胡 亮，顧 明，李 黎

(1.同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092;2.華南理工大學 亞熱帶建筑科學國家重點實驗室，廣州 510640;3.華中科技大學 土木工程與 力學學院，武漢 430074)

兩類譜表示法模擬風場誤差對比分析

胡 亮1，2，顧 明1，李 黎3

(1.同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092;2.華南理工大學 亞熱帶建筑科學國家重點實驗室，廣州 510640;3.華中科技大學 土木工程與 力學學院，武漢 430074)

對原型和POD型譜表示法模擬多變量正態(tài)風場時的隨機誤差進行了對比分析。給出了原型、POD型譜表示法的風場模擬標準算法，以及使用這套標準算法模擬風場時所產生隨機誤差的解析計算公式。基于此解析解，以總體隨機誤差和根方差相對隨機誤差為標準，比較了兩類譜表示法在模擬一個64點簡單風場時的隨機誤差。數(shù)值分析結果表明:相對于原型譜表示法，POD型譜表示法的模擬隨機誤差較小而且空間分布更加均勻，模擬時應優(yōu)先選用。此外，還研究了頻率采樣點數(shù)對誤差的影響;給出了控制模擬隨機誤差的方法。

譜表示法;風場模擬;誤差;對比分析

在橋梁抖振時域分析時，一般把脈動風速場視作一維多變量、平穩(wěn)、正態(tài)隨機過程，用譜表示法或ARMA方法來模擬［1］。ARMA方法參數(shù)確定不易、系統(tǒng)穩(wěn)定性差［2］，相比之下，譜表示法無條件穩(wěn)定、易于實現(xiàn)、精度較高，在現(xiàn)有條件下計算效率可以接受［3］，因而得到了更廣泛的應用。

譜表示法起源于Rice在1945年的著名論文［4］。針對一維多變量風場模擬，早期的譜表示法基于多變量過程功率譜密度矩陣的Cholesky分解，稱為原型譜表示法［5，6］;近年來則出現(xiàn)了一類基于譜矩陣特征值分解的譜表示法，稱為本征正交分解(proper orthogonal decomposition，POD)型譜表示法［7，8］。POD 型譜表示法的優(yōu)點在于:風場的POD特征向量能描述風場分布這一物理特征且是一組最優(yōu)化基底，故可進行有效的模態(tài)截斷;但其中所包含矩陣特征值分解所耗費的運算量要大于原型譜表示法中的Cholesky分解。兩類譜表示法各有優(yōu)劣，在工程中如何選用至今尚無定論。

譜表示法模擬風場的一大癥結在于模擬結果的各態(tài)歷經性。對于一維單變量過程或多維單變量過程，這一問題早已得到圓滿解決［6］;但橋梁抖振時域分析所需脈動風場是一維多變量過程，雖然 Deodatis［9］和Ding［10］、胡亮［11］等分別基于原型譜表示法和 POD 型譜表示法提出了各態(tài)歷經模擬算法，但模擬結果時間序列過長，且其時域估計相關函數(shù)仍未能滿足各態(tài)歷經性。因此，工程應用中較好的辦法仍是將模擬結果的隨機誤差控制在一界限內，而無法完全實現(xiàn)各態(tài)歷經性以使得隨機誤差為0。

目前只有很少的研究涉及風場模擬的誤差。Novak［12］曾研究了AR方法模擬多變量風場的誤差，但其對風場的AR系統(tǒng)建模不準確;Grigoriu［13］則對譜表示法的模擬誤差有一些粗略的數(shù)值分析;胡亮推導了原型［14］和POD型譜表示法［15］模擬風場的偏度和隨機誤差的解析解?；诖四M誤差的解析解，本文將以一個典型簡單風場模擬作為算例，對兩類譜表示法模擬風場的隨機誤差進行對比分析，以期深入了解模擬誤差的特性并作為控制誤差的基礎，同時兩類方法在模擬誤差方面的表現(xiàn)也可為實際應用時的選擇提供參考。

1 譜表示法標準模擬公式

風場可簡化為一個一維N變量的平穩(wěn)正態(tài)過程V(t)=［v1(t)，v2(t)，…，vN(t)］T，設其理論功率譜密度矩陣為S0

VV(ω)(單邊譜)，則原型譜表示法的模擬公式為［14，15］:

式(1)－式(2)中，Δω=(ωu－ω0)/M 為頻率步長，ωl=(l－1)Δω 為頻率采樣點序列，l=1，…，M，M 為頻率采樣點數(shù)，θkl為在［0，2π］之間均勻分布的獨立隨機相位角;Hjk為S0

VV作Cholesky分解所得下三角矩陣元素;φjk和 ηk分別為S0VV的第k階特征向量中元素和特征值，Ns為POD模態(tài)截斷數(shù)?？蓪⑹?1)－式(2)寫為統(tǒng)一形式:

式中，Δt=2π/(NTΔω)為時間步長，NT≥2M 為變換點數(shù)。模擬結果具有周期T=2π/Δω。

2 模擬隨機誤差的解析解

作者分別研究了原型和本征正交分解(POD)型譜表示法模擬多變量風場的誤差，得到了模擬樣本時程時間長度為周期T時，前二階矩樣本時域估計值的隨機誤差的解析表達式［15］:

(1)兩類譜表示法模擬結果都是均值各態(tài)歷經的，即時域統(tǒng)計均值的隨機誤差為0;

(2)設N≥i≥j≥1，則原型譜表示法模擬結果功率譜密度函數(shù)時域估計值的隨機誤差為:

且模擬第1點的風速隨機誤差恒為0;POD型譜表示法的隨機誤差則為:

(3)兩類譜表示法模擬結果相關函數(shù)時域估計值的隨機誤差均可由譜密度函數(shù)的隨機誤差導出:

可用FFT作快速計算。

(4)兩類譜表示法模擬結果根方差時域估計值的隨機誤差可由相關函數(shù)的隨機誤差近似計算:

應當注意到，式(5)－式(7)所得誤差的項數(shù)巨大，在分析風場模擬誤差的分布特征時甚為不便，而式(8)則比較簡潔。為使誤差分析更加清晰，參照式(8)，定義總體隨機誤差為:

式(11)系將式(7)代入式(8)并推廣至p≠q的情況所得。當i=p=q時，式(9)是自譜函數(shù)的總體誤差，即主要表征i點風速自身包含能量的模擬誤差，亦稱為根方差相對隨機誤差;p≠q時，則是互譜函數(shù)的總體誤差，相應表征p、q點風速間相關程度的模擬隨機誤差。總體相對隨機誤差意義明確且便于表述，故它將是以下誤差分析時的所用到的主要指標。

3 典型簡單風場模擬誤差對比分析

圖1所示為一個由N=64點組成的簡單線狀風場，系由某橋面風場簡化而來，離地高度為160 m。風場模擬的目標譜為Kaimal譜［9］和Davenport相干函數(shù)，II類場地，冪函數(shù)風剖面，10 m高度平均風速 為21.17 m/s，譜頻率區(qū)間為 ω∈［0，2π］。

圖1 簡單風場點分布Fig.1 Overview of the simplified wind field

3.1 總體相對隨機誤差

分別計算頻率采樣點數(shù) M=256、512、1 024、2 048四種情況下原型和POD型譜表示法模擬此簡單風場時的總體隨機誤差epq(p=1…64，q=1…p)，所得結果示于圖2(a)－圖2(d)中。圖中，深藍色斜線下方為原型譜表示法，上方為POD型譜表示法。首先從圖2(a)分析誤差的分布特征，容易看出:

(1)左下半區(qū)的顏色顯著深于上半區(qū)，藍色部分較右上半區(qū)少，紅色部分則較多，即從整體來說，POD型譜表示法的隨機誤差要小于原型譜表示法。

(2)在此圖右上部分，POD型譜表示法的誤差基本沿著主對角線的平行方向向右上角點擴散，因此它的誤差分布比較均勻;而在左下部分，原型譜表示法的誤差有沿著自上而下的方向擴散的趨勢，編號越大的點誤差也越大。在用原型譜表示法進行風場模擬時，常能觀察到點號越靠后則模擬所得的時域估計自譜曲線波動愈加劇烈，正是出于隨機誤差分布不均這一原因。

以上的三條觀察結論可從圖2(b)－圖2(d)中得到印證。在從圖2(a)到圖2(d)的四個圖中，雖然顏色深度所代表的數(shù)值隨頻率采樣點數(shù)M增加而減小，但顏色分布的規(guī)律卻沒有什么變化，可見增加M值雖會使得隨機誤差降低，對誤差的空間分布特征卻幾乎沒有影響。表1是圖2中上下半區(qū)總體隨機誤差的總和及兩類譜表示法誤差對應的比值，可看出原型譜表示法的誤差總和總是大于POD型譜表示法，是后者的1.5倍左右，且隨M值增加此倍數(shù)比值也有小幅增加，這支持了上述第(1)條觀察結論。

圖2 兩類譜表示法模擬簡單風場的總體隨機誤差Fig.2 Global relative stochastic errors of the simplified wind field simulated by both OSRM and PSRM

3.2 根方差相對隨機誤差

圖3給出了不同頻率采樣點數(shù)M值下的根方差相對隨機誤差，圖中OSRM和PSRM分別表示原型/本征正交分解型譜表示法?？梢钥闯?(1)在M值相同時，POD型譜表示法的曲線大部分位于原型譜表示法之下，表示POD型譜表示法誤差較小;(2)原型譜表示法的誤差從1點到64點有一種漸變遞增的趨勢，而POD型譜表示的誤差曲線平滑下凹，誤差隨點號分布均勻。表2是圖3中根方差相對隨機誤差的總和，原型譜表示法的誤差總和是POD型譜表示法的1.2倍以上。以上觀察結論均與總體隨機誤差的觀察結論一致。

圖4(a)和圖4(b)分別是原型和POD型譜表示法不同M值下根方差相對隨機誤差的比值。圖中所給出的均是頻率點數(shù) M值的比值為1∶2時(256/512、512/1 024、1 024/2 048)的誤差比值，兩類方法誤差比值數(shù)值上差別不大，都在1.4～1.5之間;M值越大，該比值隨空間分布越均勻。比值的大小可約略估計如下。在式(9)中計入頻率步長Δω=(ωu－ω0)/M，根方差隨機誤差可寫為:

故當M變?yōu)樵档?倍時，根方差隨機誤差的比值:

根據式(5)和式(6)，譜密度的隨機誤差是對應頻率點處譜分解矩陣的某些元素之和;故式(13)中，根號內分子和分母都可視為與譜函數(shù)有近似線性關系，且分母部分相當于是對分子部分的加密采樣。當采樣值M很大時，分子的采樣已很密集，譜函數(shù)可視為分段線性，

表1 兩類譜表示法的總體相對誤差總和Tab.1 Sums of global relative stochastic errors produced by both OSRM and PSRM

表2 兩類譜表示法的根方差相對誤差總和Tab.2 Sums of relative stochastic errors of standard deviations produced by both OSRM and PSRM

4 結論

基于譜表示法模擬風場隨機誤差的解析解，以一個典型簡單風場模擬為算例，對原型和本征正交分解(POD)型兩類譜表示法的模擬誤差進行了詳細的對比分析，得到如下結論:

(1)POD型譜表示法的總體相對隨機誤差和根方差相對隨機誤差均小于原型譜表示法，算例中后者的總體和根方差相對誤差總和分別是前者的1.5和1.2倍左右，這是POD型譜表示法的一個重大優(yōu)點。

(2)POD型譜表示法的相對隨機誤差在空間分布是均勻的，而原型譜表示法有隨點號遞增的趨勢，即排序靠后的點誤差有大的額外增加;因此前者誤差分布優(yōu)于后者。

(3)增加頻率點數(shù)M可以有效的降低隨機誤差;當M值以倍數(shù)2增加時，總體相對隨機誤差以接近1.414的倍數(shù)遞減。

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Comparison between errors produced in simulating a wind field with original spectral representation method and POD-based one respectively

HU Liang1，2，GU Ming1，LI Li3

(1.State Key Lab for Disaster Reduction in Civil Eng.，Tongji Univ.，Shanghai 200092，China;2.State Key Lab of Subtropical Building Sci.，South China Univ.of Tech.，Guangzhou 510640，China;3.School of Civil Eng.and Mech.，Huazhong Univ.of Sci.and Tech.，Wuhan 430074，China)

Errors produced in simulating a stationary Gaussian multi－ variate wind process，with the original spectral representation method(OSRM)and the proper orthogonal decomposition－based one(PSRM)were assessed.To begin with，a set of formulas describing the two types of SRM and the closed－form stochastic errors produced with them were presented in a standard form.Accordingly，the errors produced in simulating a 64－point simplified wind field using PSRM and OSRM respectively were computed and then compared in terms of the global spectral stochastic errors and the relative ones of standard deviations.It was concluded from the numerical example that the errors produced with PSRM are not only less in total but also distributed more uniformly to every point than those with OSRM;thus PSRM should be preferred to.In addition，the influence of the point number of frequency sampling on the errors was discussed in detail.Some approaches for relieving the errors were also suggested.

spectral representation method(SRM);wind field simulation;error;comparison

TU973.31;U448.23+1

A

國家自然科學基金重大研究計劃(90715040);國家自然科學基金創(chuàng)新群體項目(50621062);國家科技支撐計劃(2006BAJ06B05);華南理工大學亞熱帶建筑科學國家重點實驗室開放基金(200822)

2009－12－15 修改稿收到日期:2010－01－19

胡 亮 男，博士后，1981年生

顧 明 男，教授，博士生導師，1957年生