石艷香,劉桂榮,白定勇

(1.山西大學數(shù)學科學學院,山西太原 030006;2.廣州大學數(shù)學與信息科學學院,廣東廣州 510006)

＊冠狀動脈系統(tǒng)的復雜動態(tài)與混沌控制

石艷香1,2,劉桂榮1,白定勇2

(1.山西大學數(shù)學科學學院,山西太原 030006;2.廣州大學數(shù)學與信息科學學院,廣東廣州 510006)

研究兩類冠狀動脈系統(tǒng):N型與S型.利用Melnikov方法,得到兩類系統(tǒng)在參數(shù)條件下產生Smale馬蹄意義上的混沌的閥值.通過數(shù)值模擬,不僅可以證明理論分析的正確性,同時顯示出理想的分支圖形和更多新的復雜動力學行為.數(shù)值模擬包括相圖、勢能圖、同宿分支曲線和分支圖,通過這些較直觀地反映出系統(tǒng)隨周期激勵外力強弱變化的動態(tài)特性、復雜性和非線性特征,揭示了系統(tǒng)的分支形式以及通向混沌運動的道路.最后對系統(tǒng)的混沌運動狀態(tài)進行了有效的控制.

Melnikov方法;混沌;分支;混沌控制

混沌科學是20世紀人類三大科學成就之一,自上世紀60年代Lo renz系統(tǒng)被發(fā)現(xiàn)以來,已有許多新的混沌系統(tǒng)被相繼提出[1-2],這些系統(tǒng)的提出,促使混沌理論研究不斷深入,并為混沌在信息處理、保密通訊等工程技術領域內的應用提供了支持.

周期激勵冠狀動脈系統(tǒng)是一種典型的非線性振動系統(tǒng),有著豐富的動力學行為.

(A)周期性激勵N型血管的非線性數(shù)學模型為[3]

(B)周期性激勵S型血管的非線性數(shù)學模型為[3]

本文針對系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)進行分析.研究表明,此二系統(tǒng)可能存在混沌運動.王樹禾[4]給出了冠狀動脈的方程模型及其混沌表現(xiàn),利用Melnikov方法給出兩類系統(tǒng)產生混沌的條件.Melnikov方法[5]是判定二維系統(tǒng)是否存在混沌現(xiàn)象的重要理論依據.張莉等[6]研究了Van der Pol-Duffing振子的混沌及其控制.褚衍東等[7]研究了Van der Pol-Duffing耦合系統(tǒng)的分岔與混沌控制.石艷香等[8]研究了一類Josephson系統(tǒng)的混沌及其控制.目前,各種文獻中對冠狀動脈系統(tǒng)的混沌控制研究尚少,作為控制科學當中一個重大課題,有必要對該系統(tǒng)的混沌控制做深入的研究.

對系統(tǒng)(1),ε=0時是Hamilton系統(tǒng),其Hamilton量為

圖1(a)和(b)分別給出了ε=0時系統(tǒng)(1)的相圖和勢能圖,此時取A=B=1.圖1(a)中,鞍點(0,0)通過兩條同宿軌?！繬連接自身.

圖1 系統(tǒng)(1)的相圖和勢能圖,這里ε=0,A=B=1Fig.1 Phase portrait and potential of the system(1)forε=0,A=B=1

當ε=0,F=D=1時系統(tǒng)(2)的相圖和勢能圖與系統(tǒng)(1)相同,此時鞍點(0,0)通過兩條同宿軌連接自身.

下面利用數(shù)值模擬為上面的理論分析提供依據,并且去尋求系統(tǒng)更復雜的動力學行為.

首先給出系統(tǒng)(1)的數(shù)值模擬.圖2給出的是在(ω,r)平面上馬蹄混沌的M elnikov起始曲線圖,此時:δ=0.5,A=1,B=1.從圖2結合(4)式可知:在曲線的下方鞍點的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形不發(fā)生橫截相交,而在曲線的上方,上述行為發(fā)生,即鞍點的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形發(fā)生橫截相交.也就是說,只有在曲線的上方才可能發(fā)生混沌.

圖2 系統(tǒng)(1)在(ω,r)平面上的Smale馬蹄混沌起始曲線圖.在曲線的上方發(fā)生同宿分支的橫截相交Fig.2 Homoclinic bifurcation curve for Smale chaos in the(ω,r)p lane.Transverse intersections of homoclinic orbits occur above the curve

下面對系統(tǒng)(1)進行數(shù)值模擬.選取系統(tǒng)參數(shù):A=1,B=1,δ=0.5,ω=1,r1=0.01,r2=0.001,采用四階變步長Runge-Kutta算法對系統(tǒng)(1)進行數(shù)值模擬,選取r為分支參數(shù),得到系統(tǒng)在r∈(0,1)區(qū)間內的分支圖,如圖3(a)所示(P17).從圖3(a)中可以看到倍周期分支和逆倍周期分支,混沌和周期窗口.為進一步清晰,圖3(b)顯示了0.3≤r≤0.5時放大的倍周期段;圖3(c)和圖3(d)分別顯示的是0.4≤r≤0.65和0.55≤r≤0.8時放大的混沌窗口.從r=0開始并且隨著r的逐漸增大系統(tǒng)(1)處于穩(wěn)定的1周期狀態(tài),在r≈0.346 69時發(fā)生倍周期分支,即原先的1周期軌道變的不穩(wěn)定,且產生了穩(wěn)定的2周期軌道.隨著r繼續(xù)增大,系統(tǒng)陸續(xù)發(fā)生倍周期分支,且產生穩(wěn)定的4周期軌道、8周期軌道、16周期軌道…,當r≈0.587 17時發(fā)生混沌,而通過(4)式得到的混沌的閥值是r=0.590 2,兩者近乎相近,說明了理論分析與數(shù)值模擬的一致性.從圖3(c)中發(fā)現(xiàn)有5周期窗口和3周期窗口的存在.圖3(d)中顯示出存在一個3周期窗口.當r≈0.829 66時系統(tǒng)混沌消失,開始產生逆倍周期分支,最終成為穩(wěn)定的1周期軌道.圖4(P17)(a)(b)(c)(d)顯示的是r=0.1(周期-1軌道);r=0.355(周期-2軌道);r=0.8(混沌狀態(tài))和r=0.9(周期-1軌道)時的系統(tǒng)(1)的相圖.可以看到系統(tǒng)從周期軌到混沌、再由混沌到周期軌的過程.

其次給出系統(tǒng)(2)的數(shù)值模擬.圖5(P17)給出的是在(ω,r)平面上馬蹄混沌的Melnikov起始曲線圖,此時:δ=0.5,F=1,D=1,δ1=0.05,δ3=0.2.再結合(5)式知:曲線下方的鞍點的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形不發(fā)生橫截相交,而曲線上方的鞍點的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形發(fā)生橫截相交,即在曲線的上方可能發(fā)生混沌.

圖3 (a)系統(tǒng)(1)以 r分支參數(shù)的分支圖.(b)(c)(d)分別為圖3(a)在(r,x)平面上的放大分支圖Fig.3 (a)Bifurcation diagram of the system(1)in(r,x)plane.(b)(c)(d)Amplifed bifurcation diagrams of Fig.3(a)

圖4 系統(tǒng)(1)在不同分支變量 r下的相圖Fig.4 Phase portraits of the system(1)

圖5 系統(tǒng)(2)在(ω,r)平面上的Smale馬蹄混沌起始曲線圖.在曲線的上方發(fā)生同宿分支的橫截相交Fig.5 Homoclinic bifurcation curve for Smale chaos in the(ω,r)p lane.Transverse intersections of homoclinic orbits occur above the curve

下面對系統(tǒng)(2)進行數(shù)值模擬.選取系統(tǒng)參數(shù):F=1,D=1,δ=0.5,δ1=0.05,δ2=0.1,δ3=0.2,ω=1,r1=0.01,r2=0.001,圖6(a)為外周期激振力的幅值r在(0.4,1.4)之間變化的分支圖.從圖中可以觀測到倍周期分支、逆倍周期分支、混沌和周期窗口.圖6(b)(c)(d)為圖6(a)分別在r∈(0.55,0.8),r∈(0.78,0.88)和r∈(0.8,1.2)上的放大分支圖.三幅圖中都可以看到有倍周期分支和逆倍周期分支的存在,并且存在不同周期的周期窗口:(b)3周期窗口;(c)2周期窗口;(d)3、4、5、7周期窗口.圖7(a)(b)(c)(d)分別顯示的是r=0.68(周期-3軌道);r=0.82(周期-2軌道);r=0.98(周期-n軌道)和r=1.1(混沌狀態(tài))時的相圖.

圖6 (a)系統(tǒng)(2)在(r,x)平面的分支圖.(b)(c)(d)分別為圖6(a)在(r,x)平面上的放大分支圖Fig.6 (a)Bifurcation diagram of the system(2)in(r,x)p lane.(b)(c)(d)Amplified bifurcation diagrams of Fig.6(a)

圖7 系統(tǒng)(2)在不同分支變量 r下的相圖Fig.7 Phase portraits of the system(2)

以上理論和數(shù)值研究結果表明,在某些參數(shù)下系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).為了抑制和消除系統(tǒng)的混沌行為,要對系統(tǒng)的混沌進行控制.以下介紹兩種方法來對混沌進行控制.

1)變量反饋控制

利用變量反饋控制方法對系統(tǒng)進行控制,該方法不僅能穩(wěn)定原系統(tǒng)中的不穩(wěn)定周期軌,而且能建立新的周期軌道.

在系統(tǒng)(1)中加入一個反饋變量K(K為可調節(jié)的反饋系數(shù)),得到控制后的方程

通過選取適當?shù)腒,便可抑制系統(tǒng)的混沌行為.圖8(a)為系統(tǒng)(6)在反饋變量K∈(0,1)下的分支圖,這里參數(shù)固定:A=1,B=1,δ=0.5,ω=1,r1=0.01,r2=0.001,r=0.8.從圖8(a)可以看到帶有2周期窗口和3周期窗口的混沌區(qū)域.當K≈0.593 19時,系統(tǒng)開始發(fā)生逆倍周期分支,即混沌消失,產生…、16周期軌道、8周期軌道、4周期軌道、2周期軌道,直到穩(wěn)定的1周期軌道.以上的狀態(tài)過程說明反饋變量K對系統(tǒng)原先的混沌狀態(tài)產生了抑制作用:混沌消失,周期軌道產生.圖8(b)(c)(d)給出了系統(tǒng)在不同反饋變量K受控下的相圖:(b)K=0.2,周期-2軌道;(c)K=0.4,周期-3軌道;(d)K=0.8,周期-1軌道.從圖8(b)(c)(d)可以進一步看出系統(tǒng)狀態(tài)從混沌到周期軌道.

圖8 (a)系統(tǒng)(6)對反饋變量 K∈(0,1)的分支圖.(b)(c)(d)系統(tǒng)(6)在不同反饋變量 K下的相圖Fig.8 (a)Bifurcation diagram of the system(6)in K∈(0,1).(b)(c)(d)Phase portraits for three values of K in Fig.8(a)

2)耦合反饋控制

用周期信號y(t)和系統(tǒng)(2)的輸出結果x(t)進行耦合后作為控制信號f(t),即f(t)=L(x(t)-y(t)),其中L為控制信號的權重,用以調節(jié)控制信號的強度,于是可以得到系統(tǒng)(2)被控制后的方程為

圖9(a)給出了系統(tǒng)(7)在L∈(0,1)下的分支圖,這里參數(shù)固定:F=1,D=1,δ=0.5,δ1=0.05,δ2=0.1,δ3=0.2,ω=1,r1=0.01,r2=0.001,r=1.1.從圖中可以看到帶有2,3周期窗口和5周期窗口的混沌區(qū)域,系統(tǒng)從L=0開始時仍處于混沌狀態(tài).在L=0.410 82附近,系統(tǒng)發(fā)生逆倍周期分支,狀態(tài)由原先的混沌態(tài)開始轉化為周期狀態(tài).分支變量L對系統(tǒng)的混沌產生了抑制.圖9(b)(c)(d)給出了系統(tǒng)在不同分支變量L下的相圖:(b)L=0.01,混沌狀態(tài);(c)L=0.3,周期-3軌道;(d)L=0.8,周期-1軌道.通過圖9可以很好的找到合適的控制參數(shù).

圖9 (a)系統(tǒng)(7)對分支變量L∈(0,1)的分支圖.(b)(c)(d)系統(tǒng)(7)在不同分支變量L下的相圖Fig.9 (a)Bifurcation diagram of the system(7)in L∈(0,1).(b)(c)(d)Phase portraits for three values of L in Fig.9(a)

[1] Chen G R,Ueta T.Yet Another Chaotic Attractor[J].Int J Bifurcation and Chaos,1999,9(7):1465-1466.

[2] Qi G Y,Chen G R,Du S Z,Chen ZQ,Yuan Z Z.Analysis of A New Chaotic System[J].Physic A,2005,352(2-4):295-308.

[3] 李繼彬.混沌與Melnikov方法[M].重慶:重慶大學出版社,1989.

[4] 王樹禾.微分方程模型與混沌[M].合肥:中國科學技術大學出版社,1999.

[5] 劉增榮.混沌的微擾判據[M].上海:上海科技教育出版社,1995.

[6] 張莉,俞建寧,李陽,等.Van der Pol-Duffing振子的混沌及控制[J].溫州大學學報:自然科學版,2007,28:11-14.

[7] 褚衍東,李險峰,張建剛.Van der Pol-Duffing耦合系統(tǒng)的分岔與混沌控制[J].江南大學學學報:自然科學版,2007,6:119-123.

[8] 石艷香,白定勇,陶為俊.一類Josephson系統(tǒng)的混沌及其控制[J].河南師范大學學報:自然科學版,2010,5:8-12.

Complex Dynamics and Chaos Control in Coronary Artery System

SHI Yan-xiang1,2,LIU Gui-rong1,BA IDing-yong2
(1.School of Mathematica l Sciences,Shanxi University,Taiyuan030006,China;2.School of Mathematics and Information Sciences,Guangzhou University,Guangzhou510006,China)

N-type and S-type,two types of coronary artery system are investigated.Applying Melnikov method,the threshold conditions for the occurrence of Smale horse chaos of the two types are obtained respectively.By numerical simulation,not only the correctness of theoretical analysis is proven but also the ideal graphics and mo re new bifurcation of the comp lex dynamic behavior are show n.Numerical simulations,including phase diagram,potential diagram s,homoclinic bifurcation curve diagram s and bifurcation diagram s,are used to investigate the dynamic characteristics,the complexity and the nonlinear dynamics characteristic of the two system s,and to reveal bifurcation form s and the road leading to chaotic motion.Finally the chaotic states of motion are effectively controlled.

Melnikov method;chaos;bifurcation;chaos control

O322;O175

A

0253-2395(2011)01-0014-07＊

2010-08-05;

2010-11-09

數(shù)學天元青年基金(10826080);山西省青年科技研究基金(2009021001-1);廣東省自然科學基金博士科研啟

動項目(9451009101003172);廣州市教育局市屬高?？萍柬椖?08C015);高校博士點資助課題(20061078002)

石艷香(1979-),女,山西陽泉人,講師,在讀博士,主要研究方向:微分方程理論及其應用.E-mail:hongyu1979321@163.com

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