吳有英，馬玉林

(1.山東財政學(xué)院會計學(xué)院;2.山東財政學(xué)院科研處，山東濟(jì)南 251000)

一、前言

股票收益的波動率，對于組合選擇、風(fēng)險管理以及期權(quán)定價都相當(dāng)重要。我們引用克萊夫·格蘭［1］(2003)的一句話“過去十幾年，特別是在時間序列方面，主要是波動率占據(jù)了研究的主要內(nèi)容和重心”，由引可見，波動率在金融領(lǐng)域的地位非同一般。而對于波動率的研究，又主要集中在對它的度量和預(yù)測?；仡欉^去，度量波動率最初的方法始自于馬克維茨的MPT理論，該理論的普及使得標(biāo)準(zhǔn)差方法極度盛行，從而使得它在經(jīng)典金融學(xué)理論中得到了廣泛的應(yīng)用，如后來的CAPM模型、APT理論以及B－S模型等。在隨后的研究中，經(jīng)濟(jì)學(xué)家們觀察到股票收益的波動呈現(xiàn)出叢聚性(clustering)和時變性(time varying)，收益率正態(tài)分布的假定受到了廣泛的質(zhì)疑。直到1982年，Engle［2］在研究英國通貨膨脹率時提出了ARCH模型，它成功地模擬了波動率的叢聚性和時變性，從而獲得了空前的成功，以至于21年后，Engle因ARCH模型獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。波動率的大規(guī)模研究應(yīng)該始自于Bollerselve［3］(1986)， GARCH模型的提出一方面更好地解釋了波動率的持續(xù)性，彌補(bǔ)了ARCH模型的不足，另一方面為后續(xù)模型的提出提供了一個良好的基礎(chǔ)。毫無疑問，GARCH模型意義深遠(yuǎn)，以至于直到今天，GARCH(1，1)模型仍是GARCH類模型中應(yīng)用最為廣泛的一個。在隨后的發(fā)展中，又有許多新的方法出現(xiàn)，如Taylor(1986)提出了隨機(jī)波動(Stochastic Volatility)模型，以及度量波動率的一些非參數(shù)方法，如收益絕對值、收益極差等。

眾多波動率度量方法的盛行必然會帶來一個問題，哪種度量方法度量得最精確?這就涉及到對各種波動率度量方法和度量效果的一個評價，但評價標(biāo)準(zhǔn)是什么，也即真實(shí)的波動率是什么?事實(shí)上，真實(shí)的波動率本身又是無法觀察到的，這就使該問題的解決陷入一個尷尬的境地。

Merton［4］(1980)指出:在樣本頻率充分大的條件下，通過加總高頻平方變量的值，一個獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的方差(在一個固定期限內(nèi))，可以被估計得充分精確。Merton(1980)、French，Schwert，Stambaugh［5］(1987)等用日收益數(shù)據(jù)來估計股票月波動率，實(shí)際波動率(Realized Volatility)被正式提出。經(jīng)過十多年的發(fā)展，實(shí)際波動率理論也漸趨完善。它的出現(xiàn)，使得真實(shí)波動率成為可觀測的變量，從而使得上述問題的解決有了方向。它完全地打破了傳統(tǒng)的波動率研究思路，徹底地顛覆了傳統(tǒng)的波動率度量方法，成為引領(lǐng)波動率研究的一個嶄新的亮點(diǎn)和新的方向。

在眾多的研究中，最具代表性的當(dāng)屬Andersen等人的一系列研究，如Andersen，Bollerslev［6］(1998)，Andersen，Bollerslev，Diebold，Labys［7－10］(1999，2000，2001，2003，后簡稱ABDL)，Andersen，Bollerslev，Diebold，Ebens［11］(2001，后簡稱ABDE)，Andersen，Bollerslev，Diebold［12］(2002)。其它的研究如:Schwert(1998)，Ebens［13］(2000)，Oomen［14］(2001)，Bandi［15］(2003)等等。

實(shí)際波動率在國內(nèi)還屬于新興事物，對它的認(rèn)識才剛剛開始，對它的研究可謂鳳毛麟角。黃后川［16］(2003)利用A、B股指數(shù)對實(shí)際波動率進(jìn)行了較為系統(tǒng)的研究。施紅俊等［17］(2003)對實(shí)際波動率理論和實(shí)證進(jìn)行過一個綜述。

本文的目的在于揭開實(shí)際波動率的面紗，對上述實(shí)際波動率及其相關(guān)變量的性質(zhì)進(jìn)行實(shí)證研究，讓人們對它有一個更加清晰的認(rèn)識，從而可以利用它為投資服務(wù)。

二、理論背景、算法及已有結(jié)論

實(shí)際波動率的理論背景主要是基于收益分解和二次變動理論。

假定N×1對數(shù)價格向量Pt，遵循如下多變量連續(xù)時間隨機(jī)波動擴(kuò)散模型:

Wt表示N維布朗運(yùn)動過程，Ωt為N×N維正定擴(kuò)散矩陣，且嚴(yán)格平穩(wěn)。條件于樣本路徑特征μt和Ωt下，在［t，t+h］上連續(xù)復(fù)合收益為:

它服從Gaussian分布:

借助于二次變動理論，可以得知，在△→0時，有:

則實(shí)際協(xié)方差矩陣可以表示為:

對于第j只股票，其實(shí)際方差可用矩陣對角線上的元素表示為:={Covt}j，j

對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差表示為:lvj，t=log(Vj，t);我們把第i只股票和第j只股票的相關(guān)系數(shù)表示為:Corri，j，t={Covt}i，j/Vi，t·Vj，t

國外的文獻(xiàn)在大量實(shí)證研究的基礎(chǔ)上，得出的一些基本的結(jié)論有:

①ri，t/Vi，t的分布接近于正態(tài);即:日收益序列經(jīng)日實(shí)際波動率標(biāo)準(zhǔn)化后的序列近于正態(tài)分布。

③Covi，j，t顯著右偏，但Corri，j，t卻接近于正態(tài)分布;即:第i只股票與第j只股票的實(shí)際協(xié)方差所構(gòu)成的序列的分布顯著右偏，但它們之間的實(shí)際相關(guān)系數(shù)所構(gòu)成的序列的分布卻近于正態(tài)。

④lVj，t和Corri，j，t具有長記憶性;即:對數(shù)實(shí)際波動率序列和實(shí)際相關(guān)系數(shù)序列具有長記憶性特征。

⑤LogVi，t和logVj，t具有顯著的相關(guān)性。即:任兩只股票的對數(shù)波動率之間具有顯著的相關(guān)性。

三、實(shí)證及分析

(一)樣本說明

由于實(shí)際波動率要求樣本有盡可能好的流動性，故本文以上證180樣本股為總樣本，根據(jù)實(shí)證的需要，從中隨機(jī)抽取30只，股票代碼及名稱見表1。實(shí)際波動率要求樣本有盡可能高的頻率，本文采用日內(nèi)分鐘交易數(shù)據(jù)，時間跨度為2008年1月7日至2009年12月31日。數(shù)據(jù)來源于潤金數(shù)據(jù)庫。以下實(shí)證結(jié)果在SAS8.2上實(shí)現(xiàn)。

表1 樣本股基本信息

表2 收益率和標(biāo)準(zhǔn)化收益序列的描述性統(tǒng)計值(30只樣本)

(二)實(shí)證結(jié)果及分析

1.收益和標(biāo)準(zhǔn)化收益

表2展示了30只樣本的收益率序列及標(biāo)準(zhǔn)化收益序列分布的描述性統(tǒng)計特征。

從表2可以看出，收益序列表現(xiàn)出明顯的尖峰狀態(tài)，30個樣本中最小的峰度值為4.99，平均峰度值為7.64;并且表現(xiàn)出明顯的右偏趨勢，偏度的中位數(shù)為0.47，均值為0.53。而對于標(biāo)準(zhǔn)化收益序列，其峰度和偏度的分布則完全不同。其峰度值分布在3左右，30個樣本中最小的峰度值為2.36，最大的為4.75，中位數(shù)為2.72，較之收益序列的峰度下降了很多;它的偏度的均值為 －0.059，比較接近于0。從最右列的正態(tài)性檢驗(yàn)的P值可以看出，30只樣本中有75%以上的樣本在1%顯著水平下不拒絕正態(tài)分布(在5%水平下，有22個不拒絕正態(tài)分布，在1%水平下，有26個不拒絕)，這與GARCH模型中的標(biāo)準(zhǔn)化殘差的尖峰分布形成了鮮明的對比，Bollerslev，Engle，Nelson(1994)對此進(jìn)行了一般的討論。圖 1為600085(從30只樣本中隨機(jī)抽取)的標(biāo)準(zhǔn)化收益序列的核密度圖。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)化收益序列的核密度圖

圖2 實(shí)際相關(guān)系數(shù)序列的核密度圖

2.方差和對數(shù)實(shí)際波動率

下面給出了實(shí)際方差、實(shí)際波動率及對數(shù)實(shí)際波動率分布的描述性統(tǒng)計量。

可以看出，實(shí)際方差的分布呈顯著的右偏，實(shí)際波動率的右偏趨勢有所減弱，偏度的中位數(shù)從7.24減到了2.69，說明實(shí)際波動率有接近于對稱分布的趨勢;再看對數(shù)實(shí)際波動率的偏度，雖然還是呈右偏的趨勢，但其程度卻大大減小，其偏度的中位數(shù)為0.52。峰度的變化趨勢則更為明顯，從實(shí)際方差到對數(shù)實(shí)際波動率，峰度的中位數(shù)從73.95減到了3.67。對30個樣本的對數(shù)實(shí)際波動率序列進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，在5%水平下，有7只不拒絕正態(tài)分布，在1%水平下，有9只不拒絕。由此可以發(fā)現(xiàn)，雖然不能說對數(shù)實(shí)際波動率呈現(xiàn)出了正態(tài)分布，但它確實(shí)在向正態(tài)分布靠近。圖3、圖4為樣本600085實(shí)際波動率及對數(shù)實(shí)際波動率的核密度圖。

上面的實(shí)證結(jié)果與ABDE(2001)的實(shí)證結(jié)論是一致的。關(guān)于對數(shù)實(shí)際波動率的分布近于正態(tài)的結(jié)論可以在 Taylor(1986)，F(xiàn)rench，Schwert，Stambaugh(1987)的研究中找到原形，他們用日收益數(shù)來計算月實(shí)際波動率，發(fā)現(xiàn)月實(shí)際波動率的對數(shù)呈現(xiàn)出近于正態(tài)的分布。

以上的研究是基于單變量的收益和波動率的研究，然而在資產(chǎn)定價、組合選擇以及風(fēng)險管理中無一不涉及到多變量的情形。因此下面進(jìn)一步研究變量之間的實(shí)際協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的分布特征。

表3 實(shí)際方差和實(shí)際波動率分布的描述性統(tǒng)計統(tǒng)計量

表4 對數(shù)實(shí)際波動率分布的描述性統(tǒng)計量

3.協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

實(shí)際協(xié)方差是計算30個樣本中每一個樣本序列與其它29個樣本序列的實(shí)際協(xié)方差，計算的樣本頻率為5分鐘，共得435個序列。由于30個樣本不可能在所取的時間段上均有交易，因此，在計算的過程中筆者剔除了那些非共有的交易時段。

由表5可以看出，實(shí)際協(xié)方差呈顯著的右偏尖峰狀態(tài)，相關(guān)系數(shù)則呈輕微的右偏趨勢。其偏度的中位數(shù)為0.019，峰度的中位數(shù)為3.15。對它進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，在5%顯著水平下，有382個序列不拒絕正態(tài)分布，在1%水平下，有416個不拒絕。表明相關(guān)系數(shù)序列比較接近于正態(tài)分布。圖2為樣本600085與樣本600000的實(shí)際相關(guān)系數(shù)的核密度圖。

4.相關(guān)性研究

下面對實(shí)際波動率、對數(shù)實(shí)際波動率及相關(guān)系數(shù)的相關(guān)性進(jìn)行研究。為了更深入地研究實(shí)際波動率序列的相關(guān)性特點(diǎn)，首先對序列進(jìn)行L－B Portmanteau檢驗(yàn)，表6為30個樣本進(jìn)行各項(xiàng)檢驗(yàn)后的百分位數(shù)值，從第三欄可以看出，其直到24階的自相關(guān)函數(shù)值均高度顯著，表明序列存在顯著的自相關(guān)現(xiàn)象。仍以600085為例，圖5為它的實(shí)際波動率序列圖，從圖中可以看出，波動率呈現(xiàn)出明顯的叢聚性和相關(guān)性，這與ARCH類模型所刻畫的波動率現(xiàn)象是一致的。但其自相關(guān)函數(shù)衰減較快(圖6，至10階左右后變得不顯著);接著對序列進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，表6的第五欄反應(yīng)了ADF檢驗(yàn)相應(yīng)的P值，可以看出檢驗(yàn)結(jié)果均高度顯著，均拒絕單位根假定，說明序列均為平穩(wěn)序列。最后對它們進(jìn)行R/S分析，表6最末一欄為樣本各序列R/S分析的結(jié)果，d的中位數(shù)為0.34，表明了原序列均存在顯著的長記憶特征。

表5 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的描述性統(tǒng)計特征

表6 實(shí)際波動率相關(guān)性檢驗(yàn)統(tǒng)計量

表7為對數(shù)實(shí)際波動率各項(xiàng)檢驗(yàn)的百分位數(shù)值，從中可以看出，所有樣本自相關(guān)函數(shù)的24階Q統(tǒng)計量均高度顯著。對樣本進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，其檢驗(yàn)值也高度顯著，表明對數(shù)實(shí)際波動率樣本序列均為平穩(wěn)序列。表7最右列給出了對30個樣本序列進(jìn)行R/S分析的d值?？梢钥闯觯械臉颖揪哂酗@著的長記憶特征。

表7 對數(shù)實(shí)際波動率相關(guān)性檢驗(yàn)統(tǒng)計量

樣本600085的對數(shù)實(shí)際波動率值見圖7，它同樣表現(xiàn)出了波動率的叢聚性和相關(guān)性。它的樣本自相關(guān)圖見圖8。雖然它并沒有表現(xiàn)出緩慢的雙曲衰減模式，但直至10階左右時，它進(jìn)入95%置信區(qū)間內(nèi)。

表8概括了30個樣本的435個相關(guān)系數(shù)序列的自相關(guān)檢驗(yàn)值、單位根檢驗(yàn)值以及長記憶檢驗(yàn)值。從中可以看出，90%以上的相關(guān)系數(shù)的Q統(tǒng)計量高度顯著，ADF檢驗(yàn)值全部顯著，R/S分析的結(jié)果也表明相關(guān)系數(shù)具有顯著的長記憶特征。

表8 相關(guān)系數(shù)相關(guān)性檢驗(yàn)統(tǒng)計量

從以上實(shí)證研究可以得出:實(shí)際波動率序列、對數(shù)實(shí)際波動率序列、相關(guān)系數(shù)序列的自相關(guān)函數(shù)均具有較為緩慢的衰減模式;且均為平穩(wěn)序列;均具有顯著的長記憶特征。下面對不同股票的對數(shù)實(shí)際波動率的相關(guān)性進(jìn)行研究，表9為實(shí)證結(jié)果。

表9 對數(shù)實(shí)際波動率的相關(guān)系數(shù)的描述性統(tǒng)計特征

從上表可以看出，相關(guān)系數(shù)的中位數(shù)為0.43，表明各樣本的波動率序列具有同向運(yùn)動(comovement)的趨勢，并且這種趨勢較為強(qiáng)烈。ABDE(2001)也得出了類似的結(jié)論，并用波動率的因子結(jié)構(gòu)作了解釋。

四、結(jié)論

通過以上實(shí)證研究，本文可以得出以下結(jié)論:

1.經(jīng)實(shí)際波動率標(biāo)準(zhǔn)化的收益率序列接近于正態(tài)分布;2.對數(shù)實(shí)際波動率序列的分布接近于正態(tài);3.實(shí)際相關(guān)系數(shù)序列接近于正態(tài)分布;4.實(shí)際波動率序列、對數(shù)實(shí)際波動率及相關(guān)系數(shù)序列均具有顯著的長記憶特征;5.不同股票的對數(shù)波動率序列之間具有顯著的相關(guān)性。

可以發(fā)現(xiàn)，這與第二節(jié)提到的國外文獻(xiàn)研究的結(jié)論是一致的。由此我們可以得出，實(shí)際波動率是一種理論，它并不局限于某個特定市場，我們研究它、認(rèn)識它、了解它，從而可以利用它，為我們進(jìn)行組合選擇、風(fēng)險管理服務(wù)。隨著人們對實(shí)際波動率理論認(rèn)識的深入，該理論的巨大應(yīng)用價值一定會更加凸顯。

［1］Poon，SH and Granger，Clive W.J.，2003，F(xiàn)orecasting Volatility in Financial Markets:A Review，Journal of Economic Literature.Vol.XLI，June 2003..478－539.

［2］Engle，Robert F.，1982，Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation，Econometrica，50，4，987－1007.

［3］Bollerslev，Tim，1986，Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity，Journal of Econometrics，31， 307－327.

［4］Merton，R.C.，1980，On Estimating the Expected Return on the Market:An Exploratory Investigation，Journal of Financial Economics，8，323－361.

［5］French，K.R.，G.W.Schwert and R.F.Stamb augh，1987，"Expected Stock Returns and Volatility，"Journal of Financial Economics，19，3－29.

［6］Andersen，T.G.＆Bollerslev，T.，1998，Answering the skeptics:Yes，standard volatility models do provide accurate forecasts＇，International Economic Review 39，4，885 905.

［7］Andersen，T.G.，T.Bollerslev，F(xiàn).X.Diebold and P.Labys，1999，realized volatility and correlation，www.ssc.upenn.edu/～fdiebold/papers/paper29/temp.pdf

［8］Andersen，T.G.，T.Bollerslev，F(xiàn).X.Diebold and P.Labys，2000，Exchange Rate Returns Standardized by Realized Volatility are，Nearly Gaussian，Multinational Finance Journal，4，159－179.

［9］Andersen，T.G.，T.Bollerslev，F(xiàn).X.Diebold and P.Labys，2001a，The Distribution of Realized Exchange Rate Volatility，Journal of the American Statistical Association，96，42－55.

［10］Andersen TG，Bollerslev T，Diebold FX，Labys P.2003.Modeling and forecasting realized volatility.Econometrica 71:579－625.

［11］Andersen，T.G.，T.Bollerslev，F(xiàn).X.Diebold and H.Ebens，2001，The Distribution of Realized Stock Return Volatility，Journal of Financial Economics，61，43－76.

［12］Andersen TG，Bollerslev T，Diebold FX.2002.Parametric and nonparametricvolatilitymeasurement，In Handbook of Financial Econometrics，Hansen LP，Ayt－Sahalia Y，eds;NorthHolland:Amsterdam，forthcoming.

［13］Ebens，Heiko，2000，On Modeling and Forecasting Stock Volatility，Dissertation Abstracts International，Volume:62－02，Section:A，page:0697.;Advisers:Pedro de Lima;Tim Bollerslev.

［14］Oomen RC.A.，2001，Using High Frequency Stock Market Index Data to Calculate，Model＆Forecast Realized Return Variance，www.panagora.com/2001crowell/ 2001cp_30.pdf.

［15］Bandi，F(xiàn)M and Russell，JR，2003，Microstructure Noise，Realized Volatility，and Optimal Sampling，http:// www.sess.smu.edu.sg/events/Paper/bandi.pdf.

［16］黃后川，陳浪南.中國股票市場波動率的高頻估計與特性分析［J］.經(jīng)濟(jì)研究，2003，(2):75－82.

［17］施紅俊，馬玉林，陳偉忠.實(shí)際波動率理論及實(shí)證綜述［J］.山東科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2003，(3): 101－105.