馬家蓉,徐 軍

(1.成都大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,四川成都 610106;2.成都市城鄉(xiāng)建設(shè)委員會(huì),四川成都 610031)

0 引 言

在工程中遇到的實(shí)際工程參數(shù)通常是一種變異性很大的各向異性體,工程設(shè)計(jì)施工中所需的參數(shù),一般是依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行簡單統(tǒng)計(jì)分析,在處理具體問題時(shí),樣本容量小,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)離散大,其結(jié)果必然導(dǎo)致人為不確定.工程設(shè)計(jì)中根據(jù)可靠性理論[1]使用JC法求取破壞概率和可靠指標(biāo)時(shí),指定隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)值和概率分布是必需的.就工程設(shè)計(jì)參數(shù)的概率分布推斷方法而言,一些學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了詳細(xì)研究[2-5].由于工程樣本通常是典型的隨機(jī)—模糊樣本,文獻(xiàn)[6]將工程樣本作為隨機(jī)模糊樣本,提出求解隨機(jī)模糊樣本均值和方差的公式.在此基礎(chǔ)上,本文提出以模糊數(shù)學(xué)原理和概率理論為基礎(chǔ)的模糊Bayes方法推斷參數(shù)特征值.

1 Bayes參數(shù)估值方法

Bayes參數(shù)估值法是根據(jù)Bayes統(tǒng)計(jì)理論引申而來,利用先驗(yàn)分布信息,即利用已積累的某一參數(shù)的實(shí)驗(yàn)資料,對(duì)分布概型進(jìn)行初估,再根據(jù)后驗(yàn)數(shù)據(jù),即某一具體工程項(xiàng)目的有限實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),對(duì)概率分布參數(shù)重新加以估計(jì).該方法能夠較好地避免由于實(shí)驗(yàn)數(shù)量不足引起的統(tǒng)計(jì)參數(shù)的偏差,并確定樣本參數(shù)的概率分析參數(shù).

Bayes參數(shù)估值方法的具體步驟是,若設(shè)變量x的先驗(yàn)密度函數(shù)為 f′(x),后驗(yàn)密度函數(shù)為 f″(x),根據(jù)Bayes公式[3]有,

式中,P(E|xi)=P(E|xi≤x＜xi+△x),表示xm發(fā)生在區(qū)間(xi,xi+△x)上的實(shí)驗(yàn)概率,E代表實(shí)驗(yàn)結(jié)果,n代表試驗(yàn)分段數(shù).

直接應(yīng)用上式計(jì)算后驗(yàn)分布函數(shù)一般難以用解析式表達(dá),故可假設(shè)后驗(yàn)分布函數(shù)與先驗(yàn)分布函數(shù)一致,然后確定變量的后驗(yàn)分布函數(shù).根據(jù)概率理論中均值與方差的定義,變量的后驗(yàn)分布參數(shù)的均值與方差可近似為,

2 參數(shù)估值的模糊Bayes方法

2.1 參數(shù)樣本值隨機(jī)模糊分析

2.1.1 樣本參數(shù)均值.

取論域,U={x1,x2,…,xn},A—為 U上的一個(gè)模糊子集,論域中 U的元素xi對(duì)A—的隸屬度為uA(xi),則 A—的核 A1為,

若上式的能夠表示為,

則此式即為所給某參數(shù)所具有的統(tǒng)計(jì)均值.

取樣本 xi對(duì)A的隸屬函數(shù)為,

式中,xi為樣本值,x—為待求特征值,Di1是xi關(guān)于模糊集合A—的核的加權(quán)馬氏距離,ωi為權(quán)重,為方便起見,取,

顯然,隸屬函數(shù)(6)具有這樣的規(guī)律:xi距x—的加權(quán)馬氏距離越大,則它對(duì)A—的隸屬度越小.隸屬函數(shù)確定之后,可按使實(shí)際樣本值整體上隸屬于樣本模糊子集A的程度最大的原則,建立并尋找所具有的統(tǒng)計(jì)特征值的目標(biāo)函數(shù),

將式(6)代入式(7)得,

對(duì)式(8)有,

由式(9)得,

2.1.2 樣本方差.

設(shè)η是基于樣本值,U={x1,x2,…,xn},的隨機(jī)模糊變量,令,

取論域,

則,η對(duì)論域R上的模糊子集B—的隸屬函數(shù)為,

同理,可建立目標(biāo)函數(shù),

據(jù)此,可得樣本方差所服從的隨機(jī)模糊統(tǒng)計(jì)關(guān)系為,

2.2 模糊Bayes方法確定樣本參數(shù)

設(shè)自然狀態(tài)集合為,S = {S1,S2,…,Sh}, P(Si)是自然狀態(tài)的先驗(yàn)概率.下面討論有追加信息的場合,稱集合,X={x1,x2,…,xn},為信息源,設(shè)自然狀態(tài)為真的條件概率 P(xm|Sn)已經(jīng)給出.由Bayes公式知道Sh的后驗(yàn)概率為,

若信息源X中的每個(gè)信息本xm既是隨機(jī)又是模糊,則需要從中提取模糊信息.根據(jù)模糊事件概率的定義,模糊Bayes法則可表示為.

設(shè)變量x的先驗(yàn)分布函數(shù)為f′(x),后驗(yàn)分布函數(shù)為f″(x),則,

式中,P(xm|xi)= P(xm|xi≤x＜ xi+△x),表示 xm發(fā)生在區(qū)間(xi,xi+△x)上的實(shí)驗(yàn)概率,xm代表實(shí)驗(yàn)結(jié)果 ,K代表試驗(yàn)分段數(shù).

直接應(yīng)用(17)式計(jì)算后驗(yàn)分布函數(shù)一般難以用解析式表達(dá),故可假設(shè)后驗(yàn)分布函數(shù)與先驗(yàn)分布函數(shù)一致,然后確定變量的后驗(yàn)分布函數(shù).

根據(jù)概率理論中均值與方差的定義,變量的后驗(yàn)分布參數(shù)的均值與方差可近似由式(2)、(3)確定.至此,我們求得樣本參數(shù)特征值.

同時(shí),不難證明,基于概率統(tǒng)計(jì)的Bayes方法是本文方法的一種特例.假設(shè),X信息源不考慮其模糊性,則,

將其代入式(17),即為式(1).所以,模糊Bayes法是常規(guī)Bayes法的一個(gè)特例.

3 算 例

通過對(duì)國內(nèi)95座已建土石壩工程建筑材料基本參數(shù)的統(tǒng)計(jì),可得中壤土固結(jié)快剪 C服從極值I型分布樣本數(shù)據(jù)52個(gè),均值18.0,標(biāo)準(zhǔn)差11.2,K,α分別為12.96 kPa,0.1145 kPa,現(xiàn)5組試驗(yàn)如表1所示,求參數(shù)估值.

表1 參數(shù)隨機(jī)模糊處理結(jié)果

對(duì)以上試驗(yàn)數(shù)據(jù)用模糊Bayes方法進(jìn)行樣本參數(shù)估值:首先分5個(gè)區(qū)間,

所以有,

由式(17)得,

由式(2)、(3)得,

所以,

故,分布密度函數(shù)為,

4 結(jié) 語

由于受地質(zhì)運(yùn)動(dòng)、環(huán)境變化以及人類工程活動(dòng)的影響,工程體的力學(xué)性質(zhì)非常復(fù)雜,其本身的各種參數(shù)具有很大的不確定性.在進(jìn)行工程可靠性分析時(shí),通常會(huì)以一定的概率模型(概率分布函數(shù)或概率密度函數(shù))來描述其力學(xué)參數(shù)所具有的不確性,對(duì)力學(xué)參數(shù)的概率分布特性研究始終是一項(xiàng)基礎(chǔ)性工作.本文將工程樣本作為典型的隨機(jī) —模糊樣本,提出以模糊數(shù)學(xué)原理和概率理論為基礎(chǔ)的模糊Bayes方法推斷參數(shù)特征值,經(jīng)具體工程項(xiàng)目的應(yīng)用證明其是一種較有效的方法.

[1]吳世偉.結(jié)構(gòu)可靠度分析[M].北京:人民交通出版社, 1990.

[2]徐超,楊林德.隨機(jī)變量擬合優(yōu)度檢驗(yàn)和分布參數(shù)Bayes估計(jì)[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào),1998,26(3):340-344.

[3]張廣文,劉令瑤.確定隨機(jī)變量概率分布參數(shù)的推廣Bayes法[J].巖土工程學(xué)報(bào),1995,17(3):91-94.

[4]徐軍,雷用,鄭穎人.巖土參數(shù)概率分布推斷的模糊Bayes探討[J].巖土力學(xué),2000,21(4):394-396.

[5]李夕兵,宮鳳強(qiáng).巖土力學(xué)參數(shù)概率分布的推斷方法研究綜述[J].長沙理工大學(xué)學(xué)報(bào),2007,4(1):1-8.

[6]楊松林.工程模糊論方法及其應(yīng)用[J].北京:國防工業(yè)出版社,1996.

[7]熊文林,李胡生.巖石樣本力學(xué)參數(shù)值的隨機(jī)—模糊處理方法[J].巖土工程學(xué)報(bào),1992,14(6):101-108.