武中華，李文堯

(昆明理工大學國土資源工程學院，云南昆明 650093)

矩形線圈自感的精確表達式

武中華，李文堯

(昆明理工大學國土資源工程學院，云南昆明 650093)

矩形線圈的自感公式在電氣工程、電工電子技術，以及應用地球物理學等領域均有普遍的應用。由于自感計算的復雜性，目前使用的矩形線圈自感公式均為近似計算公式。這里推導了圓截面單匝矩形線圈自感的精確表達式，以及正方形單匝線圈自感的近似公式。目前使用的單匝矩形線圈自感近似公式與這里推導的精確公式相比，均存在很大誤差:當正方形線圈邊長從1m到5m時，電氣工程工具書和電工電子工具書中的自感公式誤差為3.06%到2.38%。使用瞬變電磁法勘探中常用的自感公式，當正方形回線邊長為5m時，誤差最小為－41.17%，最大為228.25%;當回線邊長為200m時，誤差最小為－59.75%，最大為212.49%。

矩形線圈;自感;精確表達式

0 前言

矩形線圈的自感公式在電氣工程、電工電子技術以及應用地球物理學中均有普遍的應用。在目前的物理學教科書［1、2］中以及物理工具書［3］中，均沒有涉及到矩形線圈自感的精確計算公式;在蘇聯(lián)科學家編寫的電感計算手冊［4］、國內出版的電氣工程工具書［5～7］，以及電工電子技術工具書［8］中，矩形線圈的自感計算均為近似公式。在目前的瞬變電磁法教科書［9、10］以及論文［11］中，矩形回線的自感計算均使用近似公式。在國內、外相關專業(yè)電磁學領域中，工作者多使用有限元法［12～18］計算復雜電磁場，不存在矩形線圈自感的精確表達式。雖然李文堯等［19］于2010年推導了矩形回線自感計算公式，但該公式的推導過程沒有涉及導線的內自感。

作者在本文中，為進一步完善該公式，精確驗證現(xiàn)有公式的精度以及誤差情況，推導出了在低頻條件下，使用的圓截面矩形線圈自感的精確表達式。

1 矩形單匝線圈自感精確表達式

在低頻條件下，可以不考慮電流的趨膚效應，認為導線中的電流在截面上成均勻分布，此時由圓截面導線繞制成的矩形線圈的自感應，包括外自感和導線內自感，在本文中作者將分別推導外自感L0和內自感Li的表達式。

1.1 矩形線圈外自感的表達式

設矩形線圈的邊長分別為a和b，o— a邊位于x軸上，o— b邊位于y軸上，如圖1所示。根據(jù)文獻［20］，矩形線圈平面內任意一點的磁感應強度B表達式為式(1)。

圖1 矩形單匝線圈示意圖Fig． 1 The schematic diagram of rectangular coilin single-turn

矩形線圈自感的表達式為式(2)。

式中 L為自感系數(shù);Φ為磁通量;B為磁感應強度;I為電流強度;μ0為真空中的磁導率(4π×10－7H/m);a、b為回線邊長;r為回線半徑。

并且a1、b1、a2、b2為積分區(qū)域邊界點:

令:

對以上四個二重積分式進行解析推導［19］后，可以得到相應的表達式:

單匝矩形線圈的外自感解析表達式L0為:

若矩形線圈的平面布置為正方形，即 D=［(x，y)|0 ＜a1≤x，y≤a2＜a］，則可以得到單匝正方形線圈外自感的解析表達式:

當邊長a遠遠大于導線半徑r時，式(12)分子中的微小變量a1、a2趨近于零，a2趨近于a，得到正方形單匝線圈外自感的近似公式:

式中 a為正方形線圈邊長;r為導線半徑。

1.2 圓截面直導線內自感的表達式

根據(jù)安培環(huán)路定律［3］:

式中 μ為導線的磁導率;I’為通過以r為半徑的圓平面的電流，取

圖2 圓截面直導線示意圖Fig． 2 The schematic diagram of circular section wire

見圖2，與圓截面導線同軸的圓柱面上任一點的磁感應強度為:

根據(jù)磁感應強度與磁場強度的關系:B=μH，可以得到:

磁能公式為:

式中 l為導線長度。

根據(jù)自感與磁能關系式:

得到內自感表達式［21］為式(14)。

1.3 圓截面矩形線圈自感的表達式

由圓截面導線繞制成的矩形線圈自感精確表達式為:

當線圈為正方形時，自感公式變?yōu)?

同時，可以得圓截面正方形線圈自感近似公式(17)。

式中 μr為相對磁導率。

2 將推導的自感精確表達式與目前使用的公式比較

當導線的材料［20］不同時，μr不同，產生的自感也不同。導線材料為抗磁質和順磁質時，μr≈1，只用當導線材料為鐵磁質(包括鐵、鈷、鎳、某些稀土元素以及鐵氧體等)時，才會有 μr?1。以下的對比試驗，作者均采用銅導線，此時可認為μr=1。

2.1 與電氣工程和電工電子技術中使用的公式比較

電氣工程［5～7］和電工電子技術［8］使用的單匝矩形線圈自感公式為式(18)。

其中 r0為導線半徑;a、b為線圈邊長;d為矩形線圈的對角線長。

當線圈為正方形時，式(18)可化簡為式(19)。

設半徑r0=0.001m的銅質導線，繞制成邊長a分別為1m、2m、3m、4m、5m的正方形單匝線圈，使用式(18)，作者推導精確公式(15)以及使用作者推導近似公式(17)，計算自感值及誤差。結果見表1。

計算結果表明:

(1)當正方形單匝線圈邊長從1m到5m時，使用公式(18)計算的自感值誤差為3.06%到2.38%，并且誤差隨線圈邊長減小而增加。

(2)當正方形單匝線圈邊長從1m到5m時，使用作者推導的自感近似計算公式(17)計算的自感值誤差為－0.41%到－0.39%。

表1 電氣工程中使用的自感公式與本文推導公式對比Tab． 1 Comparison calculation with self － inductance formula in electrical engineering

2.2 瞬變電磁法中使用的自感計算公式

根據(jù)文獻［9］及［11］，正方形單匝線圈自感的近似計算公式為:

其中 L為自感;b為回線邊長;r為導線半徑。

若以回線中心點的磁感應強度代表回線的平均磁感應強度時，正方形回線自感的近似表達式為:

式中 L為自感;b為回線邊長。

根據(jù)文獻［10］，長方形回線自感的近似計算公式為式(22)。

其中 L為自感;a、b分別為長方形回線的邊長。

設半徑r0=0.001m的導線，繞制成瞬變電磁法勘探中常用規(guī)格的正方形單匝線圈，邊長a分別為5m、10m、25m、50m、100m、200m。使用本文推導精確公式(15)，近似公式(17)，以及文獻中的近似公式(20)，式(21)以及式(22)，計算自感值及誤差，結果見表2。

計算結果表明:

(1)目前，在瞬變電磁法中使用的矩形線圈自感近似公式誤差很大:當回線邊長為5m時，誤差最小為－41.17%，最大為228.25%;當回線邊長為200m時，誤差最小為 －597.75%，最大為212.49%。

表2 野外常用正方形線圈的自感計算結果Tab． 2 Calculation of self-inductance coefficient of square coil of sizes in common use in outdoors

(2)作者在本文中導出的單匝正方形線圈自感近似公式誤差很小:當回線邊長大于5m時，誤差小于0.39%;隨回線邊長增大，誤差遞減。

3 結論

(1)作者在本文推導了的長方形及正方形圓截面單匝線圈自感精確表達式，分別為公式(15)和公式(16)，并導出了正方形圓截面單匝線圈自感近似公式(17)式。

(2)與作者在本文中所推導的自感精確表達式相比，目前在電氣工程和電工電子技術中，使用的圓截面矩形線圈自感近似公式存在誤差，建議使用作者在本文推導的精確公式(15)和式(16)以及近似公式(17)。

(3)與作者推導的自感精確計算公式相比，目前在瞬變電磁法中使用的矩形線圈自感近似公式誤差很大，在瞬變電磁法勘探工作中建議少用或者不用。作者推導的近似公式誤差很小，在瞬變電磁法中建議使用。

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1001—1749(2011)05—0511—06

2011－04－11

武中華(1985－)，男，遼寧朝陽人，碩士，地球探測與信息技術專業(yè)。