唐進(jìn)元,陳海鋒
(中南大學(xué) 現(xiàn)代復(fù)雜裝備設(shè)計(jì)與極端制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室;中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,長(zhǎng)沙 410083)
含持續(xù)預(yù)載的旋轉(zhuǎn)彈簧振動(dòng)系統(tǒng)鍵合圖建模與仿真
唐進(jìn)元,陳海鋒
(中南大學(xué) 現(xiàn)代復(fù)雜裝備設(shè)計(jì)與極端制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室;中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,長(zhǎng)沙 410083)
針對(duì)鍵合圖難以表達(dá)的彈簧初始載荷的添加和保持問(wèn)題,以含持續(xù)預(yù)載的旋轉(zhuǎn)彈簧振動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象,用兩個(gè)容性元件描述含持續(xù)預(yù)載的彈簧,根據(jù)振動(dòng)系統(tǒng)的拉格朗日方程,建立整個(gè)系統(tǒng)的鍵合圖模型,采用20-sim仿真軟件對(duì)含有持續(xù)預(yù)載和不含持續(xù)預(yù)載的模型分別進(jìn)行仿真,研究其對(duì)質(zhì)量塊振動(dòng)特性的影響,為驗(yàn)證鍵合圖模型的正確性,運(yùn)用ADAMS軟件對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真,兩種軟件仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證含持續(xù)預(yù)載的旋轉(zhuǎn)彈簧振動(dòng)系統(tǒng)鍵合圖模型的正確性。
持續(xù)預(yù)載;彈簧;鍵合圖理論;動(dòng)力學(xué)仿真;20-sim
鍵合圖是研究振動(dòng)系統(tǒng)的有效工具,采用圖形化建模,物理意義直觀,振動(dòng)系統(tǒng)中的質(zhì)量塊、彈簧以及阻尼、無(wú)論具有線性還是非線性特性,都可以用鍵合圖中的慣性、容性和阻性元件予以相應(yīng)的描述[1]。與傳統(tǒng)的振動(dòng)微分方程相比,鍵合圖方法可以方便、靈活的建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程和傳遞函數(shù),能在復(fù)域、時(shí)域中進(jìn)行動(dòng)態(tài)特性的數(shù)字仿真,也可以進(jìn)行靜力學(xué)特性的數(shù)字仿真,不需要采用微分方程的轉(zhuǎn)換和降階處理[2]。與ADAMS等動(dòng)力學(xué)仿真方法相比,鍵合圖方法不需要建立系統(tǒng)的虛擬樣機(jī)模型,尤其對(duì)于復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng),鍵合圖方法采用模塊化建模方式,可以將復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)分解為多個(gè)簡(jiǎn)單的子系統(tǒng),分別進(jìn)行建模,另外鍵合圖特有的多能域系統(tǒng)統(tǒng)一建模的能力可以使振動(dòng)模型和其它諸如機(jī)械、電子及控制部分很方便地連接起來(lái)形成全系統(tǒng)模型。但是,鍵合圖中的容性元件只能對(duì)彈簧的剛度進(jìn)行描述[3-4],而對(duì)含有持續(xù)預(yù)載的彈簧目前還沒有研究,含有持續(xù)預(yù)載的彈簧其主要特征在于,彈簧的初始載荷只有在特定條件下才開始改變,該類彈簧可作為速度感應(yīng)器[5],用于測(cè)試系統(tǒng)是否超速,運(yùn)用鍵合圖方法建立其模型的難點(diǎn)在于初始載荷的添加和保持。因彈簧具有儲(chǔ)存能量的特性,廣泛應(yīng)用于機(jī)械和電子行業(yè)中,是振動(dòng)系統(tǒng)中最常用的元件之一,因此,對(duì)含有持續(xù)預(yù)載的彈簧鍵合圖建模研究對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)具有重要的理論意義和工程價(jià)值。
本文以旋轉(zhuǎn)的彈簧振動(dòng)系統(tǒng)為載體,研究含持續(xù)預(yù)載的彈簧振動(dòng)系統(tǒng)鍵合圖建模方法,以拉格朗日方法建立旋轉(zhuǎn)的彈簧振動(dòng)系統(tǒng)的微分方程,結(jié)合振動(dòng)系統(tǒng)的原理圖和彈簧的建模方法,建立系統(tǒng)的鍵合圖模型,并基于20-sim對(duì)模型進(jìn)行仿真,研究彈簧的持續(xù)預(yù)載對(duì)質(zhì)量塊振動(dòng)特性的影響,并與ADAMS的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證鍵合圖模型的正確性。
圖1為旋轉(zhuǎn)的彈簧振動(dòng)系統(tǒng)示意圖,質(zhì)量塊通過(guò)彈簧和阻尼器連接在圓盤中心O上(圓盤只畫出1/4),并用滑軌限制質(zhì)量塊只能沿圓盤直徑方向滑動(dòng),圓盤繞中心O以角速度ω沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),在角速度較小時(shí),彈簧保持初始載荷不變,即持續(xù)預(yù)載,質(zhì)量塊保持靜止,當(dāng)角速度增大到一定后,離心力與質(zhì)量塊在法向的分力之和大于彈簧初始載荷,使質(zhì)量塊開始運(yùn)動(dòng),彈簧力與變形符合胡克定律。設(shè)彈簧的剛度系數(shù)為k,阻尼系數(shù)為μ,質(zhì)量塊質(zhì)心至圓盤中心的距離r,質(zhì)量塊的重量為m,圓盤的質(zhì)量為M,圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I,彈簧的初始長(zhǎng)度為l,質(zhì)量塊在法線方向的速度為vr,切線方向的速度為 vθ。
圖1 旋轉(zhuǎn)的彈簧振動(dòng)系統(tǒng)Fig.1 Rotating vibration system of spring
振動(dòng)系統(tǒng)的自由度為2,選取擺角θ和質(zhì)量塊到圓盤中心的距離r為廣義坐標(biāo),系統(tǒng)的動(dòng)能為:
將主動(dòng)力為有勢(shì)力和廣義耗散力的拉格朗日方程寫成如下形式[6]:
把方程(1)~(3)代入方程(4)可得到兩個(gè)微分方程:
根據(jù)圖1所示的旋轉(zhuǎn)的振動(dòng)系統(tǒng)示意圖及方程(5)-(7)可建立系統(tǒng)的鍵合圖模型,但是當(dāng)彈簧含有持續(xù)預(yù)載時(shí),很難直接采用容性元件描述彈簧,因此,在建立系統(tǒng)的鍵合圖模型之前,首先對(duì)含持續(xù)預(yù)載的彈簧進(jìn)行研究,建立彈簧的鍵合圖模型。
1.2.1 含持續(xù)預(yù)載的彈簧建模方法
在有預(yù)載時(shí),設(shè)彈簧的剛度系數(shù)為k,預(yù)載長(zhǎng)度為Δx,當(dāng) Δx為正時(shí),表示彈簧受壓,當(dāng) Δx為負(fù)時(shí),表示彈簧受拉,則在任意時(shí)刻的彈簧力可表示為:
此外,為了保持彈簧的預(yù)載,質(zhì)量塊與支撐面之間存在接觸變形,根據(jù)Hertz接觸理論,考慮接觸面積為圓形時(shí)為[7]
由式(9)可得彈簧端面與支撐面接觸法向力P和變形δ關(guān)系為:
綜上所述,在考慮彈簧的預(yù)載時(shí),必須用兩個(gè)容性元件來(lái)描述彈簧,如圖2所示。
圖2中,容性元件c1用來(lái)描述彈簧的剛度特性,容度系數(shù)為1/k,信號(hào)流表示彈簧的預(yù)載長(zhǎng)度,c2表示彈簧端面與支撐面的接觸特性,在變形小于零時(shí),容度系數(shù)為1/K,在20-sim仿真軟件中,定義容性元件c1、c2的參數(shù)方程為:
圖2 彈簧的鍵合圖模型Fig.2 Bond graph model of spring
因c2的容度參數(shù)為不連續(xù)函數(shù),可以在鍵合圖仿真軟件中采用計(jì)算機(jī)高級(jí)語(yǔ)言的語(yǔ)句對(duì)方程進(jìn)行定義。
1.2.2 振動(dòng)系統(tǒng)的鍵合圖模型
為了更加直觀的表達(dá)旋轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)的鍵合圖模型,根據(jù)方程(5)~(7)將質(zhì)量塊的速度分解為切向和法向兩個(gè)部分,彈簧力、阻尼力主要作用在法向方法,外部輸入主要作用在切向方向,并用調(diào)制回轉(zhuǎn)器MGY描述切向速度與法向速度的聯(lián)系,系統(tǒng)的鍵合圖模型如圖3所示。
圖3 振動(dòng)系統(tǒng)的鍵合圖模型Fig.3 Bond graph model of vibration system
在圖3中,阻尼元件R表示阻尼,各調(diào)制變換器的激勵(lì)信號(hào)均與方程(5)、(6)相對(duì)應(yīng),并用法向速度vr的積分作為切向速度vθ與輸入ω之間的調(diào)制信號(hào)。
設(shè)圓盤從靜止開始運(yùn)動(dòng),加速度為9.8 m/s2,當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到20 r/s時(shí),反向運(yùn)動(dòng),加速度為9.8 m/s2,圓盤的角速度曲線如圖4所示,設(shè)置各元件的參數(shù)如表1所示,設(shè)置仿真時(shí)間為3 s,選擇backward differentiation formula求解器,絕對(duì)誤差取1×10-7,相對(duì)誤差取1×10-7,初始步長(zhǎng)取默認(rèn)步長(zhǎng)0.1,對(duì)模型進(jìn)行求解,為了研究彈簧預(yù)載和接觸對(duì)仿真結(jié)果的影響,對(duì)鍵合圖模型進(jìn)行了三次仿真實(shí)驗(yàn),第一次仿真考慮了彈簧預(yù)載和接觸,第2次仿真考慮了彈簧的預(yù)載,沒有考慮接觸,分別得到彈簧力的變化曲線和質(zhì)量塊在法線方向的位移曲線,為了更好的研究預(yù)載和接觸對(duì)系統(tǒng)的影響,將仿真曲線進(jìn)行對(duì)比研究。
表1 主要元件的仿真參數(shù)Tab.1 Main components of the simulation parameters
由圖5、圖6可知,在2 s前,持續(xù)預(yù)載對(duì)彈簧力和質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)特性影響較大,在2 s后,影響較小。在第1次仿真中,當(dāng)離心力、重力分力和阻尼力之和小于彈簧的初始預(yù)載時(shí),質(zhì)量塊保證靜止,彈簧保持預(yù)載不變,當(dāng)圓盤速度逐漸增大,使離心力、重力分力和阻尼力之和大于彈簧的初始載荷時(shí),使質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng),彈簧力與變形符合胡克定律,因此,在2 s后,兩次仿真的曲線基本重合,在第2次仿真試驗(yàn)中,由于沒有考慮預(yù)載的持續(xù)性,因此,在仿真開始后,質(zhì)量塊在初始預(yù)載的作用下做近似簡(jiǎn)諧振動(dòng),因?yàn)樽枘崞鞯拇嬖?,彈簧振幅逐漸減小,隨著圓盤速度的逐漸增大,質(zhì)量塊的離心力逐漸增大,因此,彈簧力逐漸增大,并在圓盤轉(zhuǎn)速達(dá)到最大時(shí),彈簧力達(dá)到極值,之后圓盤反向加速,速度逐漸減小至零后繼續(xù)加速,在此過(guò)程中,因離心力較小,質(zhì)量塊在彈簧力、阻尼力、重力分力和離心力的共同作用下做近似簡(jiǎn)諧振動(dòng),當(dāng)圓盤角速度足夠大時(shí),質(zhì)量塊的離心力、重力分力和阻尼力之和大于彈簧的初始載荷,運(yùn)動(dòng)規(guī)律與第1次仿真基本重合。
為了進(jìn)一步驗(yàn)證振動(dòng)系統(tǒng)鍵合圖模型的正確性,采用目前國(guó)際上使用最廣泛的機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模擬軟件ADAMS(Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems)對(duì)含持續(xù)預(yù)載的旋轉(zhuǎn)彈簧振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真分析。運(yùn)用pro/e構(gòu)造出系統(tǒng)的三維模型,導(dǎo)入ADAMS/View中,設(shè)置各構(gòu)件的材料屬性,并根據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特征添加約束和驅(qū)動(dòng),彈簧剛度、接觸剛度和阻尼系數(shù)等主要參數(shù)均與20-sim中的設(shè)置一致,設(shè)置仿真時(shí)間為3 s,仿真步長(zhǎng)為5 000,對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真,在后處理模塊中得到彈簧力的變化曲線和質(zhì)量塊在法線方向的位移曲線,為了相互驗(yàn)證兩種仿真方法的準(zhǔn)確性,將ADAMS的仿真與20-sim的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,如圖7、圖8所示。
由圖7、圖8可知,20-sim的第一次仿真曲線與ADAMS的仿真曲線趨勢(shì)基本一致,為了進(jìn)一步定量的對(duì)滑塊的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行分析,并驗(yàn)證ADAMS仿真與鍵合圖理論計(jì)算結(jié)果的精確性,分別將滑塊位移和彈簧力的波峰值導(dǎo)出,如表2、表3所示,對(duì)數(shù)值進(jìn)行對(duì)比分析,得到各對(duì)應(yīng)數(shù)值點(diǎn)之間的誤差值如表4所示。
表2ADAMS仿真結(jié)果Tab.2 Simulation results by ADAMS
表3 20-sim仿真結(jié)果Tab.3 Simulation results by 20-SIM
表4 誤差值Tab.4 Error
由表4可知,兩種軟件分別對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析,時(shí)間的最大誤差為6.12%,彈簧力的最大誤差為4.23%,質(zhì)量塊法向位移的最大誤差為7.69%,且最大誤差主要集中在質(zhì)量塊剛開始運(yùn)動(dòng)階段,隨著時(shí)間的推移,誤差逐漸減小。產(chǎn)生誤差的原因主要是兩種軟件對(duì)接觸的定義不同,在ADAMS中,將碰撞過(guò)程中的接觸力等效成一個(gè)彈簧阻尼模型[8],接觸力的計(jì)算公式為:
式中K為剛度系數(shù),D為阻尼系數(shù),式(12)所描述的接觸力模型可用于整個(gè)接觸過(guò)程中,等效彈簧阻尼方法的關(guān)鍵是選擇合理接觸力模型,通過(guò)建立接觸力的模型,就可以求解接觸碰撞問(wèn)題,ADAMS軟件中提供了一種用step函數(shù)表示的黏性阻尼模型,其阻尼系數(shù)的計(jì)算公式如下:
其中:C為最大阻尼系數(shù),用于表征接觸能量損失;d是使阻尼達(dá)到最大值時(shí)的侵入深度;step函數(shù)為階躍函數(shù)。在軟件中,用impact函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)該模型,impact函數(shù)模型的計(jì)算公式為:
由式(15)可知,ADAMS中定義的接觸與接觸物體之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度有關(guān),是一種動(dòng)接觸,而在鍵合圖理論中,本文用hertz接觸理論定義了質(zhì)量塊與支撐面之間的接觸力,其作用主要是保持預(yù)載不變,是一種靜接觸。同時(shí),由于ADAMS中的接觸力包含阻尼項(xiàng),其體現(xiàn)出的總的接觸力要比20-sim中的小,使質(zhì)量塊在法線方向的平衡更早的被打破,因此,ADAMS仿真結(jié)果中的質(zhì)量塊要比20-sim早0.11 s開始運(yùn)動(dòng),此外,由于接觸力變小,離心力、質(zhì)量塊法線方向的合力將對(duì)彈簧產(chǎn)生更大的變形,因此,ADAMS中的彈簧力與質(zhì)量塊位移要大于20-sim的仿真結(jié)果。
(1)根據(jù)持續(xù)預(yù)載彈簧的特性,結(jié)合鍵合圖理論的建模方法,用兩個(gè)容性元件來(lái)描述含持續(xù)預(yù)載的彈簧,給出了兩個(gè)容性元件的鍵合圖模型。
(2)建立了含持續(xù)預(yù)載的旋轉(zhuǎn)彈簧振動(dòng)系統(tǒng)的鍵合圖模型,并基于20-sim軟件和ADAMS研究了持續(xù)預(yù)載對(duì)質(zhì)量塊振動(dòng)特性的影響。
(3)基于20-sim軟件和ADAMS軟件仿真對(duì)比,證明提出的持續(xù)預(yù)載彈簧鍵合圖模型的正確性。
(4)持續(xù)預(yù)載彈簧鍵合圖建模豐富了機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)鍵合圖建模方法,對(duì)類似的機(jī)構(gòu)鍵合圖建模及動(dòng)態(tài)分析有參考價(jià)值。
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Modeling and simulation for bond graph of a vibrating system containing a rotating and sustainably pre-loading spring
TANG Jin-yuan,CHEN Hai-feng
(Key Laboratory of Modern Complex Equipment Design and Extreme Manufacturing of Ministry of Education,School of Mechanical and Electrical Engineering,Central South University,Changsha 410083,China)
Aiming at the problem of adding and keeping pre-loading of spring which was difficult to express with bond graph,a vibrating system containing a rotating and sustainably pre-loading spring was selected as a subject to be studied.The sustainably pre-loading spring model was deseribed by using two 1-port capacitors and the bond graph model of the vibrating system was established based on Lagrange equations.In order to study the influence of the sustainably preloading spring on dynamic characteristics of the mass,the advanced software 20-sim was used to simulate the dynamic behavior of the model.Finally,the results were compared with those using ADAMS to check the bond graph model and verity its credibility.
sustainably pre-loading;spring;bond graph;dynamic simulation;20-sim software
TH113.1
A
國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50875263);中南大學(xué)研究生學(xué)位創(chuàng)新論文(2009ssxt053)
2010-01-20 修改稿收到日期:2010-03-18
唐進(jìn)元 男,教授,1962年生