李培超

(上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,上海 201620)

地面沉降變形非線性完全耦合數(shù)學(xué)模型

李培超

(上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,上海 201620)

基于多孔介質(zhì)有效應(yīng)力原理的滲流-變形耦合,考慮孔隙度、滲透率非線性變化,建立三維地面沉降變形完全耦合數(shù)學(xué)模型,并給出了模型的有限差分解法.該模型可以刻畫地下水開采、建筑物荷載、基坑降水等作用下的三維地下水滲流場和地層變形位移場,分析地面沉降的三維變化與非線性特征,為地面沉降研究與防治提供技術(shù)手段.

地面沉降;有效應(yīng)力原理;流固耦合;三維位移場;非線性變化模型;有限差分法

因地下流體(如地下水、石油天然氣、地?zé)岬?過量開采而導(dǎo)致的地面沉降,已成為目前全球面臨的比較嚴(yán)峻的環(huán)境地質(zhì)災(zāi)害問題[1].長江三角洲是我國地面沉降最嚴(yán)重的地區(qū)之一.因開采地下水,上海于1921年就已發(fā)現(xiàn)地面沉降現(xiàn)象,截至2005年地面沉降已達(dá)2.6m[2].地面沉降作為緩變型地質(zhì)災(zāi)害,不僅會(huì)造成巨大的危害和經(jīng)濟(jì)損失,而且還會(huì)對(duì)未來工程建設(shè)構(gòu)成潛在的隱患和威脅,影響人們的生產(chǎn)和生活.

數(shù)學(xué)模型法作為地面沉降預(yù)測評(píng)價(jià)最重要的手段之一,一直是國內(nèi)外學(xué)術(shù)界密切關(guān)注的研究領(lǐng)域.本文嘗試建立基于多孔介質(zhì)有效應(yīng)力原理的非線性地面沉降變形完全耦合數(shù)學(xué)模型,并給出其有限差分解法.

1 地面沉降完全耦合數(shù)學(xué)模型研究概述

1.1 完全耦合模型研究現(xiàn)狀及分析

按照地下水滲流模型和土體變形模型結(jié)合形式,地面沉降數(shù)學(xué)模型可分為三大類:兩步走模型、部分耦合模型和完全耦合模型[3].

完全耦合模型的理論基礎(chǔ)是Biot三維固結(jié)理論[4],其假設(shè)孔隙水與土體顆粒不可壓縮以及水流符合達(dá)西定律,根據(jù)有效應(yīng)力原理、土的連續(xù)性方程和應(yīng)力平衡方程并結(jié)合地下水流方程,推導(dǎo)建立了三維固結(jié)理論,奠定了多孔介質(zhì)流固耦合滲流理論的基礎(chǔ).

在求解地面沉降方面,Lewis等[5]以此為基礎(chǔ)提出完全耦合模型,并運(yùn)用于威尼斯的地面沉降計(jì)算中,結(jié)果表明水頭下降和地面沉降比兩步計(jì)算較快地趨于穩(wěn)定.Tarn等[6]分析了各向異性多孔介質(zhì)因點(diǎn)匯導(dǎo)致的地面沉降.His等[7-8]用完全耦合模型分析了在有潛水的含水地層中抽取地下水引起的地面沉降問題.近年來國內(nèi)也開展了地面沉降完全耦合模型的研究,陳杰等[9]運(yùn)用Biot二維固結(jié)有限元程序計(jì)算了某長江公路大橋橋位區(qū)因長期過量開采地下水而引起的地面沉降.駱祖江等[10]以Biot三維固結(jié)理論為基礎(chǔ),引用孔隙度、滲透率非線性動(dòng)態(tài)變化模型[11-12],利用有限元方法,模擬了上海市第四紀(jì)松散沉積層某深基坑降水引起的地面沉降問題.

以上完全耦合模型,雖然一般都以Biot三維固結(jié)理論為基礎(chǔ),但實(shí)際上關(guān)注和計(jì)算的還是垂向沉降,而對(duì)水平位移基本上沒有分析和討論.而實(shí)際上地面變形是三維的,其水平位移通常是存在的,而且也相當(dāng)重要.許多現(xiàn)場量測結(jié)果表明,地下水抽取引起地面沉降的同時(shí),也會(huì)引起地層的水平位移,有些地方還伴有地裂縫的出現(xiàn).地面建筑物出現(xiàn)傾斜倒塌以及地裂縫的形成,除與地面沉降不均勻性有關(guān)外,還可能與水平位移及水平應(yīng)力密切相關(guān)[13].

油氣開采同樣會(huì)誘發(fā)地面沉降和變形[14-15],嚴(yán)重時(shí)會(huì)導(dǎo)致套管損壞,甚至油井報(bào)廢[16].油田統(tǒng)計(jì)資料證實(shí)大部分套管發(fā)生錯(cuò)斷剪切破壞,這可能是因巖體發(fā)生水平錯(cuò)動(dòng)而致.田杰等[17]基于流固耦合滲流理論,分析了采油過程巖體的變形,指出采油過程中孔隙壓力消散,有效應(yīng)力增加,水平位移不斷加大,采油層受壓剪作用易發(fā)生套損.

除地下水開采外,近年來大規(guī)模的工程建設(shè)已成為地面沉降新的影響因素.以上海為例,因工程建設(shè)量大,而淺層又是軟黏土層,所以地面沉降原因已由單純的開采地下水轉(zhuǎn)向開采地下水和城市建設(shè)活動(dòng)雙重因素[18],而且在當(dāng)前微量沉降階段,工程建設(shè)及運(yùn)行所引起的地面沉降占總沉降的權(quán)重顯然會(huì)越來越大.通常一維固結(jié)模型假設(shè)荷載是常數(shù),因此它無法描述工程建設(shè)對(duì)地面沉降的影響.龔士良[19]分析了軟黏土的微觀結(jié)構(gòu)性質(zhì)對(duì)于淺層沉降的影響,而唐益群等[20]則從模型試驗(yàn)角度研究了高層建筑群對(duì)地面沉降的影響效應(yīng).

1.2 完全耦合模型的發(fā)展方向

如上文所述,地面沉降變形通常具有三維特征,而并非只體現(xiàn)為垂向沉降,水平位移同樣占有重要的地位.此外,當(dāng)前工程建設(shè)對(duì)于地面沉降的影響權(quán)重越來越大,因此只有采用三維土體變形理論才能更好地描述地面變形的三維特征和復(fù)雜荷載的影響.

因地下流體開采(包括基坑降水)或地面建筑物荷載作用所誘發(fā)的地面沉降,其機(jī)理是類似的,即隨著孔隙水壓力消散,有效應(yīng)力增大,土體產(chǎn)生壓縮變形,進(jìn)而表現(xiàn)為土層表面的位移;土體的變形同時(shí)又會(huì)導(dǎo)致孔隙度和壓縮系數(shù)、滲透系數(shù)等發(fā)生變化,從而影響地下水的滲流特征.可見地面沉降是一個(gè)水-土相互作用的過程,屬于典型的多孔介質(zhì)流固耦合問題,因此從理論上說,應(yīng)采用多孔介質(zhì)流固耦合滲流模型描述和分析地面沉降,換言之,只有使用完全耦合模型才能更好地刻畫地面沉降過程的流固耦合物理實(shí)質(zhì).

將以上二者結(jié)合建立地面沉降變形的三維完全耦合模型,并進(jìn)行三維變形和滲流耦合分析是非常必要的,也是當(dāng)前地面沉降模型應(yīng)深入研究和發(fā)展的方向[3].

2 基于多孔介質(zhì)有效應(yīng)力原理的完全耦合數(shù)學(xué)模型

2.1 基于多孔介質(zhì)有效應(yīng)力原理的流固耦合滲流模型

文獻(xiàn)[21]從滲流力學(xué)角度出發(fā),解析導(dǎo)出了基于多孔介質(zhì)的有效應(yīng)力原理,其形式[21-22]為

在流固耦合滲流研究領(lǐng)域,筆者引進(jìn)該有效應(yīng)力原理,以代替經(jīng)典Terzaghi有效應(yīng)力原理,建立了完備的多孔介質(zhì)流固耦合滲流數(shù)學(xué)模型[12,23],并進(jìn)一步對(duì)該模型開展了工程應(yīng)用研究[24-26].結(jié)果表明經(jīng)典Terzaghi一維固結(jié)理論及Biot三維固結(jié)理論是該模型的簡化和近似[12,25].該模型不僅采用了基于多孔介質(zhì)的有效應(yīng)力原理,而且考慮了孔隙流體和固體顆粒的壓縮性,并且包含了多孔介質(zhì)孔隙度和滲透率的非線性動(dòng)態(tài)變化模型,而Biot固結(jié)模型推導(dǎo)過程中忽略了孔隙水和土體顆粒的壓縮性,采用了定水力參數(shù).而如前文所述,地面沉降過程正因?yàn)槭堑湫偷牧鞴恬詈线^程,所以土層參數(shù)和水文地質(zhì)參數(shù)實(shí)際上呈現(xiàn)隨土體變形而變化的非線性特征,而非保持常數(shù).

2.2 地面沉降完全耦合數(shù)學(xué)模型

下面以飽和多孔介質(zhì)流固耦合滲流數(shù)學(xué)模型[12]為基礎(chǔ),建立飽和土體地面沉降完全耦合數(shù)學(xué)模型.

2.2.1 控制方程組

2.2.1.1 應(yīng)力場平衡方程

應(yīng)力場平衡方程為

式中Fi為作用在土體上的體積力.

聯(lián)立式(1)和式(2),得到以土體有效應(yīng)力和孔隙水壓力表示的應(yīng)力場方程:

土體骨架本構(gòu)關(guān)系:

式中:Dijkl——?jiǎng)哦染仃?可以為彈性矩陣,也可是彈塑性矩陣等,由土體本構(gòu)關(guān)系決定;εkl——應(yīng)變張量.目前較常用的土體本構(gòu)方程有修正劍橋模型和鄧肯-張模型等.為描述簡單起見,假定土體骨架為各向同性線彈性體,則有

其中λ,εV和G分別為土體的Lame系數(shù)、骨架體積應(yīng)變和剪切模量,且滿足

式中:E——土體楊氏模量;ν——泊松比;Wx,Wy,Wz——土體骨架x,y,z方向的位移.幾何方程(假定土體符合小變形假設(shè)):

將式(5)代入式(3)并結(jié)合式(7),得到位移場方程組:

如只考慮土體自重,則式(8)可簡化為

其中 γ=[(1- φ)ρs+ φ ρw]g,ρs和 ρw分別為土體顆粒密度和孔隙水密度.

2.2.1.2 滲流場方程

考慮孔隙水和土體顆粒的壓縮性,假設(shè)二者體積彈性壓縮模量分別為Kf,Ks,設(shè)土體滲透率張量為K,三向主滲透率依次為kx,ky,kz,參考文獻(xiàn)[12]的推導(dǎo)方法,可給出壓力場方程:

假設(shè)土體滲透率各向同性,式(10)簡化為

式中:k——各向同性滲透率;h——高度.如忽略重力影響,有

式中q代表源匯項(xiàng).

2.2.1.3 孔隙度滲透率非線性變化模型

地面沉降屬典型的水-土耦合滲流過程.孔隙水壓力的變化,會(huì)引起土體骨架有效應(yīng)力的變化,進(jìn)而導(dǎo)致孔隙度、滲透率等的變化,同時(shí)這些變化又反過來影響孔隙水的流動(dòng)和壓力的分布.根據(jù)固結(jié)系數(shù)的定義,它與滲透率、壓縮系數(shù)直接相關(guān),而貯水系數(shù)則與孔隙度、壓縮系數(shù)等有直接的換算關(guān)系[27],因此在地面固結(jié)沉降過程中,土層參數(shù)和水文地質(zhì)參數(shù)都是動(dòng)態(tài)變化的,這已經(jīng)被人們所認(rèn)識(shí)和接受[10-12,25,27-29].

文獻(xiàn)[12]充分考慮流固耦合作用,建立了物性參數(shù)動(dòng)態(tài)變化模型,其中孔隙度非線性模型如下:

式中:φ0——土層初始孔隙度;βs——土體熱膨脹系數(shù).如果忽略溫度場效應(yīng),則式(13)簡化為

根據(jù)滲流力學(xué)Kozeny方程,可導(dǎo)出滲透率_的變化模型為

式中k0為初始滲透率.

式(9)、式(12)和式(14)構(gòu)成地面沉降控制方程組,該方程組共有5個(gè)方程,而求解變量為Wx,Wy,Wz,φ,p,總計(jì)5個(gè),可見方程組是封閉的.

2.2.2 定解條件

對(duì)于上述控制方程組,應(yīng)補(bǔ)充適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件和初始條件,才能構(gòu)成定解問題.

2.2.2.1 初始條件

通常指初始時(shí)刻土層孔隙水壓力和位移場的原始分布.滲流場、位移場和孔隙度初始條件分別為

式中:p0——原始地層孔隙水壓力分布;W0——土體初始位移,可取為0.

2.2.2.2 邊界條件

通常較常用的滲流場邊界條件有第一類和第二類邊界條件,即孔隙水壓力滿足定壓或定流量邊界條件.定壓邊界條件和定流量邊界條件(忽略重力效應(yīng))分別為

式中:pb——邊界 Γ上的孔隙水壓力;n——邊界 Γ的法向量;q——邊界 Γ已知流量.

同理,位移場邊界條件也可給出如下(以第一類邊界條件為例):

式中Wb為邊界 Γ上的已知位移矢量.

然而對(duì)于地面沉降問題,所涉及土層區(qū)域內(nèi)位移場邊界條件可能難以直接給出.為此,可采用“擴(kuò)展法”[15],將研究區(qū)域取得足夠大,如拓展至自然邊界(固壁邊界),即可給出位移場邊界條件[26]:

式中 Γ1為擴(kuò)展后的“計(jì)算區(qū)域”所對(duì)應(yīng)的邊界.

至此,控制方程組(式(9)、式(12)和式(14))以及定解條件(式(16)～(20)和式(22))即構(gòu)成地面沉降變形非線性完全耦合數(shù)學(xué)模型,對(duì)于此數(shù)學(xué)模型,可采用有限差分、有限元等數(shù)值方法求解.

3 模型數(shù)值解法

此處給出模型的有限差分解法.

a.給定初始時(shí)刻的孔隙度、滲透率和孔隙水壓力等.

b.結(jié)合給定的壓力場和位移場邊界條件及上述時(shí)刻的孔隙度、滲透率等,先采用全隱式有限差分法將方程(9)和(12)離散為相應(yīng)的代數(shù)方程組,然后再利用強(qiáng)隱式(SIP)聯(lián)立迭代法對(duì)上述方程組求解,從而計(jì)算出第1個(gè)時(shí)間步的三向位移和孔隙水壓力.

c.將第1個(gè)時(shí)間步的三向位移和孔隙水壓力代入方程(14),得出第1個(gè)時(shí)間步的孔隙度分布;再代入方程(15),得到與孔隙度對(duì)應(yīng)的滲透率分布.

d.利用第1個(gè)時(shí)間步的孔隙度和滲透率以及位移場和壓力場,返回b,重復(fù)上述過程,便可得到第2、第3……即不同時(shí)間步的結(jié)果,直到計(jì)算結(jié)束.

4 結(jié) 語

本文建立了地面沉降變形的非線性三維完全耦合數(shù)學(xué)模型,它充分考慮了地面沉降過程的流固耦合物理實(shí)質(zhì),是對(duì)Biot固結(jié)理論的合理改進(jìn)和完善.它可以計(jì)算地下水開采或建筑物荷載作用下的三維位移場和滲流場,并分析地面沉降、水平位移及壓力場之間的相互影響和作用.在數(shù)值方法方面,采用全隱式有限差分法離散控制方程,該方法簡單易懂;并采用強(qiáng)隱式聯(lián)立迭代法求解離散后的方程組,該迭代方法效率較高,適合于三維問題大型稀疏方程組的求解.

下一步可針對(duì)區(qū)域性地面沉降或具體工程地面沉降,首先對(duì)上述三維模型進(jìn)行驗(yàn)證和標(biāo)定,反演求得更為準(zhǔn)確的土層參數(shù)和水文地質(zhì)參數(shù),再進(jìn)一步用于地面沉降的預(yù)測和模擬,從而更加全面和深入地認(rèn)識(shí)地面沉降變形的三維變化與非線性特征.

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[27]陳崇希,裴順平.地下水開采-地面沉降模型研究[J].水文地質(zhì)工程地質(zhì),2001,28(2):5-8.(CHEN Chong-xi,PEI Shun-ping.Research on groundwater exploitation-land subsidence model[J].Hydrogeology and Engineering Geology,2001,28(2):5-8.(in Chinese))

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[29]于軍,吳吉春,葉淑君,等.蘇錫常地區(qū)非線性地面沉降耦合模型研究[J].水文地質(zhì)工程地質(zhì),2007,34(5):11-16.(YU Jun,WU J-i chun,YE Shu-jun,et al.Research onnonlinear coupled modeling of land subsidence in Suzhou,Wuxi and Changzhou areas,China[J].Hydrogeology and Engineering Geology,2007,34(5):11-16.(in Chinese))

A nonlinear fully coupled mathematical model for land subsidence

LI Pe-i chao
(College o f Mechanical Engineering,Shanghai University o f Engineering Science,Shanghai201620,China)

For seepage-deformation coupling in porous media based on the effective stress principle,a fully coupled 3D mathematical model for land subsidence was established with consideration of the nonlinear changes of soil porosity and permeability,and the finite differencemethodwas used to solve the model.The model can be usedto characterize the 3D groundwater seepage field and the stratum deformation displacement field with the effects of groundwater exploitation,construction loads,and dewatering of foundation pits,and to analyze the 3D changes and nonlinear characteristics of land subsidence.The model also provides technical approaches for research of land subsidence and its prevention and treatment.

land subsidence;effective stress principle;fluid-solid coupling;3D displacement field;nonlinear change model;finite difference method

P642.26;O357.3

A

1000-1980(2011)06-0665-06

10.3876/j.issn.1000-1980.2011.06.014

2010-12-03

上海高校選拔培養(yǎng)優(yōu)秀青年教師科研專項(xiàng)基金(GJD09029);上海工程技術(shù)大學(xué)科技發(fā)展基金(校啟09-27)

李培超(1976—),男,山東壽光人,副教授,博士,主要從事滲流力學(xué)研究.E-mail:wiselee18@163.com