胡良平，賈元杰，高輝

在試驗(yàn)中，有時(shí)需要考察多個(gè)因素，且每個(gè)因素有多個(gè)水平，可以選用正交設(shè)計(jì)，如果用正交表安排試驗(yàn)，試驗(yàn)次數(shù)還是太多，可以應(yīng)用均勻設(shè)計(jì)。均勻設(shè)計(jì)是用最少的試驗(yàn)次數(shù)取得關(guān)于總體的盡可能充分的信息，它是只考慮試驗(yàn)點(diǎn)在試驗(yàn)范圍內(nèi)均勻散布的一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。該設(shè)計(jì)方法較相同規(guī)模的正交設(shè)計(jì)而言，大大降低了試驗(yàn)次數(shù)。

1 正交設(shè)計(jì)與均勻設(shè)計(jì)基本特點(diǎn)的比較[1]

當(dāng)試驗(yàn)因素較多而每個(gè)因素又有較多的水平時(shí)，通常會(huì)采用正交設(shè)計(jì)。正交設(shè)計(jì)特點(diǎn)是在全部因素所構(gòu)成的空間內(nèi)其試驗(yàn)點(diǎn)具有“均勻分散性”和“整齊可比性”?！熬鶆蚍稚ⅰ笨墒顾x取的少量試驗(yàn)點(diǎn)均勻地散布在所考察的范圍內(nèi)，各試驗(yàn)點(diǎn)具有較好的代表性，以此減少試驗(yàn)次數(shù)；“整齊可比性”可使試驗(yàn)結(jié)果的分析來(lái)得方便，便于找出主要因素和次要因素及最佳水平組合（最優(yōu)試驗(yàn)條件）。但是，為了達(dá)到“整齊可比”的目的，試驗(yàn)點(diǎn)的數(shù)目必然較多，試驗(yàn)因素皆取同水平的情況下，通常其因素的水平組合數(shù)（即所選用的正交表的行數(shù)）至少為水平數(shù)的平方。且當(dāng)試驗(yàn)因素的個(gè)數(shù)和水平數(shù)都大于 5 時(shí)，試驗(yàn)次數(shù)就會(huì)劇增。均勻設(shè)計(jì)可以克服正交設(shè)計(jì)的這個(gè)弱點(diǎn)。

均勻設(shè)計(jì)舍棄了正交設(shè)計(jì)中的整齊可比性，讓試驗(yàn)點(diǎn)在其試驗(yàn)空間范圍內(nèi)充分地“均勻分散”。這樣每個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)將具有更好的代表性，而試驗(yàn)點(diǎn)的數(shù)目可大幅度地減少，試驗(yàn)次數(shù)（試驗(yàn)點(diǎn)數(shù) × 各試驗(yàn)點(diǎn)上重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)）也就相應(yīng)地大量減少。在最節(jié)省樣本量的均勻設(shè)計(jì)中，每個(gè)因素的每個(gè)水平只出現(xiàn)一次，若不做重復(fù)試驗(yàn)，試驗(yàn)次數(shù)與水平數(shù)相等。例如，一個(gè) 8 水平的試驗(yàn)，正交設(shè)計(jì)至少需要 64 次試驗(yàn)，而均勻設(shè)計(jì)只需要 8 次試驗(yàn)，在科研經(jīng)費(fèi)不足的情況下均勻設(shè)計(jì)可以大大降低成本，達(dá)到一個(gè)較好的效果。均勻設(shè)計(jì)其試驗(yàn)次數(shù)少，且因素的水平可以適當(dāng)調(diào)整，故它在尋找最佳試驗(yàn)條件、最佳配比等方面是比較有力的工具。

2 均勻設(shè)計(jì)表的使用

均勻設(shè)計(jì)與正交設(shè)計(jì)相似，也是通過(guò)數(shù)學(xué)方法設(shè)計(jì)出一套均勻設(shè)計(jì)表，供研究者選用。均勻設(shè)計(jì)表的代號(hào)為其中“U”表示均勻設(shè)計(jì)，“n”表示表的行數(shù)，即表示全部因素的 n 種水平組合，“q”表示每個(gè)因素有 q 個(gè)水平，“s”表示該表的列數(shù)。U 的右上角加“*”和不加“*”代表兩種不同的均勻設(shè)計(jì)表，通常加“*”的均勻設(shè)計(jì)表有更好的均勻性，但表 Un比能安排更多的因素。如表示此均勻設(shè)計(jì)表有 6 行（代表因素的 6 種水平組合），試驗(yàn)中有 6 個(gè)因素，每個(gè)因素有 6 個(gè)水平；而表最多可以安排 4 個(gè)因素的試驗(yàn)，即表最多只能安排 [s/2]+ 1，這里 [s/2] 表示不超過(guò) s 的最大整數(shù)。故當(dāng)因素?cái)?shù) s較大，且超過(guò)的使用范圍時(shí)，可使用 Un表。

2.1 均勻設(shè)計(jì)表的特點(diǎn)

①在同類均勻表中，行數(shù)最少的均勻表為因素的水平數(shù)；②均勻設(shè)計(jì)表任兩列組成的試驗(yàn)方案一般并不等價(jià)，每一個(gè)均勻設(shè)計(jì)表必須有一個(gè)附加使用表；③當(dāng)因素的水平數(shù)增加時(shí)，均勻表的行數(shù)按水平數(shù)的增加量增加。如當(dāng)水平數(shù)從 7 水平增加到 8 水平時(shí)，均勻表的行數(shù) n 從 7 增加到8 或從 14 增加到 16。

2.2 均勻設(shè)計(jì)表的選擇原則

①應(yīng)根據(jù)要考察的因素個(gè)數(shù)和水平數(shù)選擇合適的均勻設(shè)計(jì)表；②當(dāng)試驗(yàn)中的因素個(gè)數(shù)少于均勻設(shè)計(jì)表中最多可安排的因素個(gè)數(shù)時(shí)，為確保不同因素水平的組合所對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)點(diǎn)在空間分布均勻，每個(gè)均勻設(shè)計(jì)表都配有一個(gè)使用表供查用。

2.3 均勻設(shè)計(jì)表的使用要點(diǎn)[2]

2.4 均勻設(shè)計(jì)表的應(yīng)用步驟[3]

3 均勻設(shè)計(jì)應(yīng)用的注意事項(xiàng)[4-5]

均勻設(shè)計(jì)可考察的水平數(shù)較多，故利用均勻設(shè)計(jì)對(duì)較多的影響因素進(jìn)行初篩，快速劃定考察范圍，再用正交設(shè)計(jì)或析因設(shè)計(jì)進(jìn)行較為仔細(xì)地研究，可以達(dá)到較好的效果。運(yùn)用均勻設(shè)計(jì)篩選最優(yōu)試驗(yàn)條件關(guān)鍵點(diǎn)在于指標(biāo)的選擇。一般可選取比較重要的一、二項(xiàng)指標(biāo)作為主要評(píng)價(jià)指標(biāo)；水平數(shù)與因素?cái)?shù)應(yīng)有適當(dāng)?shù)谋壤?，至少水平?shù)大于因素?cái)?shù)的 2 倍以上，才有利于正確使用回歸分析處理試驗(yàn)資料。因?yàn)槿羲綌?shù)設(shè)計(jì)得不合理，比如，與因素?cái)?shù)相等、甚至少于因素個(gè)數(shù)，此時(shí)，由均勻表所決定的試驗(yàn)點(diǎn)在高維空間中顯得非?！跋∈琛?，據(jù)此建立的回歸方程是很不穩(wěn)定的；重視回歸分析，選行數(shù) n 稍大的均勻設(shè)計(jì)表，在已知實(shí)際背景時(shí)少用多項(xiàng)式，在采用多項(xiàng)式時(shí)盡量考慮二次的，盡可能避免使用三次或四次多項(xiàng)式擬合資料；當(dāng)回歸方程完全擬合均勻設(shè)計(jì)定量資料時(shí)，可能不是好事，屬于“過(guò)擬合”，提示：有必要選擇行數(shù)較多的均勻表安排試驗(yàn)并重做試驗(yàn)。

4 如何用 SAS 軟件處理均勻設(shè)計(jì)一元定量資料

在三七的提取工藝中根據(jù)查找文獻(xiàn)及預(yù)試驗(yàn)的結(jié)果選定試驗(yàn)因素，選擇乙醇濃度 A，乙醇用量 B，回流時(shí)間 C，回流溫度 D，浸泡時(shí)間 E，5 個(gè)因素進(jìn)行考察，以三七提取的收率作為考察的指標(biāo)，將各因素考察范圍分為 11 個(gè)水平，數(shù)據(jù)見(jiàn)表 1。擬挑選出最優(yōu)試驗(yàn)條件。

表 1 三七提取工藝試驗(yàn)因素水平

設(shè)計(jì)需求分析與計(jì)算的 SAS 實(shí)現(xiàn)：①研究者根據(jù)文獻(xiàn)或預(yù)試驗(yàn)的結(jié)果選定 5 個(gè)試驗(yàn)因素分別是“乙醇濃度 A，乙醇用量 B，回流時(shí)間 C，回流溫度 D，浸泡時(shí)間 E”，每個(gè)因素各有 11 個(gè)水平。如果選用正交設(shè)計(jì)至少需要112= 121 次，試驗(yàn)次數(shù)太多，一般研究者很難承受。試驗(yàn)次數(shù)最少的均勻設(shè)計(jì)只需 11 次試驗(yàn)，可較好實(shí)現(xiàn)節(jié)約試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)和時(shí)間的目的。

②試驗(yàn)共有 5 個(gè)因素，每個(gè)因素均有 11 個(gè)水平，根據(jù)均勻設(shè)計(jì)表可以選擇 U11(116)見(jiàn)表 2。

表 2 U11(116)均勻設(shè)計(jì)表

U11(116)的使用表

表 3 三七提取試驗(yàn)均勻設(shè)計(jì)安排表 U11(115)

表 4 各變量全排列組合回歸分析 F 值情況

從以上結(jié)果可以看出變量個(gè)數(shù)為 9 時(shí) F 值最大（F =92812.2），選取這個(gè)變量組合篩選出的自變量 x1、x5、x6、x7、x8、x9、x10、x11、x12 建立多重線性回歸方程。

⑤將篩選出的自變量進(jìn)行回歸分析，建立回歸方程。SAS 程序如下：

data junyun; /*數(shù)據(jù)步*/input x1 x2 x3 x4 x5 y;x1=(x1-700)/50;x2=(x2-100)/10;x3=(x3-6)/1;x4=(x4-65)/5;x5=(x5-16)/2;x6=x1**2;x7=x2**2;x8=x3**2;x9=x4**2;x10=x5**2;x11=x1*x2;x12=x1*x3;x13=x1*x4;x14=x1*x5;x15=x2*x3;x16=x2*x4;x17=x2*x5;x18=x3*x4;x19=x3*x5;x20=x4*x5;cards;450 60 3 70 14 0.362 500 80 6 40 22 0.313 ods html; /*第 1 步*/proc reg data=junyun;model y= x1 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 / r p vif collin collinoint;run;proc princomp data=junyun out=pc2 prefix=z; /*第 2 步*/var x1 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12;run;proc reg data=pc2; /*第 3 步*/model y=z1-z9/ r p vif stb;run;quit;

550 100 9 65 8 0.630 600 120 1 90 16 0.690 650 140 4 60 24 0.585 700 50 7 85 10 0.595 750 70 10 55 18 0.456 800 90 2 80 26 0.655 850 110 5 50 12 0.399 900 130 8 75 20 0.685 950 150 11 45 6 0.460；run;ods html close;

數(shù)據(jù)步中 x1 ～ x5 的數(shù)量級(jí)相差較大，將這五個(gè)變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換。第 1 步是將篩選出的 9 個(gè)變量（含派生出的新變量，即交叉乘積項(xiàng)和平方項(xiàng)）進(jìn)行回歸分析，并使用r、collin 和 collinoint 選項(xiàng)進(jìn)行殘差分析及共線性診斷。這部分結(jié)果如下：

Analysis of variance

值得注意的是：當(dāng) F 值很大時(shí)，SAS 系統(tǒng)給出的 P 值是不正確的，正確的結(jié)果為：P < 0.0001

這是對(duì)回歸方程進(jìn)行方差分析，其擬合效果較好（F =92812.2，P = 0.0025 < 0.05，R2= 1）。

Parameter estimates

這是多重線性回歸分析參數(shù)估計(jì)的結(jié)果。截距項(xiàng)及各變量的系數(shù)與 0 的差異都有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P < 0.05）。由最后一列“方差膨脹因子”可看出，除 x5 與 x9 與其他自變量間不存在共線性外，其他自變量之間均存在嚴(yán)重的多重共線性。由 collin 和 collinoint 兩個(gè)選項(xiàng)產(chǎn)生的多重共線性診斷結(jié)果（篇幅很大，從略）與方差膨脹因子診斷結(jié)果基本一致。

Output statistics

這是對(duì)回歸方程作殘差分析的結(jié)果，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)異常點(diǎn)。由于變量間存在嚴(yán)重的多重共線性，故第 3 步對(duì) 9 個(gè)自變量進(jìn)行主成份分析。主要輸出結(jié)果如下：

因篇幅所限，相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值、貢獻(xiàn)率、累積貢獻(xiàn)率和特征向量均從略。根據(jù)給出的特征向量可以寫出由標(biāo)準(zhǔn)化變量所表達(dá)的各主成份的關(guān)系式，可得到下式：

程序中的第 3 步將這 9 個(gè)主成份作為新自變量進(jìn)行回歸分析，并輸出回歸方程的標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)。主要輸出結(jié)果如下：

Analysis of variance

Parameter estimates

模型總體較好地?cái)M合了數(shù)據(jù)（F = 92812.2，P = 0.0025 <0.05，R2= 1）。截距項(xiàng)及 z1 ～ z9 的系數(shù)與 0 的差異均有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義?；貧w方程如下：

將 z1 ～ z9 的表達(dá)式回代到上面回歸方程，得：

將上面回歸方程中標(biāo)準(zhǔn)化后的 X 還原為原始的 x，得：

將 5 個(gè)因素及其派生變量的各種水平取值組合代入回歸方程找出最佳試驗(yàn)條件，程序太長(zhǎng)這里不列出。結(jié)果是當(dāng)x1 取 900，x2 取 50，x3 取 1，x4 取 40，x5 取 26 時(shí)，y收率達(dá)到最大為 74.193%。

回顧整個(gè)過(guò)程，得出的回歸方程很好地?cái)M合了數(shù)據(jù)（F = 92812.2，P = 0.0025 < 0.05，R2= 1），且殘差分析的結(jié)果為因變量的值和預(yù)測(cè)值相差非常微小，幾乎可以說(shuō)這個(gè)超平面穿過(guò)每一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)（這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上被稱為“過(guò)擬合”），但最終得到的這個(gè)結(jié)果可以作為定論嗎？答案是否定的。均勻設(shè)計(jì)的特點(diǎn)是因素多、水平多、試驗(yàn)點(diǎn)少，滿足均勻分散性喪失了整齊可比性，僅僅選取了 11 個(gè)具有代表性的試驗(yàn)點(diǎn)（方程中卻有 9 個(gè)變量），其結(jié)果十分不穩(wěn)定。只要增加一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)其最終結(jié)果就可能會(huì)發(fā)生很大改變，故最后結(jié)果不能代表所有變量在五維空間中的整體變化趨勢(shì)，要想使試驗(yàn)結(jié)果達(dá)到穩(wěn)定必須增加試驗(yàn)點(diǎn)，并在各試驗(yàn)點(diǎn)上進(jìn)行足夠多次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)，但這樣做必然使試驗(yàn)次數(shù)成倍增加，喪失了均勻設(shè)計(jì)的初衷和意義。因此，均勻設(shè)計(jì)只能作為探索性分析的有效工具，得出的結(jié)果僅作為初步篩選出有意義的因素和交互作用項(xiàng)，為后續(xù)的深入研究奠定必要基礎(chǔ)，而不能作為整個(gè)試驗(yàn)的定論。也就是說(shuō)，當(dāng)一個(gè)試驗(yàn)有很多因素及水平時(shí)，我們可以先運(yùn)用均勻設(shè)計(jì)找出對(duì)因變量影響較大的因素，縮小需考察的因素范圍和水平的個(gè)數(shù)，繼而再應(yīng)用析因設(shè)計(jì)或正交設(shè)計(jì)，進(jìn)一步考察因素的效應(yīng)及其交互效應(yīng)，這樣才能得到具有高度重現(xiàn)性的確定性結(jié)論，得出的最終結(jié)果才是有意義的（經(jīng)得起時(shí)間和實(shí)踐的檢驗(yàn)）。

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