3 單流管的滲流阻力 對(duì)于每根流管，井組間壓差可近似認(rèn)為相同，流管的注入量取決于其滲流阻力。由于在流管不同的位置處，含水飽和度的值不相同，因此，要根據(jù)含水飽和度的分布計(jì)算流管滲流阻力。對(duì)單流管不同的微元進(jìn)行分析，見(jiàn)圖9。

圖9 單流管滲流阻力分析圖

根據(jù)物質(zhì)平衡原理和達(dá)西公式，流經(jīng)每個(gè)微元的流量是相同的。即：

對(duì)于第一、二個(gè)微元，通過(guò)達(dá)西公式分析得：

同理，對(duì)第一、二和三、四個(gè)微元有：

綜合以上推導(dǎo)的公式，從第一個(gè)到第n 個(gè)微元的總阻力，也就是這一根流管的阻力為式（13）。

1.3.4 多流管的吸水量 根據(jù)達(dá)西公式：

可知，每根流管的吸水量和其滲流阻力成反比?？偟臐B流阻力為：

每根流管的吸水量為：

2 模型求解

根據(jù)Buckley-Leverett 水驅(qū)油理論，針對(duì)單流管，根據(jù)注入量可以計(jì)算出流管飽和度的分布，進(jìn)而計(jì)算出口端的含水飽和度和產(chǎn)水量?？紤]了非均質(zhì)性的多流管求解時(shí)，由于各流管的飽和度在不斷變化，導(dǎo)致滲流阻力也在不斷變化，因此，需要根據(jù)阻力劈分各流管的注入量（圖10）。

圖10 多流管模型求解步驟

對(duì)多流管模型進(jìn)行了編程計(jì)算。應(yīng)用BZ 油田的流體資料，根據(jù)威布爾分布對(duì)油田滲透率非均質(zhì)性的描述，選用300 根流管，滲透率間隔選用20 mD，流管長(zhǎng)度為300 m，每年注入速度為5%。模擬結(jié)果見(jiàn)圖11。

圖11 多流管驅(qū)替含油飽和度分布

圖11 中，左端為注入端，右端為產(chǎn)出端，橫向代表流管的滲流方向，顏色代表含油飽和度?？梢钥闯?，由于滲透率的非均質(zhì)性，高滲條帶含水率推進(jìn)速度比較快，對(duì)應(yīng)的吸水量也更多。

3 應(yīng)用成果

采用均質(zhì)模型，分別用流管法、FRONTSIM 流線模擬器和E100 黑油模擬器模擬了水平井組一注一采的情況，三個(gè)模型物質(zhì)基礎(chǔ)一致。計(jì)算結(jié)果表明三種方法曲線整體基本一致，物產(chǎn)相對(duì)誤差小于5%，證明流管法計(jì)算結(jié)果具有良好的精度（圖12）。

圖12 三種方法含水率計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖

診斷井組開(kāi)發(fā)效果常用的曲線為采出程度和含水率的關(guān)系曲線（圖13）。根據(jù)井組的儲(chǔ)量、有效厚度、水平段長(zhǎng)度、流體特點(diǎn)，借用油田的非均質(zhì)性資料，對(duì)BZ油田1167 砂體A35H 和A42H 井組的采出程度和含水率的關(guān)系曲線進(jìn)行預(yù)測(cè)，并與實(shí)際生產(chǎn)情況進(jìn)行對(duì)比[12－13]。

圖13 A35H、A42H 井組采出程度和含水率曲線

A35H 井組開(kāi)發(fā)效果比較好，和理論曲線基本重合，證明流管法理論的正確性。A42H 井組與理論曲線有一定偏離，開(kāi)發(fā)效果偏差，這說(shuō)明井組可能存在高滲通道。為了驗(yàn)證判斷，對(duì)比A42H 井組的示蹤劑檢測(cè)結(jié)果。

A42H 井組于5 月26 日注入示蹤劑，該井組于7月5 日見(jiàn)示蹤劑，見(jiàn)劑時(shí)間為40 d 左右。該井組見(jiàn)劑截至8 月13 日，整個(gè)峰值持續(xù)39 d，說(shuō)明A42H 井組存在高滲通道，證明了流管法的判斷。

4 結(jié)論

（1）從流管法的基本理論出發(fā)，通過(guò)編程求解了單流管的模型。

（2）通過(guò)威布爾分布對(duì)油藏滲透率的非均質(zhì)性進(jìn)行了描述，提出了實(shí)際井組與多流管模型的轉(zhuǎn)化方法。使用編程求解了多流管模型。方便快捷的半解析模型對(duì)井組本來(lái)的開(kāi)發(fā)規(guī)律進(jìn)行了比較精確的理論描述。

（3）利用多流管模型對(duì)BZ 油田的A35H 和A42H兩個(gè)井組進(jìn)行了開(kāi)發(fā)效果評(píng)價(jià)，A35H 井組和多流管模型計(jì)算結(jié)果十分吻合，證明了計(jì)算模型的正確性；模型計(jì)算結(jié)果表明A42H 井組可能存在高滲通道，該結(jié)果與示蹤劑檢測(cè)結(jié)果相一致。