張 勇

(1.西安鐵路局，西安 710015;2.蘭州交通大學(xué) 機(jī)電技術(shù)研究所，蘭州 730070)

電動(dòng)力繩索系統(tǒng)的周期解求解及其穩(wěn)定性分析

張 勇1，2

(1.西安鐵路局，西安 710015;2.蘭州交通大學(xué) 機(jī)電技術(shù)研究所，蘭州 730070)

對運(yùn)行在傾斜圓軌道上的電動(dòng)力繩索系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析研究。首先建立了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，分別采用攝動(dòng)法及推廣后的數(shù)值算法求得系統(tǒng)的基本周期解，并運(yùn)用所給數(shù)值算法中的穩(wěn)定性判據(jù)分析了周期解的穩(wěn)定性，得出該系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定的結(jié)論。最后進(jìn)行仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明在攝動(dòng)量較小時(shí)，兩種求解算法得到的周期解基本相同，但當(dāng)攝動(dòng)量較大時(shí)，攝動(dòng)法求得的周期解發(fā)生了畸變，不理想此時(shí)通常借助數(shù)值算法加以求解;仿真結(jié)果同樣證實(shí)了所得周期解的不穩(wěn)定特性。

電動(dòng)力繩索系統(tǒng);周期運(yùn)動(dòng);周期解求解;穩(wěn)定性分析

繩系衛(wèi)星系統(tǒng)(簡稱TSS)是指用一根細(xì)長柔軟的繩索連接起來的雙星(母星與子星)系統(tǒng)。近年來TSS已經(jīng)成為航天領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)，國內(nèi)外學(xué)者做了大量的研究，并相繼投入試驗(yàn)中。其中電動(dòng)力繩索系統(tǒng)(當(dāng)TSS的繩索導(dǎo)電時(shí)，簡稱EDT)的研究成為目前最活躍的一個(gè)分支。該系統(tǒng)不僅可用于大氣層測量等各種實(shí)驗(yàn)，還可以將負(fù)載送入新軌道或衛(wèi)星回收，以及空間站的機(jī)動(dòng)等。TSS在傾斜圓軌道上運(yùn)行時(shí)，若繩索中不通電流，系統(tǒng)將穩(wěn)定在當(dāng)?shù)氐拇咕€方向。若系統(tǒng)中通過電流，這種平衡位置消失，代之出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)。前者的研究已經(jīng)較為成熟，相比之下后者的研究還較欠缺，國內(nèi)外學(xué)者做了一些初步的探討，結(jié)果表明當(dāng)受到電動(dòng)力影響時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為相當(dāng)豐富，會(huì)出現(xiàn)一些復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)，在沒有外加控制的情況下，這種周期運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的，不穩(wěn)定源于非線性共振帶給系統(tǒng)的持續(xù)能量泵入［1，2］。

對ETD系統(tǒng)復(fù)雜動(dòng)力學(xué)分析的程度取決于周期解求解算法的有效性，隨著研究的不斷深入，一些周期解求解算法相繼引入到該系統(tǒng)中，歸納起來可分為解析法與數(shù)值法兩大類。文獻(xiàn)［3］利用攝動(dòng)法在攝動(dòng)量較小的情況下求得了系統(tǒng)的周期解。文獻(xiàn)［4］給出了一種周期解的數(shù)值求解算法——預(yù)測校正法，算法每迭代一次需要完成預(yù)測與校正兩大步，計(jì)算量較大。文獻(xiàn)［5］給出了一種單自由度系統(tǒng)周期解的求解算法及其相應(yīng)的穩(wěn)定性判據(jù)，該算法實(shí)現(xiàn)起來比較容易。文中將該算法加以推廣，并應(yīng)用到兩自由度系統(tǒng)中，得到理想的結(jié)果。

本文首先建立并簡化了電動(dòng)力繩索系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，分別利用攝動(dòng)法與數(shù)值法求得了系統(tǒng)的周期解，并利用文中所給數(shù)值算法中的穩(wěn)定性判據(jù)加以理論分析，得出系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定的結(jié)論。最后在Matlab中進(jìn)行仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明，攝動(dòng)量較小時(shí)，兩種方法求得的周期解基本相同，但當(dāng)攝動(dòng)量較大時(shí)，攝動(dòng)法求得的周期解發(fā)生畸變，結(jié)果不夠理，此時(shí)通常借助數(shù)值算法求解。本文所給出的數(shù)值算法成功地求得了系統(tǒng)的周期解，彌補(bǔ)了攝動(dòng)量較大時(shí)攝動(dòng)法求解的不足，并且也克服了文獻(xiàn)［4］中的數(shù)值算法在求解系統(tǒng)周期解時(shí)計(jì)算量較大的困難。仿真結(jié)果同樣證實(shí)了系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的不穩(wěn)定特性，即從任一周期解附近開始的運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過若干周期后完全發(fā)散直至失穩(wěn)，為后續(xù)的控制工作奠定了基礎(chǔ)，也為以后電動(dòng)力繩索系統(tǒng)的成功試驗(yàn)提供了一定理論依據(jù)。

1 電動(dòng)力繩索系統(tǒng)建模

為了更有效地研究電動(dòng)力繩索系統(tǒng)受到電磁力影響時(shí)所表現(xiàn)出的復(fù)雜周期運(yùn)動(dòng)及其不穩(wěn)定特性，在建立EDT模型時(shí)，做如下的假設(shè):

① 假設(shè)地球是中心引力場，除地球中心引力和繩索電動(dòng)力外，不考慮其它的干擾力;② 母星的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于繩索和子星的質(zhì)量;③ 地球磁場為非傾斜偶極子模型，其磁場強(qiáng)度在繩索的長度方向上均勻分布;④母星被限制在圓軌道上，做開普勒運(yùn)動(dòng);⑤ 繩索中電流恒定。

建立如下的三套右手直角坐標(biāo)系:① 地心慣性坐標(biāo)系OEXYZ，其中:OE為地球質(zhì)心，OEX指向第一個(gè)升交點(diǎn)，OEZ沿地球自轉(zhuǎn)軸，OEY與其他兩軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。② 軌道坐標(biāo)系oxyz，其中:o為母星質(zhì)心，ox沿當(dāng)?shù)卮咕€方向指向天頂，oz垂直于軌道平面，oy與其他兩軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。③ 體坐標(biāo)系Ox1y1z1，ox1固聯(lián)在繩索上(見圖1)，θ為繩索的面內(nèi)擺角，φ為繩索的面外擺角(見圖2)。

圖1 電動(dòng)力繩索系統(tǒng)的坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate frames of Electrodynamic Tether system

圖2 軌道坐標(biāo)系與體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系Fig.2 Transformation from orbital coordinate frame to body coordinate frame

在沒有施加控制的情況下，系統(tǒng)只受重力梯力矩與電磁力矩的作用，利用歐拉角的轉(zhuǎn)換關(guān)系與拉格朗日方法，得到系統(tǒng)的無量綱動(dòng)力學(xué)方程:

繩索矢量與地磁場矢量在軌道坐標(biāo)系中表示為

對于一個(gè)絕緣的系繩(即ε=0)，方程組(3)存在奇點(diǎn)，解為平衡點(diǎn)，對應(yīng)的位置(θ=φ=0)是系統(tǒng)的穩(wěn)定位置，這種情況在文章［7］中已得到證實(shí)。但是，當(dāng)系繩導(dǎo)電(即ε≠0)時(shí)，方程組(3)的平衡點(diǎn)消失，出現(xiàn)2π周期解［1］，在沒有外加控制的情況下，這種周期解不穩(wěn)定。下面針對這種情況做詳細(xì)研究，分別采用解析法與數(shù)值法求取系統(tǒng)的周期解，并判斷其穩(wěn)定性，最后進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

2 EDT周期解求解及其穩(wěn)定性分析

當(dāng)繩索中有電流流過(ε≠0)時(shí)，系統(tǒng)的平衡位置(θ=φ=0)不再出現(xiàn)，代之表現(xiàn)為周期運(yùn)動(dòng)，周期大小取決于強(qiáng)迫項(xiàng)的周期值，也就是本文中的軌道周期值T=2π/ω，幅值取決于ε、i值的大小。然而獲得周期解是相當(dāng)困難的，通常借助數(shù)值計(jì)算才能得到。當(dāng)攝動(dòng)量ε較小時(shí)，也可以通過攝動(dòng)法求得周期解。

2.1 攝動(dòng)法求解周期解

首先假設(shè)系統(tǒng)的周期解為x(ν，ε)，然后展開成ε的冪級數(shù)形式:

將上式代入到方程組(3)中，得到下面一系列的微分方程組:

在Matlab符號求解器的幫助下，由上述方程組的第一式解得派生系統(tǒng)的解，依次帶入下一式求出各階近似解，最后代回式(4)后得到原系統(tǒng)的周期解:

2.2 數(shù)值法求解周期解及其穩(wěn)定性分析

當(dāng)攝動(dòng)量ε較小時(shí)，用攝動(dòng)法求得的周期解跟數(shù)值方法得到的周期解基本相同，但當(dāng)ε較大時(shí)，用攝動(dòng)法求的周期解不理想，此時(shí)一般通過數(shù)值方法求系統(tǒng)的周期解［4，8］。文獻(xiàn)［5］給出了一種單自由度系統(tǒng)周期解的迭代算法及其穩(wěn)定性判據(jù)，將該算法推廣應(yīng)用到本文的兩自由度系統(tǒng)中，具體步驟如下:

方程(5)中有兩個(gè)可變參數(shù)，分別固定其中一個(gè)參數(shù)，改變另一個(gè)，求得對應(yīng)的周期軌道族。

假設(shè)先固定i值，將ε看作變化量，則求解周期解的迭代算法可歸納為:在k步上假設(shè)ε=ε(k)，方程(4)近似解為X=X(k);改變ε，在第k+1步中令ε(k+1)=ε(k)+Δε(k+1)，設(shè)此時(shí)的解為 X(k+1)=X(k)+ΔX(k+1)，帶入式(4)得:

F'X、F'ε是具有周期時(shí)變系數(shù)的雅克比矩陣。式(7)是求解(4)的周期解的基本迭代關(guān)系式。若步長Δε(k)取很小時(shí)，可以得到很高的求解精度。作為迭代算法的第一步，取ε(1)=0。

式(6)是非線性齊次微分方程，其解由兩部分組成:ΔX(k+1)=yk+1+αYk+1。各部分解由下面相應(yīng)的同倫方程求得，并且給出了所求周期解的穩(wěn)定性判據(jù)，具體如下:

同樣，固定ε值，將i看作變化量，采用上述算法求得對應(yīng)的基本周期軌道族。最后運(yùn)用上述穩(wěn)定性判據(jù)分析系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性，結(jié)果表明所有的解都不穩(wěn)定，下面的仿真結(jié)果也證實(shí)了這一特點(diǎn)。

3 仿真及結(jié)果分析

下面是分別采用上述攝動(dòng)法與數(shù)值算法得到的若干參數(shù)下的系統(tǒng)基本周期解族圖及某任意一周期解表現(xiàn)出的不穩(wěn)定特性圖。

圖3是采用攝動(dòng)法求得的周期解，圖中系統(tǒng)參數(shù)取值為軌道傾角 i=40°，攝動(dòng)量 ε =0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.7。圖4、圖5是采用數(shù)值算法得到的周期解族，其中圖 4 取值為 i=40°，ε =0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.7;圖 5 取值為 ε =1，i=20°、25°、30°、35°、40°。

對比圖3、圖4可知，在攝動(dòng)量ε較小(對應(yīng)圖中ε =0.1、0.2、0.3、0.4)時(shí)，攝動(dòng)法求得的周期解與數(shù)值計(jì)算得到的結(jié)果基本相同，但當(dāng)攝動(dòng)量ε較大(對應(yīng)圖中 ε=0.5、0.7)時(shí)，兩種算法得到結(jié)果相差甚大，此時(shí)攝動(dòng)法失效，通常用數(shù)值法獲得周期解。從圖4、圖5中還可以看出，不同軌道傾角i、攝動(dòng)量ε分別對應(yīng)不同的周期解，隨著兩參數(shù)值的增大，所得周期解的幅值也相應(yīng)地增大，即周期運(yùn)動(dòng)的幅度加大，不穩(wěn)定性程度同樣加大。根據(jù)算法中給出的穩(wěn)定性判據(jù)可知所有求得的周期解都不穩(wěn)定，圖6是其中任意一個(gè)周期解(取值ε=1，i=40°)受到初始擾動(dòng)后所表現(xiàn)出的不穩(wěn)定特性，可以看出，即使系統(tǒng)受到一個(gè)很小的初始擾動(dòng)，也就是從離目標(biāo)軌道很近的點(diǎn)開始的運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過若干個(gè)軌道周期后，同樣完全偏離目標(biāo)軌道直至失穩(wěn)。

4 結(jié)論

本文對運(yùn)行在傾斜圓軌道上的電動(dòng)力繩索系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析研究，建立了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，引入了一種新的周期解求解算法，并與攝動(dòng)法求得的結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果表明在攝動(dòng)量較大的情況下，文中給出的數(shù)值算法在求解周期解時(shí)具有很大的優(yōu)越性。最后理論分析了所得周期解的穩(wěn)定性，結(jié)果表明系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的，該研究結(jié)果進(jìn)一步揭示了受到電磁力影響的電動(dòng)力繩索系統(tǒng)與不受電磁力的常規(guī)繩系衛(wèi)星系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的不同，電動(dòng)力繩索系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)固有的不穩(wěn)定性為后續(xù)的控制工作提出了要求，也為以后電動(dòng)力繩索系統(tǒng)的成功試驗(yàn)提供了一定理論依據(jù)。

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，

solitons ＆ fractals.2007.

Periodic solutions and stability analysis for a electrodynamic tethered system

ZHANG Yong1，2

(1.Xi'an Railway Bureau，Xi'an 710015，China;2.Mechachonics T＆R institute，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China)

Dynamic behavior of a electrodynamic tethered system operating in a circular inclined orbit was studied.The dynamic model of the system was described，the basic periodic solution was obtained using perturbation method and a new numerical method.The stability of the periodic solution was analyzed based on the stability criterion in the numerical algorithm and it was concluded that the system periodic motion is instable.Finally，two algorithms were compared with simulation.The results showed that the periodic solutions obtained with the two algorithms are the same basically when perturbation is smaller，but the periodic solutions obtained with perturbation method are distorted when perturbation is large，at this time the numerical algorithm is normally adopted;instability of the periodic solutions is also confirmed with the simulation results.

electrodynamic tethered system;periodic motion;periodic solution;stability analysis

V412.4

A

英國皇家學(xué)會(huì)王寬誠教育基金資助項(xiàng)目《Stability of Electrodynamic Space Tethers》(LJCina/2005R1);中英高?？蒲泻献黜?xiàng)目(CHINA-UK SCIENCE NETWORKS)《Control of Electro-dynamic Space Tethers》

2009－07－24 修改稿收到日期:2010－03－22

作 者 張 勇 男，碩士生，1984年生