尚慧琳

(上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200235)

時(shí)滯速度反饋對(duì)軟彈簧Duffing系統(tǒng)安全盆的控制研究

尚慧琳

(上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200235)

為了利用時(shí)滯反饋對(duì)于非線性系統(tǒng)實(shí)施安全盆侵蝕控制，以一個(gè)軟彈簧Duffing系統(tǒng)為例，對(duì)系統(tǒng)引入線性時(shí)滯速度反饋，研究時(shí)滯速度反饋對(duì)系統(tǒng)安全盆侵蝕的控制作用。首先通過(guò)Melnikov函數(shù)法分析時(shí)滯受控系統(tǒng)的安全盆的邊界分形條件;再以時(shí)間滯后量為變參數(shù)，通過(guò)四階龍格－庫(kù)塔法和蒙特－卡羅方法，刻畫安全盆形態(tài)，計(jì)算安全盆面積。發(fā)現(xiàn)時(shí)滯速度反饋對(duì)影響安全盆邊界有著重要作用，通過(guò)增大時(shí)滯量，可以對(duì)系統(tǒng)的安全盆侵蝕進(jìn)行有效抑制。該研究結(jié)果說(shuō)明時(shí)滯速度反饋是控制系統(tǒng)的安全盆侵蝕的有效手段。

軟彈簧duffing振子;安全盆侵蝕;時(shí)滯;反饋增益;分形

質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)振幅超過(guò)一定限度，往往會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的破壞和工程故障如船舶傾覆［1］，電網(wǎng)崩潰［2］等，由此產(chǎn)生了振動(dòng)的有界性問(wèn)題，也引起了對(duì)非線性系統(tǒng)的安全盆(safe basin)的研究。以英國(guó)學(xué)者Thompson［3］為首的科學(xué)家首先提出了安全盆的概念。系統(tǒng)的安全盆被定義為所有有界解吸引盆的合集。如果安全盆具有分形邊界［4］，那么系統(tǒng)初始條件稍有改變，從原無(wú)侵蝕的安全盆的內(nèi)部出發(fā)的軌線將可能逃逸出此安全盆，從而導(dǎo)致系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)無(wú)界而引起系統(tǒng)崩潰，這種現(xiàn)象被稱為安全盆的侵蝕(erosion of safe basins)［5－7］。安全盆的侵蝕往往觸發(fā)工程結(jié)構(gòu)的破壞，因此從應(yīng)用的觀點(diǎn)出發(fā)，有必要對(duì)系統(tǒng)安全盆侵蝕現(xiàn)象進(jìn)行研究并有效控制。

多年來(lái)，關(guān)于非線性系統(tǒng)安全盆的研究已經(jīng)取得了一定進(jìn)展。如 Thompson［1，3］研究了船舶激勵(lì)為規(guī)則波時(shí)系統(tǒng)的安全盆，發(fā)現(xiàn)激勵(lì)振幅的增大會(huì)引起安全盆的侵蝕。甘春標(biāo)等人［5］研究了軟彈簧杜芬振子中參數(shù)的非定常變化對(duì)系統(tǒng)安全盆侵蝕的影響，指出外激勵(lì)的高頻作用可以有效降低安全盆的侵蝕。徐鑒等人［6］研究了具有三次非線性的Duffing－Mathieu型系統(tǒng)在主參數(shù)共振下安全盆侵蝕和控制，發(fā)現(xiàn)主參數(shù)共振情況下，增大阻尼可以抑制安全盆侵蝕，而參振激勵(lì)下振幅的增大卻加速安全盆的侵蝕;時(shí)變激勵(lì)下振幅的改變則可以有效控制安全盆侵蝕的速度。系統(tǒng)參數(shù)的變化常常會(huì)引起安全盆的侵蝕［1－7］，因此，在應(yīng)用中常常通過(guò)調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)如增大阻尼、改變激勵(lì)等被動(dòng)控制方法來(lái)抑制安全盆的侵蝕，而極少采取主動(dòng)控制方法。

本文對(duì)安全盆的侵蝕提出一種主動(dòng)控制方法，即時(shí)滯速度反饋。這是因?yàn)檠芯勘砻鳎?－11］，時(shí)滯反饋是控制動(dòng)力系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的好方法，時(shí)滯能夠引起系統(tǒng)失穩(wěn)，出現(xiàn)多吸引子共存、概周期運(yùn)動(dòng)、混沌運(yùn)動(dòng)等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。而多吸引子共存則為增大有界解吸引域的集合即安全盆提供了可能性。本文考慮一個(gè)典型的軟彈簧Duffing振子，對(duì)系統(tǒng)施加線性時(shí)滯速度反饋，研究時(shí)滯反饋對(duì)系統(tǒng)安全盆侵蝕的控制。本文安排如下:第二節(jié)給出研究模型，并應(yīng)用Melnikov函數(shù)法得出安全盆的邊界分形條件;第三節(jié)給出時(shí)滯系統(tǒng)安全盆的定義，并在此基礎(chǔ)上數(shù)值研究時(shí)滯量對(duì)系統(tǒng)安全盆邊界和尺寸的影響規(guī)律。最后一節(jié)給出結(jié)論。

1 安全盆的邊界分形條件

是一個(gè)典型的軟彈簧Duffing振子，同時(shí)也可以作為刻畫輪船在海面運(yùn)動(dòng)的有效模型［5，7，12］，用來(lái)描述船舶波浪中不考慮操舵的單自由度艏搖運(yùn)動(dòng)方程，其中x常常用來(lái)描述船舶的橫搖角，當(dāng)x過(guò)大時(shí)，船舶會(huì)發(fā)生橫甩(即大幅艏搖運(yùn)動(dòng))［7，12］，從而導(dǎo)致船舶傾覆。對(duì)系統(tǒng)(1)施加線性時(shí)滯速度反饋，得到

其中yτ=y(t－τ)，τ是時(shí)滯量，A是反饋增益系數(shù)。當(dāng)τ=0時(shí)，系統(tǒng)(2)可以退化為系統(tǒng)(1)。方程(2)可以看成一個(gè)單通道反饋控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，如圖1所示.由圖1知，時(shí)滯反饋在控制系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為方面扮演著重要角色。

圖1 時(shí)滯反饋控制系統(tǒng)(2)簡(jiǎn)易框圖Fig.1 Simplified diagram of the delayed feedback controlled system(2)

無(wú)擾動(dòng)無(wú)時(shí)滯的軟彈簧Duffing振子系統(tǒng)可寫成:

因此，根據(jù)線性近似系統(tǒng)的特征值和(4)式可知，平衡點(diǎn)(0，0)為其中心，奇點(diǎn)(±1，0)為兩個(gè)鞍點(diǎn)，且有兩條異宿軌線:

為了便于分析，將方程(1)和(2)中的變量進(jìn)行重新標(biāo)度

其中0＜ε?1。則系統(tǒng)(1)相應(yīng)的Melnikov函數(shù)為:

而對(duì)于施加時(shí)滯速度反饋之后的系統(tǒng)(2)，當(dāng)反饋增益K和時(shí)滯量較小時(shí)，可以將時(shí)滯速度反饋?lái)?xiàng)看成是擾動(dòng)項(xiàng)，可設(shè):

則受控系統(tǒng)(2)的Melnicov函數(shù)為:

對(duì)于系統(tǒng)(1)，如果參數(shù)取值滿足

因此只要選取適當(dāng)?shù)姆答佋鲆骓?xiàng)系數(shù)A和時(shí)滯量τ，使得:

則穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形在Poincaré截面上不會(huì)橫截相交，也就能夠有效地抑制了安全盆邊界的分形。

因此由理論分析可知，時(shí)滯速度反饋在一定條件下可以控制系統(tǒng)安全盆的侵蝕。而對(duì)于在無(wú)控制狀態(tài)下已經(jīng)被侵蝕的系統(tǒng)安全盆，時(shí)滯速度反饋對(duì)安全盆侵蝕的控制效果將在下一節(jié)通過(guò)數(shù)值模擬來(lái)體現(xiàn)。

2 安全盆侵蝕的控制效果

該區(qū)域包含了系統(tǒng)(1)的所有奇點(diǎn)和兩條異宿軌線。當(dāng)t=0時(shí)，本文在－2≤x(0)≤2這樣一個(gè)初始值范圍內(nèi)運(yùn)用四階龍格－庫(kù)塔法和點(diǎn)映射蒙特－卡羅方法來(lái)刻劃安全盆，其中初始點(diǎn)的個(gè)數(shù)為640×240。即在初始軸x(0)方向?qū)ⅲ郏?，2］劃分為639等份，由此產(chǎn)生640條平行于y(0)軸的格線;而在對(duì)應(yīng)的y(0)方向?qū)ⅲ郏?，2］劃分為239等份，產(chǎn)生240條相應(yīng)的格線;平

2.1 時(shí)滯對(duì)于安全盆邊界的影響

在常微分動(dòng)力系統(tǒng)(ODE)中，安全盆常常被定義為所有有界解吸引盆的集合［1］，而無(wú)界解則對(duì)應(yīng)導(dǎo)致破壞的危險(xiǎn)振動(dòng)。由于DDE系統(tǒng)初始條件與ODE系統(tǒng)完全不同，時(shí)滯微分動(dòng)力系統(tǒng)的解往往由初始條件z(t)=z0(t=0)和 z(t)=φ(t)(－τ≤t＜0)共同決定，其中 z(t)=(z1(t)，z2(t)，…，zn(t))T，為系統(tǒng)狀態(tài)變量。因此這樣的初值吸引域很難直觀地刻畫與評(píng)價(jià)。然而，對(duì)于帶時(shí)滯反饋的控制系統(tǒng)，由于在時(shí)滯反饋控制系統(tǒng)零時(shí)刻以前沒(méi)有信號(hào)返回到系統(tǒng)，可以給定初始條件為z(t)=z0(t=0)和z(t)=0(－τ≤t＜0)。因此，我們定義時(shí)滯反饋控制系統(tǒng)的安全盆為零時(shí)刻狀態(tài)空間z(0)上所有有界解吸引域的集合［5］。因此對(duì)于所研究的時(shí)滯速度反饋控制系統(tǒng)(2)，根據(jù)以上定義，系統(tǒng)安全盆應(yīng)為位于零時(shí)刻狀態(tài)平面x(0)－y(0)的所有有界解吸引域的集合。

本節(jié)選取一個(gè)充分大的有界區(qū)域D:行x(0)軸和平行于y(0)軸的格線相交，將產(chǎn)生640×240個(gè)格點(diǎn)，這些格點(diǎn)就是系統(tǒng)解的初始值。由于研究的是系統(tǒng)的長(zhǎng)期動(dòng)力學(xué)行為，則當(dāng)系統(tǒng)響應(yīng)在10 000個(gè)參數(shù)激勵(lì)周期內(nèi)如果仍未逃逸出有界區(qū)域D，認(rèn)為此解是安全有界的，否則是不安全的。其中數(shù)值積分步長(zhǎng)為1/4 000個(gè)激勵(lì)周期。在安全盆圖形中，白色區(qū)域?qū)?yīng)有界解的吸引域，即安全盆，而黑色區(qū)域則對(duì)應(yīng)逸出的無(wú)界解吸引域。對(duì)系統(tǒng)(2)，給定c=0.01，Ω=1和A=0.2，將時(shí)滯τ從0增大到2π。圖2和圖3分別表示G=0.1和G=0.3時(shí)系統(tǒng)(2)的安全盆隨時(shí)滯的變化情況。

圖2 G=0.1時(shí)系統(tǒng)(2)安全盆隨時(shí)滯的變化圖Fig.2 Evolution of the safe basin of system(2)as the delay increases when G=0.1

圖3 當(dāng)G=0.3時(shí)系統(tǒng)(2)的安全盆隨時(shí)滯的變化圖Fig.3 Evolution of the safe basin of system(2)as the delay increases when G=0.3

2.2 時(shí)滯對(duì)安全盆面積的影響

為了進(jìn)一步圖2和圖3中出現(xiàn)的安全盆邊界突然分形現(xiàn)象，如圖4所示，考察安全盆面積即白色區(qū)域的面積隨時(shí)滯量的變化，其中時(shí)滯的變化。根據(jù)式(8)可知，G=0時(shí)系統(tǒng)(1)的安全盆不會(huì)受到分形侵蝕。本文將邊界光滑，沒(méi)有受到分形侵蝕的系統(tǒng)(1)的安全盆稱為“初始盆”(如圖4)，定義其面積為 1 或 100%［10］。因此將不同G和τ取值下安全盆的尺寸(即安全盆內(nèi)初值點(diǎn)的個(gè)數(shù))與之相比，這樣就可以計(jì)算出相應(yīng)安全盆的面積大小(即面積百分比)。系統(tǒng)(2)的安全盆在取值范圍－2≤x(0)≤2，－2≤y(0)≤2內(nèi)的面積變化如圖5所示。從時(shí)滯對(duì)安全盆面積的影響來(lái)看，時(shí)滯速度反饋對(duì)安全盆侵蝕起到了積極的控制作用。

圖4 c=0.01，G=0時(shí)系統(tǒng)(1)的安全盆Fig.4.The safe basin in system(1)when c=0.01 and G=0

圖5 不同時(shí)滯下系統(tǒng)(2)的安全盆面積隨激勵(lì)振幅的變化圖Fig.5.Variation of the basin area as the amplitude increases for system(2)under different values of time delay

由圖5可知:不管有無(wú)時(shí)滯，安全盆面積都隨激勵(lì)振幅單調(diào)遞減;外激勵(lì)振幅較小時(shí)安全盆的侵蝕更易被控制成無(wú)侵蝕狀態(tài)(見(jiàn)圖5中水平虛線以上部分);安全盆面積隨時(shí)滯的變化并不單調(diào)(由圖中各折線存在交點(diǎn)可見(jiàn))，但任何一種時(shí)滯取值非零的情況下，系統(tǒng)安全盆的面積都大于無(wú)時(shí)滯的情況。但時(shí)滯量較小時(shí)，激勵(lì)振幅固定時(shí)，安全盆面積隨時(shí)滯量單調(diào)遞增(見(jiàn)圖5中 τ=0，τ=2π/5和 τ=4π/5折線)。

3 結(jié)論

本文主要討論了時(shí)滯速度反饋對(duì)一個(gè)軟彈簧Duffing系統(tǒng)的安全盆侵蝕的控制。首先利用Melnikov函數(shù)法得到有時(shí)滯和零時(shí)滯情況下受控系統(tǒng)安全盆邊界的分形條件。并本文將常微分方程系統(tǒng)的安全盆思想延拓到時(shí)滯微分方程所描述的時(shí)滯反饋系統(tǒng)，利用時(shí)滯系統(tǒng)無(wú)限維初始空間向有限維歐式空間投影的思想給出時(shí)滯反饋控制系統(tǒng)安全盆的定義。進(jìn)而運(yùn)用點(diǎn)映射蒙特－卡羅方法和龍格－庫(kù)塔方法數(shù)值研究了時(shí)間滯后量對(duì)受控系統(tǒng)安全盆的影響規(guī)律，數(shù)值仿真結(jié)果與理論分析得到的安全盆邊界的分形條件基本吻合。研究結(jié)果表明，時(shí)滯速度反饋可以有效地用于控制系統(tǒng)的安全盆侵蝕。但系統(tǒng)的安全盆的邊界分形程度及尺寸并不是隨時(shí)滯量單調(diào)變化的。當(dāng)系統(tǒng)的反饋增益系數(shù)大于零時(shí)，一方面，當(dāng)時(shí)滯量較小時(shí)，時(shí)滯的增大可以用來(lái)控制安全盆的分形侵蝕，降低系統(tǒng)崩潰的可能性;另一方面，一個(gè)大的時(shí)滯量也可能反過(guò)來(lái)引起安全盆的分形侵蝕。從動(dòng)力學(xué)有關(guān)理論可以推斷，時(shí)滯引起非線性系統(tǒng)安全盆侵蝕時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)往往比較復(fù)雜，常常出現(xiàn)混沌響應(yīng)，因此本文的結(jié)果在研究混沌控制方面存在潛在的應(yīng)用價(jià)值。

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Control for erosion of safe basins in a softening duffing oscillator with velocity-delayed feedback

SHANG Hui-lin

(School of Mechanical Engineering，Shanghai Institute of Technology，Shanghai 20035，China)

In order to use delayed feedback controlling erosion of safe basins in nonlinear systems，a softening Duffing oscillator was considered here as an example，a linear delayed velocity feedback was induced to the system，and the effects of the delayed velocity feedback on controlling basin erosion were investigated.Firstly，the condition of fractal erosion of safe basin's boundary of the delayed controlled system was obtained by using Melnikov method.Then，considering time delay as a variable parameter and employing 4th-order Runge-Kutta and Monte-Carlo methods，the evolutions of boundaries and the area of safe basins with the delay were presented.It was found that the delayed velocity feedback can greatly affect the safe basin，and the erosion of the safe basin can be reduced with increase in the time delay effectively.It was shown that the delayed velocity feedback can be used as a good approach to control erosion of safe basins.

softening Duffing oscillator;erosion of safe basin;time delay;feedback;fractal

TP242;O322

A

國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金項(xiàng)目(10902071);上海高校選拔培養(yǎng)優(yōu)秀青年教師科研專項(xiàng)基金(YYY08004);上海市教育委員會(huì)重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目(J51501);上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院科學(xué)技術(shù)發(fā)展基金(KJ2011－06)

2011－01－02 修改稿收到日期:2011－04－25

作 者 尚慧琳 女，博士，副教授，1983年3月生