郭貴春，李 龍

（山西大學(xué)科學(xué)技術(shù)哲學(xué)研究中心，山西太原 030006）

古典對(duì)稱的語(yǔ)境特征及其意義

郭貴春，李 龍

（山西大學(xué)科學(xué)技術(shù)哲學(xué)研究中心，山西太原 030006）

古典對(duì)稱體現(xiàn)了歐氏幾何圖形之間的變換關(guān)系，在物理學(xué)各分支學(xué)科中有著廣泛應(yīng)用。文章通過(guò)定位古典對(duì)稱，分析古典對(duì)稱的結(jié)構(gòu)特征，從而把握古典對(duì)稱變換過(guò)程中的同一性。通過(guò)語(yǔ)義上升，把握不同對(duì)稱現(xiàn)象之間的本質(zhì)特征，擴(kuò)展對(duì)稱理論內(nèi)容。

古典對(duì)稱;語(yǔ)義分析;語(yǔ)境特征;意義

在歐幾里得幾何學(xué)中，存在著兩個(gè)圖形關(guān)于點(diǎn)、線之間的變換關(guān)系，就像人的左手和右手，當(dāng)雙手合攏時(shí)，各手指之間存在相互對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們就將其視為古典對(duì)稱，這是人們?cè)谡J(rèn)識(shí)客觀世界過(guò)程中總結(jié)出的直觀規(guī)律。將圖形賦予物理意義，古典對(duì)稱的適用范圍逐步擴(kuò)大。隨著物理學(xué)的發(fā)展，許多物理學(xué)現(xiàn)象與規(guī)律逐步納入對(duì)稱概念的范疇，使得對(duì)稱有了更為豐富的內(nèi)涵。本文通過(guò)使用語(yǔ)義分析方法，將古典對(duì)稱看做是有關(guān)對(duì)稱理論的元理論，在這一過(guò)程中，首先利用語(yǔ)義分析方法將古典對(duì)稱的概念與客觀實(shí)在進(jìn)行聯(lián)系，在概念與現(xiàn)象之間建立起客觀的、準(zhǔn)確的關(guān)聯(lián)，規(guī)范古典對(duì)稱所描述的內(nèi)容;其次通過(guò)分析古典對(duì)稱在物理學(xué)上的意義，找出古典對(duì)稱在結(jié)構(gòu)上的特征，界定域語(yǔ)言、操作語(yǔ)言和操作關(guān)系的適用范圍，展現(xiàn)出科學(xué)知識(shí)對(duì)于特定知識(shí)體系結(jié)構(gòu)的分析、解決問(wèn)題的方法，為對(duì)稱理論研究提供一個(gè)范式;最后本文在把握對(duì)稱關(guān)系結(jié)構(gòu)同一性的基礎(chǔ)上，通過(guò)將對(duì)稱概念在語(yǔ)義上上升，把握對(duì)稱在物理學(xué)各個(gè)分支學(xué)科的應(yīng)用，提供了一種解釋和解決物理學(xué)難題的方法。而在物理學(xué)各個(gè)分支學(xué)科的研究過(guò)程中，對(duì)稱作為一種物理學(xué)分析方法幾乎貫穿于物理學(xué)研究的各個(gè)領(lǐng)域。那么，我們拋開(kāi)學(xué)科界限，把握對(duì)稱所展示出的本質(zhì)特征，通過(guò)擴(kuò)大古典對(duì)稱語(yǔ)境，將物理學(xué)各個(gè)分支學(xué)科的對(duì)稱現(xiàn)象加以歸納和解釋，從而構(gòu)造出一個(gè)橫斷于物理學(xué)研究的綱領(lǐng)，本文的意義也就在此。

一 古典對(duì)稱的定位及數(shù)學(xué)分析

隨著物理學(xué)的發(fā)展，人們將電磁學(xué)、原子物理學(xué)和相對(duì)論等諸多物理學(xué)的分支學(xué)科中的相似命題歸納到對(duì)稱這個(gè)概念的范疇之內(nèi)，擴(kuò)大了對(duì)稱這一概念的內(nèi)涵，并就這個(gè)概念進(jìn)行全新闡釋。當(dāng)對(duì)稱概念擺脫傳統(tǒng)觀念的束縛后，脫離了經(jīng)驗(yàn)層面上可觀察兩個(gè)圖形的完全重合這一標(biāo)準(zhǔn)，將不變量與守恒量引入理論，充分顯示出該理論所具備嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓院屯陚湫?，使得?duì)稱理論在數(shù)學(xué)、物理學(xué)研究中賦予更為廣闊的應(yīng)用范圍和豐富的結(jié)論?？v觀幾何學(xué)、牛頓力學(xué)、電磁學(xué)、粒子物理學(xué)等學(xué)科，每個(gè)學(xué)科中蘊(yùn)含著各不相同的研究思想與研究方法，對(duì)稱在這些學(xué)科中所體現(xiàn)的意義也是千差萬(wàn)別的，這就需要用一個(gè)橫斷研究的方法來(lái)闡述對(duì)稱概念本身及其意義。而語(yǔ)境分析則正好可以完成這個(gè)使命，因?yàn)椤叭魏我囟贾挥性谂c其他關(guān)聯(lián)存在的具體的或歷史的語(yǔ)境中，才是富有生命力的?！保?］

古典對(duì)稱就本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是關(guān)于幾何圖形的對(duì)稱，其內(nèi)容來(lái)源于人類自身對(duì)環(huán)境的觀察與總結(jié)，是最為直觀的對(duì)稱類型，也是人們?cè)跀?shù)學(xué)、物理學(xué)研究中所認(rèn)識(shí)到的最初級(jí)的對(duì)稱，前面所提到的近代物理學(xué)中的諸多類型的對(duì)稱就是以此為基礎(chǔ)。

古典對(duì)稱創(chuàng)立與發(fā)展的基礎(chǔ)是我們?nèi)粘Ｉ钪械目臻g，歐幾里得幾何對(duì)空間的描述由于符合人們對(duì)所處空間的認(rèn)識(shí)而被廣泛接受。歐氏幾何中定義了維度這個(gè)概念，并規(guī)定我們所處的空間是三個(gè)獨(dú)立的維度，且在各個(gè)維度上都具有各向同性。這些也就構(gòu)成了我們關(guān)于空間這一概念的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，同時(shí)也是古典對(duì)稱研究的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在劃分古典對(duì)稱的類型時(shí)，不同的劃分方式將引導(dǎo)出不同的結(jié)論。古典對(duì)稱存在以下幾種劃分方法:

（1）按照對(duì)稱圖形的個(gè)體數(shù)量來(lái)說(shuō)，有單一物體對(duì)稱，即圖形的一部分與另一部分之間的對(duì)稱;有兩個(gè)物體之間的對(duì)稱;有一組圖形（圖形數(shù)量≥2）與另一組圖形之間的對(duì)稱。

（2）就圖形之間的對(duì)稱關(guān)系來(lái)說(shuō)，有關(guān)點(diǎn)對(duì)稱的;關(guān)于直線對(duì)稱的;關(guān)于平面對(duì)稱的。例如，我們?nèi)粘Ｉ钪械溺R像對(duì)稱，自己和鏡子中的像所具有的對(duì)稱。

（3）按照對(duì)稱變化是否連續(xù)來(lái)劃分。例如平面圖形中的圓將會(huì)根據(jù)其自身的任意一條直徑產(chǎn)生對(duì)稱變換關(guān)系，當(dāng)直接連續(xù)變換時(shí)，圓中的對(duì)稱關(guān)系也是連續(xù)變換的;而圖形不能滿足連續(xù)變換規(guī)律時(shí)則認(rèn)為是不連續(xù)的。

（4）按照空間維度進(jìn)行劃分，這也是最常見(jiàn)的劃分方法。在歐氏幾何中將空間確定為三個(gè)相互不同的維度，圖形之間的對(duì)稱關(guān)系存在于一維、二維和三維空間。

以上所提及的古典對(duì)稱的不同劃分方法，分別代表了不同的分析問(wèn)題的角度與分析方法，其側(cè)重點(diǎn)雖各不相同，但并不排斥，如二維平面中的圓自身的對(duì)稱性，從維度上說(shuō)是二維的，從數(shù)量上說(shuō)是單體，從對(duì)稱種類上說(shuō)是點(diǎn)或直線對(duì)稱，對(duì)稱關(guān)系可以看做是連續(xù)的。在古典對(duì)稱研究中所體現(xiàn)出的方式和結(jié)論是大致相同的。當(dāng)我們談及兩個(gè)大小、形狀相同的幾何圖形的對(duì)稱性時(shí)，通常情況下是指這兩個(gè)圖形通過(guò)某個(gè)操作（平移或轉(zhuǎn)動(dòng)）后可以完全重合。古典對(duì)稱的研究通常以人們所熟知且容易區(qū)分的空間維度作為主要的劃分標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)于平面圖形的重合，兩個(gè)圖形的重合不會(huì)有物理上的障礙，即它們無(wú)論是作為幾何的符號(hào)還是作為實(shí)際存在的物理客體來(lái)說(shuō)都是會(huì)重合的。當(dāng)對(duì)于三維圖形來(lái)說(shuō)，三維空間的圖形對(duì)稱還需要附加一些條件，因?yàn)槿S空間中所體現(xiàn)出的對(duì)稱性將更加豐富。在三維空間中不僅存在著平移對(duì)稱與轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱，還有一種特殊的對(duì)稱——螺旋對(duì)稱，螺距均勻的圓柱形螺旋線有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，其主要特征為將其沿軸線提升一個(gè)距離X及旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α后的新螺線與原螺線重合?？梢?jiàn)，古典對(duì)稱的發(fā)展已經(jīng)顛覆了我們傳統(tǒng)思維中的概念，雖然仍基于自身觀察，但是已經(jīng)逐步遠(yuǎn)離人們的經(jīng)驗(yàn)，變得更加邏輯化。當(dāng)我們談?wù)摬煌愋偷墓诺鋵?duì)稱時(shí)，由于語(yǔ)境的不同，古典對(duì)稱所指的內(nèi)容也相差極大。

當(dāng)我們用傳統(tǒng)幾何學(xué)的方法證明圖形的對(duì)稱時(shí)，首先觀察圖形是否“相似”，然后通過(guò)歐氏幾何中所預(yù)設(shè)的公理、定律等條件逐步完成全等的證明過(guò)程。在這個(gè)演繹的、綜合的幾何證明過(guò)程中，被論證的公理被認(rèn)為是“自明之理”，這個(gè)“自明之理”以及由此推導(dǎo)出的定理本身就缺乏嚴(yán)密的邏輯起點(diǎn)，故我們認(rèn)為歐氏幾何所證明的圖形對(duì)稱也僅僅是從總體上粗略地比較兩個(gè)圖形是否完全重合而已。在歐幾里得所創(chuàng)建的幾何大廈中，給出了大量的真理，但在其理論體系中并未解釋為什么會(huì)是這個(gè)樣子，也沒(méi)有指出是如何發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律的。［2］歐幾里得所做的證明也僅僅可以告訴我們什么樣的圖形是可以看作對(duì)稱的，甚至可以告訴我們這類對(duì)稱圖形有哪些性質(zhì)，但在他的理論中并沒(méi)有闡述圖形對(duì)稱的原因。

解析幾何的出現(xiàn)，為我們研究古典對(duì)稱提供了一個(gè)新的范式。在這個(gè)新范式中，古典對(duì)稱理論有了新的量化標(biāo)準(zhǔn)，這就提供了研究古典對(duì)稱的具體操作步驟，從而簡(jiǎn)化了研究手段，使得研究結(jié)果更加精確。解析幾何開(kāi)創(chuàng)了由傳統(tǒng)的幾何、算術(shù)到普遍的數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)。

在幾何圖形的數(shù)學(xué)化分析過(guò)程中，圖形中的每個(gè)點(diǎn)都與坐標(biāo)相確定，可以將確定的幾何圖形與空間位置用準(zhǔn)確的數(shù)值來(lái)描述，通過(guò)簡(jiǎn)單的比對(duì)函數(shù)數(shù)值來(lái)確定圖形之間的關(guān)系，甚至可以將圖形中的變化情況用數(shù)字進(jìn)行描述。在整個(gè)分析過(guò)程中，解析幾何為我們展示了一個(gè)分析的幾何過(guò)程而并非綜合的幾何過(guò)程。［3］在解析幾何中可以將其描述為一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)一個(gè)數(shù)學(xué)變化后與另一個(gè)圖形保持一致，那么我們將圖形間的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為一種數(shù)學(xué)關(guān)系。關(guān)于幾何對(duì)稱問(wèn)題，有點(diǎn)與點(diǎn)之間的對(duì)稱關(guān)系，也存在圖形之間的對(duì)稱關(guān)系。而我們可以將圖形之間的對(duì)稱看作是一個(gè)集合中的點(diǎn)經(jīng)過(guò)對(duì)稱操作后與另一組集合之中的點(diǎn)存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么我們可以認(rèn)為圖形之間的對(duì)稱包含點(diǎn)之間的對(duì)稱關(guān)系。

二維空間中點(diǎn)對(duì)稱的數(shù)學(xué)變化可以由下列算式描述:

從古典對(duì)稱變換的數(shù)學(xué)公式中可以看出，我們以研究點(diǎn)的對(duì)稱操作為基礎(chǔ)，將點(diǎn)與點(diǎn)之間的對(duì)稱變換看作是一個(gè)正交矩陣作用在這個(gè)點(diǎn)上的過(guò)程。其中，正交矩陣的模存在著多種不同的取值情況，分別代表了圖形在各自維度上所進(jìn)行的縮放。在對(duì)稱變換過(guò)程中，正交矩陣的模為1，表明兩個(gè)點(diǎn)到對(duì)稱點(diǎn)的距離是相同的，如平面中一個(gè)圓的兩個(gè)半圓關(guān)于圓心的對(duì)稱。當(dāng)我們?cè)跉W氏幾何所描述的空間中研究對(duì)稱現(xiàn)象時(shí)，古典對(duì)稱在不同維度中所體現(xiàn)出的公式差異，僅僅是在描述點(diǎn)的函數(shù)中加入新的獨(dú)立變量，且在正交矩陣中做出相應(yīng)變化。

利用解析幾何方法分析古典對(duì)稱問(wèn)題，先利用數(shù)組將圖形中的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上定位，然后將圖形看做是空間中的點(diǎn)按照一定規(guī)律所排列的集合，用φ（x，y）或 φ（x，y，z）來(lái)表示，則對(duì)稱變換公式可改寫成 φ（x，y）→φ（x'，y'）={aij}φ（x，y）或 φ（x，y，z）→φ（x'，y'，z'）={aijk}φ（x，y，z）。在對(duì)稱變換前后，函數(shù)中的自變量發(fā)生改變是由于圖形的位置發(fā)生改變;變化前后圖形保持著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，用函數(shù)形式的不變來(lái)表征形狀并未發(fā)生改變;在變換過(guò)程中引入了正交矩陣，說(shuō)明圖形沒(méi)有進(jìn)行縮放。整個(gè)古典對(duì)稱變換的過(guò)程是一個(gè)分析的過(guò)程，而不是歐氏幾何證明中所體現(xiàn)出的綜合的過(guò)程。

二 古典對(duì)稱的物理意義與結(jié)構(gòu)特征

古典對(duì)稱在數(shù)學(xué)分析過(guò)程中所體現(xiàn)出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓院途_性為物理學(xué)所借鑒，將古典對(duì)稱理論引入物理學(xué)研究之中，并輔以物理學(xué)分析的合理性，使古典對(duì)稱理論顯示出強(qiáng)大的工具性，從而使得對(duì)稱理論在物理學(xué)中得到長(zhǎng)足發(fā)展，極大地豐富了古典對(duì)稱理論的內(nèi)涵，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:

第一，古典對(duì)稱利用其直觀化的優(yōu)勢(shì)，通過(guò)賦予幾何圖形以物理意義，從而引導(dǎo)物理問(wèn)題尋求幾何化求解方法，從而將物理問(wèn)題較為直觀地呈現(xiàn)，使物理思維變得更加明晰，簡(jiǎn)化分析物理問(wèn)題的過(guò)程，這就是從二十世紀(jì)初一直延續(xù)到現(xiàn)在關(guān)于對(duì)稱性問(wèn)題研究的趨勢(shì)。

第二，古典對(duì)稱理論在固體物理、結(jié)晶學(xué)等學(xué)科中的應(yīng)用。這里，我們著重研究對(duì)稱操作的個(gè)數(shù)。當(dāng)一個(gè)圖形在某一正交變換下保持不變時(shí)，我們就可以將這個(gè)正交變換看作是一個(gè)對(duì)稱操作，當(dāng)一個(gè)圖形可以完成更多的對(duì)稱操作而保持其不變性時(shí)，該圖形就表現(xiàn)出更高的對(duì)稱性，例如平面等腰三角形所滿足的對(duì)稱操作個(gè)數(shù)明顯小于圓所滿足的對(duì)稱操作個(gè)數(shù)，則可知等腰三角形所具有的對(duì)稱性小于圓的對(duì)稱性。在結(jié)晶學(xué)和固體物理學(xué)中，晶體的宏觀性質(zhì)就是由內(nèi)部格子的對(duì)稱性所決定的。不同的晶體之間具有不同的對(duì)稱性型，可以根據(jù)晶體的對(duì)稱特點(diǎn)劃分出不同的晶族和晶系;晶體對(duì)稱性從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)取決于內(nèi)部格子的構(gòu)造，所以，晶體的各項(xiàng)物理性質(zhì)都是取決于其組成質(zhì)點(diǎn)的種類和排列方式，因此晶體中凡是具有方向性的物理性質(zhì)，如折射率、電導(dǎo)率和硬度等都會(huì)呈現(xiàn)出對(duì)稱關(guān)系。晶體的對(duì)稱性決定并影響著晶體中涉及幾何和物理兩方面的一切性質(zhì);反之，可以通過(guò)晶體的幾何外形以及它們的一些物理性質(zhì)來(lái)正確地確定晶體的對(duì)稱性。

第三，隨著古典對(duì)稱理論的發(fā)展，對(duì)稱已經(jīng)不僅僅是在可觀察層面上的圖案重合，通過(guò)繼承對(duì)稱關(guān)系中的邏輯性及其推導(dǎo)過(guò)程，對(duì)稱理論已經(jīng)逐漸遠(yuǎn)離經(jīng)驗(yàn)層面而繼續(xù)向物理學(xué)各領(lǐng)域滲透。在物理學(xué)的各個(gè)分支學(xué)科中，人們利用對(duì)稱變換推導(dǎo)并總結(jié)出不變量與守恒量，并在隨后的理論與實(shí)踐中得到驗(yàn)證，使人們逐步接受對(duì)稱性，并堅(jiān)信對(duì)稱性的普遍存在，從而發(fā)展對(duì)稱理論。接著積極地在各種有意義的現(xiàn)象之間建立關(guān)聯(lián)，充分利用對(duì)稱理論分析問(wèn)題，并預(yù)測(cè)未知現(xiàn)象。

第四，利用對(duì)稱性，在兩個(gè)看似不同的對(duì)象中尋找它們的共同特征，并建立相互關(guān)聯(lián)。一旦我們確定兩事物之間存在某種對(duì)稱性，于是通過(guò)確定這個(gè)對(duì)象的特征，利用對(duì)稱性之間的相互聯(lián)系來(lái)推導(dǎo)出另一對(duì)象的相應(yīng)特征。這樣，我們發(fā)現(xiàn)從表面上看上去彼此無(wú)關(guān)的對(duì)象，如果將它們放在對(duì)稱性語(yǔ)境中加以考察，可能會(huì)發(fā)現(xiàn)其中存在的某些遺漏和缺陷，以此更加全面地了解對(duì)象的更多特征。例如，我們?nèi)粘Ｉ钪械目臻g與時(shí)間的問(wèn)題，通常人們會(huì)認(rèn)為空間和時(shí)間是相差很大的兩個(gè)對(duì)象，牛頓力學(xué)關(guān)于空間和時(shí)間的研究尤為豐富，指出:它們分別屬于兩個(gè)不同的量綱，代表著不同的物理意義，用不同的單位來(lái)度量，實(shí)驗(yàn)中使用不同的儀器來(lái)測(cè)量。而愛(ài)因斯坦看到了空間和時(shí)間之間的一些共同特征，認(rèn)定它們之間存在著某種對(duì)稱性，然后通過(guò)對(duì)稱理論將時(shí)間統(tǒng)一為第四維度的空間，從而擴(kuò)展了相對(duì)論的內(nèi)容。在19世紀(jì)末20世紀(jì)初，物理學(xué)家利用對(duì)稱原理發(fā)現(xiàn)了當(dāng)時(shí)存在于物理學(xué)中若干重大佯謬，并隨之做出相應(yīng)的修正。［4］在上個(gè)世紀(jì)中后葉，利用對(duì)稱理論大膽預(yù)測(cè)了當(dāng)時(shí)尚未發(fā)現(xiàn)的微觀粒子。

最后，推動(dòng)數(shù)學(xué)分支學(xué)科－群論的發(fā)展。古典對(duì)稱變換操作中，透過(guò)圖形變換這一表象，把握其操作后保持不變這一特征。牛頓力學(xué)與量子力學(xué)因可以準(zhǔn)確地描述宏觀與微觀世界中的物理規(guī)律而被廣泛地認(rèn)同，在經(jīng)典宏觀系統(tǒng)與微觀系統(tǒng)中的物理特征分別由拉氏函數(shù)與哈密頓量決定，宏觀與微觀世界的對(duì)稱性分別表現(xiàn)為拉氏函數(shù)與哈密頓量在變換中保持不變的集合來(lái)描述。這樣，在不同的變換規(guī)則下產(chǎn)生出不同的群，對(duì)稱變換的集合描寫系統(tǒng)的全部對(duì)稱性質(zhì)。根據(jù)系統(tǒng)的對(duì)稱性質(zhì)，通過(guò)群論方法研究，可以直接得到系統(tǒng)許多精確的、與系統(tǒng)無(wú)關(guān)的重要性質(zhì)。［5］群論的出現(xiàn)為物理學(xué)提供了一個(gè)有效的數(shù)學(xué)工具，而物理學(xué)的發(fā)展反作用于群論，推動(dòng)群論的深入研究。

任何科學(xué)知識(shí)都是通過(guò)特定的科學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)獲得其自身存在的物質(zhì)外殼，從而展現(xiàn)它描述，解釋和把握客觀世界規(guī)律的本質(zhì)。［6］4

對(duì)稱性作為物理學(xué)中的普適原理之一，描述對(duì)稱性原理的科學(xué)語(yǔ)言在結(jié)構(gòu)上存在著兩重性，域語(yǔ)言（area language）在深層地語(yǔ)義結(jié)構(gòu)內(nèi)在地規(guī)定了相應(yīng)知識(shí)系統(tǒng)所涉及的范圍，是一種定性的描述;而操作語(yǔ)言（operating language）在表層句法上直接地規(guī)定了相應(yīng)知識(shí)系統(tǒng)在其研究領(lǐng)域的操作規(guī)則，是一種定量描述。一個(gè)確定的知識(shí)系統(tǒng)圖景就可以用表示為:St=∑（OdA），其中O表示操作語(yǔ)言，它作用于域語(yǔ)言A。d表示由該知識(shí)系統(tǒng)所允許進(jìn)行描述的確定操作關(guān)系。下標(biāo)t表示這一系統(tǒng)的特定發(fā)展階段或時(shí)期。∑是整個(gè)研究域和這一系統(tǒng)中各操作要素的集合算符。［6］5

就古典對(duì)稱來(lái)說(shuō)，其研究對(duì)象為日常生活中可觀察的幾何圖形，這些幾何圖形存在于歐幾里得所規(guī)定的一維、二維和三維各向同性的空間中?？茖W(xué)哲學(xué)中關(guān)于對(duì)象的劃分有著多種不同的方式，在這里我們參照弗雷格關(guān)于對(duì)象的劃分標(biāo)準(zhǔn)，他將心理學(xué)對(duì)象與邏輯對(duì)象，主觀對(duì)象與客觀對(duì)象明確區(qū)分開(kāi)來(lái)，將對(duì)象劃分為三類:物理的（物質(zhì)客體）、心里的（靈魂）和抽象的（像數(shù)這樣的抽象概念）。經(jīng)驗(yàn)主義把“數(shù)”這個(gè)概念視為外在事物的抽象描述，這樣將數(shù)與物質(zhì)客體進(jìn)行聯(lián)系，并且可以被用于外在的物理對(duì)象等。［7］對(duì)稱圖形中的每個(gè)點(diǎn)都是物質(zhì)客體，而將圖形看做是一系列點(diǎn)按照一定規(guī)律排列所組成的集合，函數(shù)在空間中的軌跡與圖形相對(duì)應(yīng)，而這個(gè)函數(shù)則應(yīng)當(dāng)被視為抽象客體。對(duì)稱變化過(guò)程中的操作語(yǔ)言，在公式中表示為正交算符，它代表了一種數(shù)學(xué)變化具體操作過(guò)程。

科學(xué)實(shí)在論者堅(jiān)信，科學(xué)為我們所展示的途徑是真實(shí)的，它的每個(gè)細(xì)節(jié)都值得我們信賴，科學(xué)中假設(shè)的實(shí)體也是實(shí)在的，科學(xué)是通過(guò)一個(gè)個(gè)的發(fā)現(xiàn)而獲得進(jìn)步的。［8］哥白尼、開(kāi)普勒、笛卡兒等人都認(rèn)為自然界的某些現(xiàn)象是與數(shù)學(xué)十分吻合的，他們甚至認(rèn)為上帝不僅創(chuàng)造世界，而且也創(chuàng)造了與人相一致的數(shù)學(xué)思維?？茖W(xué)實(shí)在論者繼承并發(fā)展了柏拉圖將數(shù)字看做是共相的觀點(diǎn)，認(rèn)為數(shù)學(xué)是獨(dú)立于數(shù)學(xué)家的運(yùn)算以及普遍人的思考，數(shù)學(xué)是對(duì)客觀存在的實(shí)體的科學(xué)研究，就像是物理學(xué)對(duì)實(shí)體研究一樣。

在研究古典對(duì)稱變化過(guò)程的數(shù)學(xué)公式中，描述幾何圖形中點(diǎn)的坐標(biāo)或者點(diǎn)之間位置相互關(guān)系利用函數(shù)來(lái)表示，這是弗雷格所定義的概念客體;古典對(duì)稱變換的操作語(yǔ)言矩陣也是概念客體－數(shù)。數(shù)通常被認(rèn)為是內(nèi)在最直觀的對(duì)象，就數(shù)的關(guān)系的運(yùn)算通常被認(rèn)為是精神的活動(dòng)。精神在這種活動(dòng)中就把它最特有的關(guān)系，或者最為本質(zhì)的關(guān)系以最直觀的方式展現(xiàn)出來(lái)。算術(shù)是一種分析科學(xué)，因?yàn)樵谒阈g(shù)對(duì)象中出現(xiàn)的一切關(guān)聯(lián)和區(qū)別，都并非在對(duì)象本身中，而完全是從外面作用于對(duì)象的。它并沒(méi)有具體的對(duì)象，具體對(duì)象有自在的內(nèi)在關(guān)系，起初隱藏著不被認(rèn)知，不是在有關(guān)對(duì)象的直接觀念中就呈現(xiàn)出來(lái)，而是要由認(rèn)知的努力而獲得。［9］我們關(guān)于古典對(duì)稱的系統(tǒng)認(rèn)識(shí)是建立在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上，即一個(gè)描述幾何圖形的狀態(tài)函數(shù)在對(duì)稱操作下保持不變。

三 古典對(duì)稱的句法及其意義

古典對(duì)稱是以日常生活中的觀察現(xiàn)象為基礎(chǔ)，通過(guò)現(xiàn)象總結(jié)出規(guī)律。而一個(gè)觀測(cè)（總結(jié)出）的理論可能會(huì)詳細(xì)地說(shuō)明在特定條件下所發(fā)生的現(xiàn)象，并且不僅在概念上，在上下文中可能真正地給出局部特征;而定律則會(huì)有更嚴(yán)格的要求，它不僅會(huì)列出作為真的可能性條件，而且會(huì)要求給出在上下文中什么是真的可能性的完整特征。［10］這些可觀察的物理量、客觀實(shí)在不僅構(gòu)成科學(xué)語(yǔ)言中的“所指”，還稱為人類日常生活所形成的常識(shí)的基礎(chǔ)。科學(xué)、哲學(xué)以及理性思維都必須以常識(shí)為出發(fā)點(diǎn)，［11］但常識(shí)并非是一個(gè)可靠的出發(fā)點(diǎn)，因?yàn)槌ＷR(shí)其不具備物質(zhì)客體的特征，是不為經(jīng)驗(yàn)論者和唯名論者所認(rèn)同的。人類在獲取知識(shí)的過(guò)程中，以常識(shí)為出發(fā)點(diǎn)，獲得進(jìn)步的手段是批判。傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)論者和唯名論者都承認(rèn)物質(zhì)客體的客觀性與實(shí)在性，而概念客體是從日常生活中總結(jié)出來(lái)的規(guī)律，不具有客觀實(shí)體的特征。

人們?cè)谟^察客觀世界時(shí)僅僅得到了關(guān)于世界的外在的、直觀的表象，并將概念、詞項(xiàng)和客觀實(shí)在相對(duì)應(yīng)，構(gòu)成語(yǔ)義分析中所指的內(nèi)容;而科學(xué)理論要求掌握其內(nèi)在的、具體的意義，通過(guò)利用句法規(guī)則構(gòu)成能指的形式。語(yǔ)義分析正是一個(gè)將表層語(yǔ)言的句法結(jié)構(gòu)與深層本質(zhì)的語(yǔ)義結(jié)構(gòu)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)獲得實(shí)現(xiàn)。［12］

在古典對(duì)稱中，對(duì)稱變換構(gòu)成科學(xué)理論語(yǔ)義分析中“能指”的內(nèi)容，正交矩陣則形成“能指”的形式;幾何圖形、狀態(tài)函數(shù)、重合、不變量等構(gòu)成“所指”的內(nèi)容，幾何圖形中點(diǎn)的排列方式和狀態(tài)函數(shù)中點(diǎn)所形成的軌跡則稱為“所指”的形式。通過(guò)分析所指內(nèi)容中的幾何圖形，我們可以得到一些表象的特征，也是初級(jí)特征。而幾何圖形的更深層特征只有通過(guò)句法的形式系統(tǒng)，即利用一個(gè)操作域，圖形經(jīng)過(guò)變化后將始末狀態(tài)連接起來(lái)，操作域構(gòu)成了連接始末狀態(tài)的橋梁。就像化學(xué)反應(yīng)是連接反應(yīng)物與生成物的橋梁一樣，在沒(méi)有發(fā)生化學(xué)反應(yīng)之前，只能觀察到物質(zhì)所具有的物理特性，當(dāng)發(fā)生化學(xué)反應(yīng)后，其所具有的深層的化學(xué)性質(zhì)才能以體現(xiàn)。古典對(duì)稱就是利用對(duì)稱操作將靜態(tài)的幾何圖形轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的演化過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，幾何圖形的位置發(fā)生的改變，這一過(guò)程通過(guò)改變狀態(tài)函數(shù)φ中的坐標(biāo)來(lái)實(shí)現(xiàn);幾何圖形變化后所處的位置由正交矩陣所確定。而在古典對(duì)稱過(guò)程中，幾何圖形的形狀和大小并沒(méi)有發(fā)生改變。通過(guò)分析幾何圖形的狀態(tài)函數(shù)φ，當(dāng)變化前后φ相同時(shí)，則表示圖形的形狀不變;而幾何圖形的大小不變則是通過(guò)變換過(guò)程中，正交矩陣的模為1來(lái)實(shí)現(xiàn)的。在古典對(duì)稱中，雖然圖形的位置發(fā)生改變，但是圖形的大小與形狀并沒(méi)有改變，那么在這里古典對(duì)稱體現(xiàn)出了一種經(jīng)過(guò)變換后的不變性。

隨著現(xiàn)代科學(xué)越來(lái)越遠(yuǎn)離經(jīng)驗(yàn)的發(fā)展，科學(xué)理論已經(jīng)被人們視為表述為真值的符號(hào)網(wǎng)絡(luò)。在這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)架過(guò)程中，越來(lái)越多的客觀實(shí)在抽象地歸納于系統(tǒng)之中，使這個(gè)符號(hào)網(wǎng)絡(luò)具有更高的層次和更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。在物理學(xué)各分支學(xué)科如牛頓力學(xué)、電磁學(xué)、量子力學(xué)等領(lǐng)域，古典對(duì)稱現(xiàn)身其中并發(fā)揮著不可替代的作用，使得對(duì)稱理論的對(duì)象得到擴(kuò)充，從而導(dǎo)致域語(yǔ)言、操作語(yǔ)言和操作關(guān)系都隨著發(fā)生改變。在擴(kuò)展過(guò)程中，古典對(duì)稱的理論內(nèi)核－古典對(duì)稱的語(yǔ)義分析并未發(fā)生改變，我們應(yīng)當(dāng)把深層的語(yǔ)義分析看作是對(duì)真理的揭示，那么科學(xué)形式表述的結(jié)構(gòu)同一性就比語(yǔ)義分析“更基本”。［6］40古典對(duì)稱在物理學(xué)的發(fā)展中，摒棄原來(lái)僅依靠幾何圖形而完成的對(duì)稱操作，利用邏輯關(guān)系，開(kāi)始逐步利用這種對(duì)稱操作，將物理學(xué)中看似不相關(guān)的兩個(gè)對(duì)象聯(lián)系在一起，從而保持句法結(jié)構(gòu)上的同一性，并隨之規(guī)范操作語(yǔ)言和操作關(guān)系，通過(guò)域語(yǔ)言的上升和引入新的術(shù)語(yǔ)和新的語(yǔ)義和句法的規(guī)范性，擴(kuò)展了對(duì)稱這一概念的語(yǔ)境范圍，使對(duì)稱理論在動(dòng)態(tài)變化中繼續(xù)保持域語(yǔ)言、操作語(yǔ)言與操作關(guān)系之間的協(xié)調(diào)性。

語(yǔ)義分析方法在哲學(xué)背景上從來(lái)都不是中性的，它始終與本體論的假設(shè)聯(lián)系在一起。［13］利用語(yǔ)義分析方法分析古典對(duì)稱問(wèn)題，在圖形與規(guī)律之間利用科學(xué)語(yǔ)言將其規(guī)范化描述，在它們之間建立起多層次、具有邏輯關(guān)系的橋梁，使二者可以在科學(xué)解釋中形成相互轉(zhuǎn)化的過(guò)程。

在笛卡兒尚未使用數(shù)形結(jié)合的思想描述幾何圖形之前，當(dāng)在傳統(tǒng)視野下判斷古典對(duì)稱關(guān)系時(shí)，僅僅依靠歐氏空間中對(duì)幾何圖形的觀察，這是非常不準(zhǔn)確的;更糟糕的是，即使去推導(dǎo)或證明對(duì)稱關(guān)系，那也是通過(guò)歐幾里得所創(chuàng)立的幾何學(xué)來(lái)判斷。眾所周知，歐氏幾何是建立在一些自明之理或公設(shè)基礎(chǔ)之上的，這些公理或公設(shè)本身也是建立在常識(shí)基礎(chǔ)之上。常識(shí)所描述的客觀世界在一些情況下是準(zhǔn)確的，但有時(shí)所描述的客觀世界也是不準(zhǔn)確的，如兩千多年前亞里士多德曾認(rèn)為重的物體下落的快。那么基于常識(shí)基礎(chǔ)的對(duì)稱關(guān)系判斷則表現(xiàn)出了不完備，或者說(shuō)是邏輯基礎(chǔ)不嚴(yán)密的;而使用了解析幾何的方法，不僅可以將圖形數(shù)學(xué)化描述，而且將對(duì)稱變化的過(guò)程進(jìn)行數(shù)學(xué)化描述，這樣，古典對(duì)稱自身則具備了準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和完備的邏輯基礎(chǔ)。

觀察總是不精確的，而理論卻做出絕對(duì)精確的斷定。［14］在解析幾何中引入了坐標(biāo)軸與坐標(biāo)系，將幾何圖形放入坐標(biāo)軸或坐標(biāo)系中，為圖形中的點(diǎn)與坐標(biāo)形成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣就可以用代數(shù)確定幾何圖形。在代數(shù)與圖形的結(jié)合過(guò)程中，可以利用數(shù)學(xué)準(zhǔn)確地表明圖形與圖形之間的關(guān)系，那么對(duì)稱關(guān)系就可以表述為一個(gè)數(shù)學(xué)公式，將古典對(duì)稱過(guò)程中的幾何圖形之間是否重合翻譯成解析幾何中數(shù)值是否相等，這樣就可以通過(guò)數(shù)字對(duì)古典對(duì)稱過(guò)程進(jìn)行準(zhǔn)確的分析與判斷。古典對(duì)稱自身則具備準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

古典對(duì)稱僅僅建立在邏輯基礎(chǔ)之上仍然是不夠的，要完成將古典對(duì)稱作為普遍性原理，還需要我們要以毫無(wú)間斷的連續(xù)的思維運(yùn)動(dòng)來(lái)思考問(wèn)題，這樣探索古典對(duì)稱的過(guò)程才會(huì)更加完備。這是由于那些并非從自明之理中直接演繹出來(lái)的真理，如果要保證它的確定性，必須遵守一個(gè)連續(xù)的推導(dǎo)過(guò)程。當(dāng)推論的連續(xù)步驟過(guò)多時(shí)，如果我們到達(dá)真理，已經(jīng)不能完整地重復(fù)推導(dǎo)過(guò)程，這樣的話，需要用連續(xù)思維來(lái)彌補(bǔ)這個(gè)過(guò)程的缺陷。以過(guò)程A→B→C→D為例來(lái)加以說(shuō)明，由事物A可以推導(dǎo)出事物B，緊接著可以推導(dǎo)出事物C，然后可以推導(dǎo)出事物D，這是一個(gè)連貫的邏輯推導(dǎo)過(guò)程，當(dāng)我們忽視B→C這一環(huán)節(jié)，那么我們是不能輕率地給出A與D之間的關(guān)系，在這里A與D之間的關(guān)系推導(dǎo)就喪失其確定性，因此我們有必要再重新回顧A到D的整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程。僅僅通過(guò)連貫的邏輯推導(dǎo)是不能得到真理的，笛卡兒指出，要達(dá)到事物之真理，需要通過(guò)雙重途徑，一條途徑是我們剛才提到的演繹，另一條途徑是我們的經(jīng)驗(yàn)。故還需要一個(gè)列舉或歸納，這個(gè)過(guò)程的意義在于我們可以得到明顯而確定的結(jié)論，從而避免由于粗心而忽略某些問(wèn)題。

四 結(jié)論

通過(guò)以上分析可以看出，古典對(duì)稱問(wèn)題可以看做是對(duì)稱問(wèn)題的一個(gè)基礎(chǔ)問(wèn)題，率先引入了數(shù)學(xué)中的算術(shù)部分，將對(duì)稱關(guān)系以數(shù)字的形式呈現(xiàn)在我們面前，從而開(kāi)創(chuàng)了古典對(duì)稱問(wèn)題的邏輯傳統(tǒng)，為我們繼續(xù)研究對(duì)稱理論提供了一個(gè)良好的范式。在把握古典對(duì)稱語(yǔ)義特征的背景下，將古典對(duì)稱問(wèn)題進(jìn)行演繹與推理，使對(duì)稱理論擴(kuò)展為一個(gè)普適理論，逐步融入自然科學(xué)之中。而在古典對(duì)稱問(wèn)題中所體現(xiàn)出的語(yǔ)義學(xué)分析與解決問(wèn)題的方法，為研究其他領(lǐng)域的對(duì)稱問(wèn)題提供了很好的借鑒作用。

對(duì)稱問(wèn)題雖然起源于數(shù)學(xué)研究，但是在物理學(xué)中有著十分廣泛的應(yīng)用。愛(ài)因斯坦在回顧物理學(xué)的研究歷程之后指出，當(dāng)物理學(xué)描述客觀世界時(shí)，不得不借助于分析幾何學(xué)，那么我們可以將物理學(xué)的對(duì)稱問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何學(xué)的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)加以研究，物理問(wèn)題的幾何化研究方法從二十世紀(jì)初一直延續(xù)到今天，其重要性也逐漸體現(xiàn)出來(lái)，如利用對(duì)稱性原理發(fā)現(xiàn)守恒定律，推導(dǎo)出某些未被觀察到的粒子等。物理學(xué)中各事物之間的對(duì)稱關(guān)系并不像幾何圖形一樣直觀明了，事物之間的相互關(guān)系往往隱藏在系統(tǒng)內(nèi)部，我們通過(guò)把握物質(zhì)及物質(zhì)所體現(xiàn)出來(lái)的不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，將看似毫不相關(guān)的事物，用對(duì)稱關(guān)系將它們聯(lián)系在一起，這樣就使得物理學(xué)所研究的問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)化。由于對(duì)稱只需要考察事物的始末狀態(tài)，而無(wú)需考慮其過(guò)程中的繁瑣細(xì)節(jié)，可以根據(jù)某個(gè)對(duì)象通過(guò)對(duì)稱性理論去推測(cè)另一對(duì)象在某方面的特征，然后進(jìn)行檢驗(yàn)。這樣可以跳過(guò)繁瑣的細(xì)節(jié)，有效地簡(jiǎn)化解決問(wèn)題的過(guò)程，從而體現(xiàn)出對(duì)稱性理論的優(yōu)越性，它已經(jīng)在物理學(xué)的理論研究中發(fā)揮出重要的作用。

［1］郭貴春．語(yǔ)境分析的方法論意義［J］．山西大學(xué)學(xué)報(bào)，2000（3）:1．

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The Contextual Features and Significance of Classical Symmetry

GUO Gui－chun，LI Long
（Research Center for Philosophy of Science and Technology，Shanxi University，Taiyuan 030006，China）

Classical symmetry can materialize the transformation relation between Euclidean geometry figures，so it has a wide application in various branches of physics．In this paper，we will locate the classical symmetry and analyze the structural features of classical symmetry，so as to grasp the identity in classical symmetry transformation．Through the rise of semantic meaning，we can grasp the essential features in different symmetry phenomenon，and extend contents of symmetry theory．

classical symmetry;semantic analysis;contextual features;significance

（責(zé)任編輯 李雪楓）

O141

A

1000－5935（2011）02－0001－06

2010－12－22

郭貴春（1952－），男，山西沁縣人，山西大學(xué)科學(xué)技術(shù)哲學(xué)研究中心教授，博士生導(dǎo)師，主要從事科學(xué)哲學(xué)研究;

李 龍（1982－），男，山西長(zhǎng)治人，山西大學(xué)科學(xué)技術(shù)哲學(xué)研究中心，博士研究生，從事科學(xué)技術(shù)哲學(xué)研究。

·教育學(xué)與心理學(xué)研究·