郭鵬飛,王俊新

(1.連云港師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系,江蘇連云港 222006;2.上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所,上海 200072;3.山西財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)系,山西太原 030031)

＊局部M SSP-群的結(jié)構(gòu)

郭鵬飛1,2,王俊新3

(1.連云港師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系,江蘇連云港 222006;2.上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所,上海 200072;3.山西財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)系,山西太原 030031)

若有限群G的每個(gè)Sylow子群的極大子群都在G中s-半置換,則稱G為MSSP-群.文章給出群G的每個(gè)極大子群是MSSP-群,但G本身不是MSSP-群的分類.

s-半置換子群;超可解群;內(nèi)冪零群;內(nèi)超可解群

本文考慮的群均為有限群,所用群論術(shù)語、符號都是規(guī)范的,可參閱文獻(xiàn)[1].

群G的兩個(gè)子群H和K若滿足H K=KH,則稱H和K是可置換的.Kegel[2]稱群G的子群H為G的s-置換子群(或s-擬正規(guī)子群),若H與G的每個(gè)Sylow子群可置換.作為s-置換性的推廣,陳重穆[3]引入如下定義:群G的子群H被稱為G的s-半置換子群,若H與G的每個(gè)滿足條件(p,|H|)=1的Sylow子群可置換.

群論研究中最具有意義的工作之一就是確定具有某種性質(zhì)的群的結(jié)構(gòu),并且這方面已有許多有意義的研究成果,這為群論的發(fā)展起到了強(qiáng)有力的推動(dòng)作用.例如:Schmidt[4]確定出內(nèi)冪零群的結(jié)構(gòu),Doerk[5]確定出內(nèi)超可解群的結(jié)構(gòu).關(guān)于這方面的進(jìn)一步研究成果可參閱文[6-8].

本文中,我們稱群G為M SSP-群,若G的每個(gè)Sylow子群的極大子群都是G的s-半置換子群.若群G的每個(gè)極大子群是M SSP-群,但G本身不是M SSP-群,則稱群G為局部M SSP-群,并且給出了局部M SSP-群的分類.

1 預(yù)備知識

引理1.1[10,定理7.47]若群G是一個(gè)M SSP-群,則G為超可解群.

引理1.2[5]設(shè)群G為內(nèi)超可解群,則

(1)G僅有一個(gè)正規(guī)的Sylowp-子群P;

(2)P/Φ(P)是G/Φ(P)的極小正規(guī)子群,且P/Φ(P)非循環(huán)群;

(3)若p≠2,則P的方次數(shù)是p;

(4)若P為非交換群且p=2,則P的方次數(shù)是4.

引理1.3[5]若群G包含4個(gè)具有兩兩互素指數(shù)的超可解子群,則G為超可解群.

引理1.4[9,性質(zhì)1]設(shè)H是群G的s-半置換子群,且H≤K≤G,則H是K的s-半置換子群.

引理1.5[11,Theorem2.8]設(shè)群G為內(nèi)冪零群,則G為超可解群的充要條件是G的正規(guī)Sylowp-子群是循環(huán)群.

引理1.6[12,Lemma5]設(shè)群G=P〈x〉,P是G的正規(guī)Sylowp-子群且x是一個(gè)q-元素.若G的每個(gè)Sylow子群的極大子群都是G的正規(guī)子群,則x誘導(dǎo)出P/Φ(P)上的一個(gè)冪自同構(gòu).

引理1.7[13]設(shè){P1,P2,…,Pr}為可解群G的一個(gè)Sylow系,則下列兩個(gè)結(jié)論等價(jià):

(a)對于i≠j,Pi的每個(gè)子群與Pj的每個(gè)子群可置換;

(b)設(shè)G∞是G的冪零剩余,則G∞是G的交換 Hall子群且G的每個(gè)元素誘導(dǎo)出G∞上的一個(gè)冪自同構(gòu).

2 主要結(jié)果

定理2.1 設(shè)群G為局部M SSP-群,則G必為下列三種情形之一:

(I)G是超可解群;

(II)G是內(nèi)冪零群,其中G的正規(guī)Sylowp-子群非循環(huán);

(III)G是內(nèi)超可解群使得G=PQ,其中P是G的正規(guī)Sylowp-子群,Q=〈y〉是G的非正規(guī)Sylowq-子群,p＞q,yq誘導(dǎo)出P/Φ(P)上的一個(gè)冪自同構(gòu),y誘導(dǎo)出Φ(P)上的一個(gè)冪自同構(gòu),且至少有一個(gè)冪自同構(gòu)是非平凡的.

證明 若G非超可解群,由于G的每個(gè)極大子群都是M SSP-群,利用引理1.1,G為內(nèi)超可解群.由引理1.2可得,G僅有一個(gè)正規(guī)Sylowp-子群P.

現(xiàn)證π(G)=2.若π(G)＞3,由引理1.3可知,G為超可解群,與假設(shè)矛盾.因此設(shè)π(G)=3且{P,Q,R}是G的一個(gè)Sylow系使得P?—G.顯然,PQ或者是G的一個(gè)極大子群或者是G的一個(gè)極大子群的 Hall子群.若PQ是G的一個(gè)極大子群,由假設(shè)可知,PQ是一個(gè)M SSP-群.若PQ是G的一個(gè)極大子群的 Hall子群,由引理1.4可知,PQ是一個(gè)M SSP-群.因此,對于P的極大子群P1而言,P1是PQ的s-半置換子群.由P1在PQ中次正規(guī)可得,P1次正規(guī)于P1Q,進(jìn)而P1正規(guī)于P1Q.類似地,P1正規(guī)于P1R.這時(shí)P1正規(guī)于G=〈P,Q,R〉,這與引理1.2矛盾.因此,π(G)=2且可設(shè)G=PQ,其中P∈Sylp(G),Q∈Sylq(G),P?—G.

若Q有兩個(gè)極大子群Q1和Q2,則PQ1和PQ2都是G的極大子群.類似于上面的討論,對于P的每個(gè)極大子群P2而言,P2正規(guī)于G,這與引理1.2矛盾,因此Q是循環(huán)群且設(shè)Q=〈y〉.

現(xiàn)在斷言:若Q≤M＜-G,則Φ(P)是M的一個(gè) Sylow子群.記M=P3Q,其中P3是M的一個(gè) Sylow子群.由于[P3,Q]≤P∩P3Q=P3,因此NG(P3)≥P3Q=M.注意到N P(P3)＞P3,因此P3是G的正規(guī)子群.由引理1.2,我們就有P3≤Φ(P).再由M的極大性,我們得出P3=Φ(P)是M的一個(gè)Sylow子群.

顯然,G有極大子群P〈yq〉g和Φ(P)Qg,其中g(shù)∈G.若p＜q,則G是內(nèi)冪零群.由引理1.5可知,G的正規(guī)Sylow子群P非循環(huán),因此G是情形(II).

現(xiàn)設(shè)p＞q,若G為內(nèi)冪零群,則G屬于情形(II),因此可設(shè)G非內(nèi)冪零群.因?yàn)镻的每個(gè)極大子群既是P〈yq〉g的s-半置換子群又是P〈yq〉g的次正規(guī)子群,所以P的每個(gè)極大子群是P〈yq〉g的正規(guī)子群.類似地,Φ(P)的每個(gè)極大子群是Φ(P)Qg的正規(guī)子群.利用引理1.6,yq誘導(dǎo)出P/Φ(P)上的一個(gè)冪自同構(gòu),y誘導(dǎo)出Φ(P)上的一個(gè)冪自同構(gòu)且至少有一個(gè)冪自同構(gòu)是非平凡的,因此G是情形(III).

推論2.1 非超可解群G是局部M SSP-群的充要條件是G屬于下列兩種情形之一:

(I)G是內(nèi)冪零群,其中G的正規(guī)Sylowp-子群非循環(huán);

(II)G是內(nèi)超可解群使得G=PQ,其中P是G的正規(guī)Sylowp-子群,Q=〈y〉是G的非正規(guī)Sylowq-子群,p＞q,yq誘導(dǎo)出P/Φ(P)上的一個(gè)冪自同構(gòu),y誘導(dǎo)出Φ(P)上的一個(gè)冪自同構(gòu),且至少有一個(gè)冪自同構(gòu)是非平凡的.

證明 顯然,我們只需證明其充分性.

若G是情形(I),則由引理1.5可知,G非超可解群.由引理1.1可知,G非M SSP-群,因此G為局部MSSP-群.

若G是情形(II),由引理1.1可知,G非M SSP-群.類似于定理2.1的證明,G有極大子群P〈yq〉g和Φ(P)Qg,其中g(shù)∈G.由于y誘導(dǎo)出Φ(P)上的一個(gè)冪自同構(gòu)且yq誘導(dǎo)出P/Φ(P)上的一個(gè)冪自同構(gòu),容易證明G的每個(gè)極大子群都是M SSP-群,這時(shí)G為局部M SSP-群.

推論2.2 非超可解群G是內(nèi)M SSP-群(非M SSP-群但其每個(gè)真子群都是M SSP-群)的充要條件是G屬于下列兩種情形之一:

(I)G是內(nèi)冪零群,其中G的正規(guī)Sylowp-子群非循環(huán);

(II)G是內(nèi)超可解群使得G=PQ,其中P是G的初等交換正規(guī) Sylowp-子群,Q=〈y〉是G的非正規(guī)Sylowq-子群,p＞q,且yq誘導(dǎo)出P上的一個(gè)非平凡冪自同構(gòu).

證明 充分性是顯然的.

只需設(shè)G是一個(gè)內(nèi)M SSP-群且G是推論2.1中情形(II),容易證明P的每個(gè)極大子群在P〈yq〉g中正規(guī).歸納可知,P的每個(gè)子群都被yq正規(guī)化.利用引理1.7,P是初等交換群且yq誘導(dǎo)出P上的一個(gè)非平凡冪自同構(gòu).

致謝 非常感謝這位認(rèn)真負(fù)責(zé)的匿名審稿人所提出的寶貴建議,這些建議使文章增色不少.

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The Structure of Partial MSSP-Groups

GUO Peng-fei1,2,WANG Jun-xin3
(1.Department of Mathematics,Lianyungang Teachers College,Lianyungang222006,China;
2.Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics,Shanghai University,Shanghai200072,China;
3.Department of Mathematics,Shanxi University of Finance and Economics,Taiyuan030031,China)

A finite groupGis called anMSSP-group if allmaximal subgroups of the Sylow subgroups ofGares-semipermutable inG.We give a classification of these group s which are notMSSP-groups but whose maximal subgroups are allMSSP-groups.

s-semiperm utable subgroup s;supersolvable group s;minimal non-nilpo tent group s;minimal nonsupersolvable groups

O152.1

A

0253-2395(2011)01-0029-03＊

2010-09-01;

2010-10-10

國家自然科學(xué)基金(11071155);山西省國土資源廳專項(xiàng)基金(0905910)

郭鵬飛(1972-),男,山西武鄉(xiāng)人,副教授,博士,主要研究領(lǐng)域?yàn)橛邢奕赫?E-mail:guopf999@163.com