張亞靜,郭雅平

(山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西太原 030006)

＊半空間中重調(diào)和方程組的Liouville型定理

張亞靜,郭雅平

(山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西太原 030006)

考慮半空間中具有Navier邊界條件的重調(diào)和方程組,文章結(jié)合積分不等式使用移動平面法證明了一個新的Liouville型定理.

正解;Liouville型定理;移動平面法

本文考慮下面重調(diào)和方程組

與全空間的情形相比,研究半空間中重調(diào)和方程組Liouville型定理的文獻(xiàn)較少.我們將使用積分形式的移動平面法來研究問題(1)正解的不存在性,這種思想源于 Terracini,見文獻(xiàn)[1-2].后來Damascelli和Gladiali,Guo和Liu,Guo,Liu和本文第一作者分別在文[3-5]中做了進(jìn)一步的推廣.

本文主要結(jié)論如下:

(i)f,g在[0,+∞)上是非減的且局部Lip schtiz連續(xù);

(ii)f(0)=g(0)=0,當(dāng)0≤s≤t≤m時,0≤f(t)-f(s)≤L(m)(t-s),0≤g(t)-g(s)≤L(m)(t-s),且當(dāng)m→0時,L(m)→0.

若‖u‖L∞＜ ∞,‖Δu‖L∞＜ ∞,‖v‖L∞＜ ∞,及‖Δv‖L∞＜ ∞,我們稱(u,v)為(1)的一個有界正解.

本文將在第1節(jié)給出證明定理1所需的一些引理,在第2節(jié)證明定理1.

1 預(yù)備知識與記號

證 采用反證法證明w=-Δu≥0.假設(shè)w(p)=-ε＜0,引入函數(shù)u的球面平均

2 定理1的證明

下面我們證明定理1.采用反證法.假設(shè)Λ＜ + ∞.設(shè)S={λ:λ＞0,u≤uλ,v≤vλ,x∈∑λ}.顯然S為(0,∞)中的閉集,由引理3得S是非空的,接下來證明S是開集.設(shè)λ∈S且λn→λ,我們要證明當(dāng)n充分大時,λn∈S.類似于引理2的證明可知

[1] Terracini S.Symmetry Properties of Positive Solutions to Some Elliptic Equations with Nonlinear Boundary Conditions[J].Diff Int Eqs,1995,8:1911-1922.

[2] Terracini S.On Positive Entire Solutions to a Class Equations with a Singular Coefficient and Criticalexponent[J].A dv Diff Eqs,1996,1:241-264.

[3] Damascelli L,Gladiali F.Some Nonexistence Results for Positive Solutions of Elliptic Equations in Unbounded Domains[J].Rev Mat Lberoamericana,2004,20:67-86.

[4] Guo Y X,Liu JQ.Liouville Type Theo rem s for Polyharmonicequations in RNand in RN+[J].The Royal Society of Edinburgh Proc A,2008,138:339-359.

[5] Guo Y X,Liu J Q,Zhang Y J.Nonexistence of Positive Solutions for Polyharmonic System sin RN[J].Adv Nonlinear Stud,2007,7:381-402.

[6] Dancer E N.Some Notes on the Method of Movingplanes[J].Bull Austral Math Soc,1992,46:40-64.

Liouville Type Theorem for Biharmonic Systems in the Half Space

ZHANG Ya-jing,GUO Ya-ping
(School of Mathematical Sciences,Shanxi University,Taiyuan030006,China)

Consider the biharmonic system with Navier boundary value condition,we obtain a new Liouville type theorem for the system by the method of moving p lanes with integral inequalities.

positive solution;Liouville type theorem;moving p lanes

O175

A

0253-2395(2011)01-0032-04＊

2010-09-25;

2010-10-20

國家自然科學(xué)基金(10701051);山西省自然科學(xué)基金(2009011008);山西省高等學(xué)校優(yōu)秀青年學(xué)術(shù)帶頭人支持計(jì)劃

張亞靜(1973-),男,山西沁水人,博士,副教授,主要從事非線性分析與非線性偏微分方程的研究.E-mail:zhangyj@sxu.edu.cn