梁 墨， 陳福全

(福州大學(xué) 土木工程學(xué)院， 福建 福州 350108)

目前，研究被動(dòng)樁與土體相互作用的分析與設(shè)計(jì)計(jì)算方法主要有四種：經(jīng)驗(yàn)法，基于土壓力的分析方法，基于土體變形的分析方法和有限單元法。經(jīng)驗(yàn)方法主要是根據(jù)實(shí)測(cè)資料建立堆載與樁基位移或最大彎矩的經(jīng)驗(yàn)圖表，沒(méi)有考慮土力學(xué)原理，沒(méi)有考慮土體條件、堆載形狀，因此擬合曲線離散性較大，很難推廣應(yīng)用；基于土壓力的分析方法簡(jiǎn)便實(shí)用，但沒(méi)有考慮樁土相互作用和變形的非線性，只能作為被動(dòng)樁的初步設(shè)計(jì)；有限元法雖然能夠考慮復(fù)雜的土體和堆載條件，但由于土體模型和參數(shù)確定困難，目前只能作為參數(shù)研究的輔助手段[1～3]。彈性地基梁法屬于基于土體變形的分析方法，與其他方法相比，是求解水平受荷樁的實(shí)用方法，不僅能反映樁土之間的相互作用，而且計(jì)算簡(jiǎn)便，有大量的參數(shù)選取經(jīng)驗(yàn)[4]。

本文對(duì)馮紫良[4]等彈性地基梁計(jì)算程序進(jìn)行改編，增加的功能包括土壓力計(jì)算、彈性地基梁計(jì)算及支護(hù)結(jié)構(gòu)和被動(dòng)樁的剛度、剛度基床系數(shù)和土壓力系數(shù)的反演，可用于地面堆載下鄰近單樁性狀的計(jì)算。

1 彈性地基梁法計(jì)算模型

在地面堆載作用下，被動(dòng)樁受到樁前土的擠壓而發(fā)生變形和位移，同時(shí)變形的被動(dòng)樁推擠樁后的土體，從而樁后土體也發(fā)生變形，并對(duì)樁施加了被動(dòng)抗力。彈性地基梁法就是將樁后的土體假定為Winkler彈性地基，土體等效為連續(xù)分布的彈簧，如圖1所示。

圖1 彈性地基梁法計(jì)算模型

1.1 樁前臨荷側(cè)土壓力

土體在地面堆載的作用下發(fā)生位移擠壓而在樁身產(chǎn)生的土壓力比較復(fù)雜，有不少學(xué)者[2]通過(guò)實(shí)驗(yàn)和理論推導(dǎo)來(lái)探求被動(dòng)樁的土壓力大小及分布形式，總結(jié)了一些結(jié)論。如：黃偉達(dá)和Ito等[5～7]根據(jù)塑性變形理論從單排樁角度推導(dǎo)出了移動(dòng)土體產(chǎn)生的極限側(cè)壓力計(jì)算公式，沈珠江[8]利用散體極限平衡理論推導(dǎo)了土體沿水平方向繞樁滑動(dòng)時(shí)樁身受到的繞流阻力公式等。

在程序中，不考慮土體繞樁滑動(dòng)，由于樁間土拱效應(yīng)的存在，按EI相等將單排樁等效成板樁，并且樁后土體被Winkler彈性地基取代。樁前臨荷側(cè)土壓力qa可以近似用擋土墻的朗肯主動(dòng)土壓力與地面堆載產(chǎn)生附加應(yīng)力的總和計(jì)算。其中朗肯主動(dòng)土壓力部分的計(jì)算按土力學(xué)中方法進(jìn)行。

王國(guó)粹[9]在研究路堤堆載對(duì)鄰近橋梁樁基影響時(shí)，將地面堆載在樁身產(chǎn)生的附加應(yīng)力用基于彈性理論的Boussinesq解來(lái)解答。本文編制程序時(shí)參考了這一做法，假設(shè)鄰近荷載形狀均布的條形荷載，地基內(nèi)任一點(diǎn)的內(nèi)力可以用Boussinesq解的積分形式求得。即條形荷載下地基中任意點(diǎn)M處的附加水平應(yīng)力如下

(1)

其中，參數(shù)β1,β2如圖2所示。

圖2 Boussinesq解參數(shù)β1,β2示意圖

1.2 樁后土抗力

根據(jù)彈性地基的局部變形理論，地基土對(duì)樁的反力強(qiáng)度qb與樁的側(cè)向變形y之間的關(guān)系為

qb=kby

(2)

式中，kb為地基系數(shù)(kN/m3)，表示單位體積土在彈性限度內(nèi)產(chǎn)生單位變形時(shí)所需加的力，可用m法計(jì)算，即kb=mz，m為地基反力系數(shù)(kN/m4)；z為計(jì)算深度(m)。本文分析m時(shí)的取值參考《公路橋涵地基與基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范》[10]，取該規(guī)范建議值的平均值。

2 彈性地基梁法有限單元求解

2.1 樁的離散

將被動(dòng)樁作為彈性地基梁，可用兩節(jié)點(diǎn)單元來(lái)進(jìn)行離散，如圖3(a)所示，以節(jié)點(diǎn)1，2，…，n+1將樁分為n個(gè)單元，樁和土的接觸面也分為n個(gè)子域。設(shè)第i單元長(zhǎng)度為li，樁寬度為Bi，兩端節(jié)點(diǎn)未知量為：側(cè)向位移yi和轉(zhuǎn)角θi，即任一節(jié)點(diǎn)i的位移wi可表示為

(3)

圖3 樁離散示意圖

在每個(gè)單元內(nèi)設(shè)立局部坐標(biāo)ξ，單元兩端節(jié)點(diǎn)處的坐標(biāo)分別設(shè)為ξ1=-1,ξ2=+1，如圖3(b)所示，局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)有以下?lián)Q算關(guān)系：

(4)

式中l(wèi)i為單元長(zhǎng)度，xc為單元中點(diǎn)的總體坐標(biāo)，其中l(wèi)i=x2-x1。

(5)

對(duì)式(4)取導(dǎo)數(shù)，可得到局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)之間的導(dǎo)數(shù)關(guān)系式：

(6)

于是對(duì)任意函數(shù)f有：

(7)

對(duì)應(yīng)的梁?jiǎn)卧灰坪瘮?shù)及其對(duì)應(yīng)的邊界條件參見(jiàn)文獻(xiàn)[4]。

2.2 單元能量公式

任意一純彎梁?jiǎn)卧猠的總勢(shì)能由單元的彎曲應(yīng)變能和外力勢(shì)能組成：

(8)

式中qa為被動(dòng)樁臨荷側(cè)土體位移引起的側(cè)向壓力；qb為被動(dòng)樁背荷側(cè)土體抗力；式(8)中右端第一項(xiàng)為樁彎曲勢(shì)能，第二項(xiàng)為臨荷側(cè)土壓力勢(shì)能，第三項(xiàng)為地基土的變形對(duì)結(jié)構(gòu)體系總勢(shì)能的貢獻(xiàn)Id。局部坐標(biāo)與總體坐標(biāo)系間的導(dǎo)數(shù)有下列關(guān)系：

(9)

從而得到：

(10)

式中B為單元的應(yīng)變位移矩陣：

w為單元的節(jié)點(diǎn)位移向量：

根據(jù)最小勢(shì)能原理，為使Ie達(dá)到極小值應(yīng)有：

(11)

解(11)方程組得：

(12)

K(e)

單元節(jié)點(diǎn)荷載F(e)為：

(13)

按通用的對(duì)號(hào)入座的方法可集成樁的整體剛度[K]、位移向量{W}以及節(jié)點(diǎn)荷載向量{F}，從而得到樁的整體平衡方程：

[K]{W}={F}

(14)

2.3 程序中反演參數(shù)的有限元原理

通常在求解巖土工程問(wèn)題中，反分析是利用工程中實(shí)測(cè)值(如應(yīng)力、位移等)，通過(guò)數(shù)值計(jì)算確定巖土介質(zhì)的力學(xué)參數(shù)，有時(shí)甚至是本構(gòu)模型反演，求得問(wèn)題所需的物理量。參數(shù)反分析方法可分為逆反演法和正反演法。本文采用正演方法確定力學(xué)參數(shù)，即把數(shù)值分析方法和數(shù)學(xué)規(guī)劃結(jié)合起來(lái)，通過(guò)不斷修正介質(zhì)的未知數(shù)，使得一些現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)值與相應(yīng)的數(shù)值分析計(jì)算值的差異達(dá)到最小。正演法不像反演法那樣需要重新推導(dǎo)數(shù)值分析的方法。反分析中正演法具有較強(qiáng)的適應(yīng)性，能處理各種類(lèi)型的反分析問(wèn)題，可以應(yīng)用于各種非線性問(wèn)題。

在正演法中，把一些實(shí)測(cè)值(如位移、應(yīng)力等)與相應(yīng)的數(shù)值分析計(jì)算值之差的平方和作為目標(biāo)函數(shù)F，即

(15)

上式中Si是隨土體的力學(xué)參數(shù){p}n的變化而變化，n為獨(dú)立變化的需要通過(guò)反分析確定的參數(shù)總數(shù)?？烧J(rèn)為Si是參數(shù){p}n的函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)F為參數(shù){p}n的函數(shù)。因此，反分析計(jì)算轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)的極小值問(wèn)題。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)F得到極小值時(shí)，其所對(duì)應(yīng)的參數(shù){p}n就是反分析所需要得到的最優(yōu)參數(shù)，即

(Pj)opt=Pj當(dāng)F(P)opt=min[F(P)]

(16)

為了平衡大小值之間作用和消除不同物理量的量綱，目標(biāo)函數(shù)采用如下形式

)2

(17)

對(duì)同一命題不同的目標(biāo)函數(shù)形式通常會(huì)有不同的反演結(jié)果。用實(shí)測(cè)位移反分析計(jì)算位移可以得到很好的結(jié)果，但計(jì)算內(nèi)力可能較差。然而，用內(nèi)力反分析可以得到較好的內(nèi)力和位移。采用不同的物理量會(huì)有不同的反分析效果，在目標(biāo)函數(shù)中對(duì)不同的量賦予不同的權(quán)數(shù)，可望達(dá)到更好的反演效果：

(18)

式中kj為目標(biāo)函數(shù)實(shí)測(cè)值的權(quán)數(shù)。

通常以上目標(biāo)函數(shù)是介質(zhì)力學(xué)參數(shù){p}n的復(fù)雜的非線性函數(shù)，一般無(wú)法采用解析法求解。上述方程可采用多種方法求解，如直接法、共軛方向法、變尺度法、單純形法、模式探索法等。

2.4 程序功能

程序采用FORTRAN語(yǔ)言編制，可用于地面堆載下被動(dòng)樁性狀的計(jì)算?？梢愿鶕?jù)地面堆載情況和土層信息正演計(jì)算出被動(dòng)樁臨荷側(cè)樁身土壓力，樁身位移，彎矩等數(shù)據(jù)；也可以通過(guò)已量測(cè)的部分樁身位移反演計(jì)算得到土體的地基反力系數(shù)和臨荷側(cè)樁身土壓力，進(jìn)而計(jì)算出更加準(zhǔn)確的結(jié)果。

3 算例

為了驗(yàn)證程序的正確性，本文用PLAXIS8.5和所編程序的正算與反演結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

3.1 概況

如圖4所示，算例為單排被動(dòng)樁，樁頂自由無(wú)約束，樁長(zhǎng)為20 m，樁截面為圓截面，樁徑為0.7 m，泊松比為0.167，樁身剛度為2.0×107kPa，將被動(dòng)樁等效為板樁后取板樁等效模量為1.0×107kPa，樁頭自由。堆載為均布荷載，作用區(qū)域?qū)?0 m，距樁頂中心距離為2.0 m，堆載大小取為60 kPa。模型左右計(jì)算范圍取60 m，由于軟土層厚度達(dá)10 m，樁土間可不設(shè)置介面單元[11]。

圖4 有限元模型

算例有兩種土層，上層是軟土層(淤泥質(zhì)粘土)，厚度為10 m，下層是硬土層(粉砂夾砂質(zhì)粉土)，厚度為15 m。有限元分析時(shí)土體的本構(gòu)模型采用HSS模型，相關(guān)參數(shù)來(lái)自上海地區(qū)深基坑開(kāi)挖時(shí)試驗(yàn)得到的土層參數(shù)。

HSS模型在有限元計(jì)算中需輸入以下參數(shù)：剛度依據(jù)某個(gè)冪率的應(yīng)力相關(guān)性，輸入?yún)?shù)m；主偏量加載引起的塑性應(yīng)變，輸入?yún)?shù)E50；主壓縮引起的塑性應(yīng)變，輸入?yún)?shù)Eoed；彈性卸載/重加載，輸入?yún)?shù)Eur；考慮小應(yīng)變情況，輸入?yún)?shù)G0，γ0.7；依據(jù)Mohr-Coulomb模型的破壞模式，輸入?yún)?shù)c，φ。表1為計(jì)算參數(shù)。

表1 土體計(jì)算參數(shù)表

本例中樁基在地面處位移最大值超過(guò)了6 mm，規(guī)范中指出當(dāng)位移較大時(shí)，應(yīng)適當(dāng)降低。所以算例中m的取值參考了王國(guó)粹[9]的取法，他通過(guò)計(jì)算多組m值組合樁身變形的綜合對(duì)比分析表明：選取海灣淤泥m1=1000 kN/m4，亞粘土m2=40000 kN/m4，弱風(fēng)化花崗巖m3=60000 kN/m4是合理的。結(jié)合規(guī)范和王國(guó)粹的取法，本例中軟土層m在表1中取值范圍為3000～5000 kN/m4，適當(dāng)取小后取m1=2000 kN/m4，硬土層m取值范圍為10000～20000 kN/m4，適當(dāng)取小后取m2=10000 kN/m4。

3.2 正算結(jié)果比較

圖5給出了計(jì)算結(jié)果，表明用彈性地基梁法編制的程序與用PLAXIS數(shù)值分析得到的結(jié)果近似。樁身的位移主要發(fā)生在軟土層，最大位移在樁頂處，樁身的最大正負(fù)彎矩分別在軟硬土層的交界處和軟土層中部附近。圖5(a)表明用彈性地基梁程序算出來(lái)的位移要比數(shù)值分析得到的結(jié)果略小。這是因?yàn)閺椥缘鼗悍ú捎脧椥约僭O(shè)，沒(méi)有考慮塑性變形，而有限元分析用到了彈塑性本構(gòu)模型，故其變形大；規(guī)范建議當(dāng)樁基在地面處的位移大于6 mm時(shí)，要適當(dāng)減小土體地基反力系數(shù)m的取值[10]，由于缺乏相關(guān)經(jīng)驗(yàn)且適當(dāng)減小的幅度沒(méi)有具體的標(biāo)準(zhǔn)，所以導(dǎo)致程序計(jì)算所取m比現(xiàn)實(shí)中m要大，從而土體抗力越大，樁身變形就越小。同時(shí)土體地基反力系數(shù)m的取值，對(duì)彈性地基梁法計(jì)算被動(dòng)樁的影響比較大。本文程序計(jì)算出來(lái)的臨荷側(cè)樁身土壓力比有限元計(jì)算的要小，有必要通過(guò)反演方法來(lái)獲得合適的m值和臨荷側(cè)樁身土壓力值。

圖5 本文程序與有限元計(jì)算結(jié)果比較

從圖5(b)可見(jiàn)，彈性地基梁程序得到的結(jié)果與有限元分析的結(jié)果相近，但程序計(jì)算的樁身頂部和底部出現(xiàn)了不大的反向彎矩?？赡艿脑蚴窃谟?jì)算朗肯土壓力時(shí)，樁頂處兩個(gè)單元的土壓力為負(fù)值，程序自動(dòng)將樁前土壓力負(fù)值取0，同時(shí)樁底處位移與轉(zhuǎn)角指定為0造成，但結(jié)果對(duì)樁身最大彎矩值和分布位置影響不大。

3.3 反演計(jì)算結(jié)果對(duì)比

對(duì)于計(jì)算中不易確定的地基反力系數(shù)m，可以通過(guò)程序中的反演功能得到，進(jìn)而得到樁身變形、彎矩等數(shù)據(jù)，另外臨荷側(cè)樁身土壓力也可以通過(guò)反演獲得。反演需要輸入的數(shù)據(jù)是通過(guò)實(shí)測(cè)或計(jì)算得到的部分樁身位移，輸入的不同部位樁身位移越多，越容易反演出準(zhǔn)確值，但輸入過(guò)多容易引起程序不收斂。

在實(shí)際工程中，樁頂在地表處的位移比較容易得到，所以算例反演時(shí)僅輸入由PLAXIS計(jì)算得到的樁頂水平位移15.6 mm，來(lái)觀察程序反演的效果。如果現(xiàn)場(chǎng)能得到更多的樁身位移，得到的結(jié)果將更準(zhǔn)確。在這個(gè)算例中將同時(shí)反演地基反力系數(shù)和臨荷側(cè)樁身土壓力，計(jì)算結(jié)果如圖6所示。從圖看出，反演計(jì)算得到的結(jié)果與PLAXIS計(jì)算的結(jié)果更加吻合，除樁頂處為反演輸入的位移外，樁身位移也相差不大，最大正負(fù)彎矩值和臨荷側(cè)樁身土壓力也更接近。

圖6 反演計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果對(duì)比

反演得到了dkcoef(1)、dkcoef(2)、qcoef(1)和qcoef(2)這四個(gè)參數(shù)，可以通過(guò)式(19)和(20)算出反演得到的m和臨荷側(cè)樁身土壓力qa：

(19)

(20)

算例中，算得dkcoef(1)= 1、dkcoef(2)=1、qcoef(1)=1.56和qcoef(2)=1，算得m=m0，qa=1.56qa0。也就是說(shuō)反演得到的地基反力系數(shù)等于輸入值，而反演得到的臨荷側(cè)樁身土壓力為正演計(jì)算qa結(jié)果的1.56倍。

在反演算例中同時(shí)反演了地基反力系數(shù)m和臨荷側(cè)樁身土壓力qa。在實(shí)際工程中，如果已經(jīng)通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)等手段獲得了準(zhǔn)確的m值或qa值，也可將測(cè)得的數(shù)據(jù)輸入程序而僅反演其中一個(gè)參數(shù)。在正演和反演計(jì)算中，允許手動(dòng)輸入已獲得的臨荷側(cè)樁身土壓力來(lái)取代程序本身的樁前土壓力計(jì)算結(jié)果，從而使樁前土壓力更符合實(shí)際而不局限于程序的假定形式。

4 結(jié) 論

(1)在樁身位移未知情況下，采用彈性地基梁法正演計(jì)算的結(jié)果與有限元的結(jié)果基本吻合，關(guān)鍵在于m值的選取和臨荷側(cè)樁身土壓力qa計(jì)算的準(zhǔn)確性。

(2)樁身的最大位移發(fā)生在樁頂處，樁身最大負(fù)彎矩發(fā)生在軟土層中部附近，最大正彎矩發(fā)生在軟硬土層交界處。

(3)樁身位移已知時(shí)，可用程序反演得到土體合適的地基反力系數(shù)m和臨荷側(cè)樁身土壓力。另外本文程序可以對(duì)多層土體的m值進(jìn)行反演。

(4)m法將土體看作彈性體，只適用于樁頂位移較小的情況。而樁的p-y曲線計(jì)算方法可以考慮土體的非線性行為，以后程序的改進(jìn)可以考慮采用p-y方法。

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