南 華

（延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002）

具有指定Julia方向的有限級(jí)整函數(shù)

南 華

（延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002）

根據(jù)整函數(shù)的Julia方向的定義，研究了整函數(shù)的Julia方向問題.構(gòu)造了以指定方向?yàn)镴ulia方向的有限級(jí)整函數(shù)f（z），同時(shí)還構(gòu)造了具有指定Julia方向和指定Julia例外點(diǎn)的整函數(shù).

Julia方向；整函數(shù)的級(jí)；Julia例外值

0 引言

整函數(shù)和亞純函數(shù)的值分布一直受到學(xué)者們的關(guān)注，并且取得了許多重要的成果［1－3］.在值分布理論的發(fā)展過程中，著名數(shù)學(xué)家E.Picard和G.Julia獲得了很多突出的成果，其中包括著名的Picard定理［4］和Julia定理［1］.Picard定理說明了在本性奇點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)函數(shù)的A－點(diǎn)集的分布情況，而Julia定理斷言對(duì)任意給定的有限復(fù)數(shù)A（除一點(diǎn)外），函數(shù)在一條射線附近有無窮多的A－點(diǎn)，這條射線便是Julia方向.Julia方向可能有幾條或者可能有無數(shù)條.

例 考察函數(shù)f（z）＝ez，它有2個(gè)Julia方向，即正虛軸和負(fù)虛軸.

事實(shí)上，對(duì)于每一個(gè)復(fù)數(shù)z0（z0≠0），方程ez＝z0的解具有如下形式：

如果k是正整數(shù)，則連接原點(diǎn)和zk的線段與正虛軸的夾角的正切值等于.顯然當(dāng)k→∞時(shí)，這個(gè)正切值趨近于0.這意味著對(duì)于每一個(gè)復(fù)數(shù)z0（z0≠0），在任意包含正虛軸的角域內(nèi)，函數(shù)ez取z0值無窮多次.對(duì)于負(fù)整數(shù)k和負(fù)虛軸也有類似結(jié)論，因而函數(shù)f（z）有2個(gè)Julia方向.對(duì)每種情形而言，Julia例外點(diǎn)是原點(diǎn).另外，由公式函數(shù)的級(jí)可得f（z）的級(jí)是1.

近幾年，對(duì)函數(shù)的Julia方向的研究有很多，如Jin Lu［5］研究了具有小級(jí)數(shù)的整函數(shù)的Julia方向，M.V.Zabolots′kyi［6］研究了緩慢增長的整函數(shù)的Julia方向，但這些都是對(duì)滿足一定條件的整函數(shù)的Julia方向的存在性及其性質(zhì)的研究，僅給出了Julia方向存在的必要性.本文將構(gòu)造一個(gè)具有有限級(jí)的整函數(shù)，并使其具有指定的Julia方向.本文結(jié)果不僅說明了這種整函數(shù)的存在性，而且還提供了一種構(gòu)造這類整函數(shù)的方法.

1 引理及其證明

引理1［7］給定一非負(fù)整數(shù)λ和單調(diào)遞增趨近于無窮大的非零序列｛ξn｝.τ≠∞是序列｛ξn｝的收斂

指數(shù)，κ是使級(jí)數(shù)發(fā)散的非負(fù)整數(shù)k的最大值 若函數(shù)

其中Q（z）是v次多項(xiàng)式，且當(dāng)κ＝0時(shí)指數(shù)項(xiàng)消失，則函數(shù)f（z）是具有有限級(jí)ρ＝max（υ，τ）的整函數(shù)，它的所有零點(diǎn)為

由此引理可知，當(dāng)序列｛ξn｝以充分快的速度趨近于0時(shí)，函數(shù)f（z）表達(dá)式中的指數(shù)項(xiàng)可以去掉.

證明 由于數(shù)列｛an｝充分快速地趨近于∞，因而我們不妨設(shè)對(duì)所有的j＝1，2，3，… 都成立.在每個(gè)緊集Cj（j＝1，2，3，…）中，整函數(shù)f（z）都可以在某一點(diǎn)取得最小值.固定j，令

設(shè)M＞0.由于j→∞時(shí)有mj→∞，所以必存在自然數(shù)N，使得j≥N時(shí)有M.令對(duì)任意的滿足時(shí)，必存在一整數(shù)n使得.又由于是緊的，函數(shù)在K內(nèi)某點(diǎn)處取得最小值.另外，在K內(nèi)f（z）不為0，因此由最小模原理有在Bd（K）的某點(diǎn)處取得最小值.

2 主要結(jié)果

定理 設(shè)θ0是一實(shí)數(shù)（mod 2π），則必存在僅以χ（θ0）為Julia方向的有限級(jí)整函數(shù)f（z）.

證明 設(shè)復(fù)數(shù)列｛an｝滿足：①，且以足夠快的速度趨于∞使得∞；②argaj＝θ0，j＝1，2，3，….令函數(shù)f（z）和點(diǎn)集Cj、Dj及mj與本文引理2中所設(shè)相同.由于j→∞時(shí)mj→∞，因此對(duì)于任意的復(fù)數(shù)z0都存在自然數(shù)N＞0，使得j≥N時(shí)對(duì)一切的z∈Cj都成立.

于是對(duì)所有的z∈Cj和j≥N有.再根據(jù)Rouche’s定理可知，函數(shù)f（z）－z0與f（z）在Cj內(nèi)部有相同個(gè)數(shù)的零點(diǎn)，而對(duì)Cj的內(nèi)部的點(diǎn)aj有f（aj）＝0.這說明在Dj（j≥N）內(nèi)f（z）＝z0有解.由z0點(diǎn)的任意性知，在集合的內(nèi)部f（z）可取得任意復(fù)數(shù)值無窮次.設(shè)角域Sδ＝｛z∶θ0－δ＜argz＜θ0＋δ｝，δ＞0.顯然對(duì)充分大的j有Dj?Sδ，因此θ0是函數(shù)f（z）的Julia方向.對(duì)任意的θ≠θ0（0≤θ≤2π），設(shè)角域S′δ＝｛z∶θ－δ＜argz＜θ＋δ｝，δ＞0.由引理2可知，對(duì)所有的z∈S′δ，當(dāng)z→∞ 時(shí)有f（z）→∞.因此χ（θ0）是整函數(shù)f（z）唯一的Julia方向.另外，根據(jù)性質(zhì)① 可知｛an｝的收斂指數(shù)再由引理1可知，函數(shù)f（z）的級(jí)是有限的.定理證畢.

推論 給定實(shí)數(shù)θ0（mod 2π）和任意復(fù)數(shù)z0，必存在1個(gè)整函數(shù)F（z），使得χ（θ0）是函數(shù)F（z）的Julia方向，而z0是Julia例外值.

證明 令F（z）＝z0＋p（z）ef（z），其中f（z）與定理中的函數(shù)f（z）相同，而p（z）是次數(shù)為λ的非常值多項(xiàng)式，那么顯然F（z）取得z0值只能是有限次（λ次）.

由上面的定理得知，f（z）在集合∪∞j＝1Dj中取得任意復(fù)數(shù)值無窮多次.因此函數(shù)ef（z）在集合 ∪∞j＝1Dj中

除了0之外取得其他任意復(fù)數(shù)值無窮多次.所以函數(shù)F（z）取z0值有限多次，取其他任意復(fù)數(shù)無窮多次.設(shè)Sδ＝ ｛z∶θ0－δ＜argz＜θ0＋δ｝，δ＞0.對(duì)充分大的j有Dj?Sδ，因此χ（θ0）是整函數(shù)F（z）的Julia方向，且z0是Julia例外值.

［1］Julia G.Lecons Sur Les Fonctions a Point Singulier Essentiel Isole［M］.Paris：Imprimerie Gauthier－Villa，1924.

［2］Tu Z H.On the Julia Directions of the Value Distribution of Holomorphic Curves onPn（C）［J］.Kodai Math J，1996，19：1－6.

［3］南華.超越整函數(shù)的正規(guī)族｛f（2nz）｝［J］.延邊大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，36（2）：109－113.

［4］Dieter Gaier.Lectures on Complex Approximation［M］.Boston：Birkh?user，1987.

［5］Jin Lu.On Julia Directions of Entire Functions of Small Order［J］.KODAI Math J，2002，25：72－78.

［6］Zabolots′kyi MV.Julia Lines of Entire Functions of Slo wGrowth［J］.Ukrainian Mathematical Journal，2006，58：937－944.

［7］Markushevich A I.Theory and Functions of a Complex Variable：Vol.II［M］.Ne wYork：Chelsea Publ Co，1977：251－258.

An Entire Function of Finite Order with Preassigned Julia－line

NAN Hua
（DepartmentofMathematics，CollegeofScience，YanbianUniversity，Yanji133002，China）

We studied the Julia direction of an entire function.An entire functionf（z）which has the preassigned Julia－line was construted，and the order of the entire functionf（z）was discussed.Moreover，we constructed an entire function which has the preassigned Julia－line and Julia exceptional value.

Julia－line；order of entire function；Julia exceptional value

O174.5

A

1004－4353（2011）03－0223－03

2011 -05 -17

延邊大學(xué)科研項(xiàng)目（延大科合字［2010］第002號(hào)）

＊通信作者：南華（1972—），女，博士，副教授，研究方向?yàn)閺?fù)變函數(shù).