蔡國(guó)娟，王德進(jìn)，劉振全

(天津科技大學(xué)電子信息與自動(dòng)化學(xué)院，天津 300222)

基于分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的單容水箱液位控制

蔡國(guó)娟，王德進(jìn)，劉振全

(天津科技大學(xué)電子信息與自動(dòng)化學(xué)院，天津 300222)

討論分?jǐn)?shù)階 PIλ控制器在單容水箱液位控制中的應(yīng)用問題，給出了一種基于圖解穩(wěn)定性準(zhǔn)則的 PIλ控制器的設(shè)計(jì)方法.研究了 PIλ控制器的參數(shù)穩(wěn)定域，然后在穩(wěn)定域內(nèi)進(jìn)行系統(tǒng)性能的設(shè)計(jì)，并提出具體的設(shè)計(jì)算法.通過Matlab仿真和水箱液位控制系統(tǒng)的實(shí)際操作實(shí)驗(yàn)，對(duì)分?jǐn)?shù)階PIλ控制器、整數(shù)階PI控制器和常規(guī)Ziegler-Nichols參數(shù)整定方法進(jìn)行比較，說明了本文設(shè)計(jì)方法的有效性和分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的優(yōu)越性.

分?jǐn)?shù)階PIλ控制器；水箱液位控制系統(tǒng)；圖解穩(wěn)定性準(zhǔn)則

對(duì)分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的研究越來越受到人們的重視.一方面，分?jǐn)?shù)階模型是對(duì)一類實(shí)際被控對(duì)象的更精確的數(shù)學(xué)模型描述[1]；另一方面，分?jǐn)?shù)階控制器可以取得比整數(shù)階控制器更好的控制效果[2]，無論是對(duì)整數(shù)階被控對(duì)象還是對(duì)分?jǐn)?shù)階被控對(duì)象.目前，分?jǐn)?shù)階控制器有 4種類型，即 TID控制器[3]、CRONE控制器[4]、PIλDμ控制器[5]及分?jǐn)?shù)階相位超前/滯后補(bǔ)償器[6].文獻(xiàn)[7]采用 D-分解法研究了分?jǐn)?shù)階 PI和 PID控制器的參數(shù)穩(wěn)定域和性能設(shè)計(jì)問題.文獻(xiàn)[8–10]根據(jù)各種性能指標(biāo)約束，通過解析法求解分?jǐn)?shù)階 PIλ和PDμ控制器的參數(shù)，實(shí)現(xiàn)參數(shù)整定.

本文以單容水箱液位控制系統(tǒng)為工程背景，利用一種可應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階時(shí)滯系統(tǒng)的圖解穩(wěn)定性準(zhǔn)則研究分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的參數(shù)穩(wěn)定域和積分階次λ對(duì)參數(shù)穩(wěn)定域的影響，進(jìn)而在參數(shù)穩(wěn)定域內(nèi)進(jìn)行相角裕度性能設(shè)計(jì).文中給出 PIλ控制器的一種圖解參數(shù)整定方法，并與常規(guī)的Ziegler-Nichols參數(shù)整定方法[11]進(jìn)行比較.通過計(jì)算機(jī)仿真和水箱液位控制實(shí)驗(yàn)操作，驗(yàn)證了本文方法的有效性和優(yōu)越性，實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階PIλ控制器在液位控制系統(tǒng)中的實(shí)際應(yīng)用.

1 單容水箱的建模

眾所周知，單容水箱的數(shù)學(xué)模型可以表示為

式中：k為穩(wěn)態(tài)增益；T為時(shí)間常數(shù)；L為滯后時(shí)間，一般是由液體的長(zhǎng)管路傳輸產(chǎn)生.實(shí)驗(yàn)裝置中水箱液位的量程為 0～50 cm.首先將出水閥門固定于某一開度，然后采用階躍響應(yīng)法[12]，連續(xù)做 3次同樣的實(shí)驗(yàn)，取被測(cè)參數(shù)的 3組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，求其平均值，得一階加滯后模型(1)的參數(shù)為

2 參數(shù)穩(wěn)定域

考慮單容水箱液位控制系統(tǒng)，如圖1所示.

圖1 單位反饋控制系統(tǒng)Fig.1 Unity feedback control systems

其中G(s)由式(1)給定，C(s)為分?jǐn)?shù)階 PIλ,控制器.

式中：kP和kI分別為比例增益和積分增益；λ∈(0,2)為積分階次.如果取λ=1，就得到常規(guī)(整數(shù)階)PI控制器.圖1所示系統(tǒng)的閉環(huán)擬多項(xiàng)式為

本節(jié)的目的是，對(duì)固定的積分階次λ∈ (0,2)，在kP?kI平面，基于一個(gè)圖解穩(wěn)定性準(zhǔn)則，確定參數(shù)穩(wěn)定域.為此，令s=jω，代入式(4)，得

即虛軸上存在根.由隱函數(shù)存在定理可知，如果雅可比(Jacobi)矩陣

非奇異，則由式(6)和(7)可解得局部唯一連續(xù)解曲線(kP(ω) ,kI(ω) ).進(jìn)一步，有如下命題：

命題1[13]在 kP?kI參數(shù)平面上，沿ω增加的方向，當(dāng)detJ＜0時(shí)，參數(shù)曲線 (kP(ω),kI(ω) )右側(cè)為穩(wěn)定的參數(shù)區(qū)域；而當(dāng)detJ＞0時(shí)，左側(cè)為穩(wěn)定的參數(shù)區(qū)域.其中J為式(9)定義的雅可比矩陣.

由式(6)、式(7)和式(9)可以得到

另一方面，以λ和ω為參變量，解方程組(8)得

由于特征方程(5)和時(shí)滯因子L均為實(shí)數(shù)，如果jω是式(5)的根，則其復(fù)共軛也是式(5)的根，所以只需考慮ω∈ [0,+ ∞ )，對(duì)應(yīng)于兩種情況：ω=0和ω∈ (0,+ ∞ ).當(dāng)ω=0時(shí)，令 D?(0)= 0，得臨界穩(wěn)定邊界線

而當(dāng)ω∈ (0,+ ∞ )時(shí)，式(11)和式(12)在 kP?kI平面給出臨界穩(wěn)定邊界線的另外一部分，根據(jù)命題 1，可以確定該曲線的哪一側(cè)為穩(wěn)定的參數(shù)區(qū)域.

3 穩(wěn)定裕度設(shè)計(jì)

有了參數(shù)穩(wěn)定域，就可以在穩(wěn)定域內(nèi)進(jìn)行相角裕度(PM)和幅值裕度(GM)的設(shè)計(jì).由于相角裕度直接與動(dòng)態(tài)響應(yīng)的超調(diào)量相關(guān)，這里只討論 PM 的設(shè)計(jì).設(shè)期望的PM為mφ，由PM的定義，開環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)滿足式(14).

其中，cω為截止頻率.為了獲得滿意的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，mφ應(yīng)介于30°～60°.根據(jù)式(14)可以定義如下函數(shù)：

比較式(5)和式(16)，可以看出兩式的唯一差別僅在于式(16)多一個(gè)因子φm.因此，對(duì)給定的PM=φm，上節(jié)關(guān)于確定參數(shù)穩(wěn)定域的方法完全可以擴(kuò)展到PM的情形.類似于式(11)和式(12)的推導(dǎo)，有

對(duì)固定的積分階次λ，式(17)和式(18)在 kP?kI平面上的穩(wěn)定域內(nèi)確定一條滿足給定的PM的曲線.

根據(jù)上面的討論，可以提出如下分?jǐn)?shù)階 PIλ控制器的設(shè)計(jì)算法.

算法1 給定相角裕度，設(shè)計(jì)PIλ控制.

(1)選取λ∈ (0,2)，并取足夠大的ω，由式(11)和式(12)，在 kP?kI平面上繪制臨界穩(wěn)定參數(shù)曲線(kP(ω) ,kI(ω) ).根據(jù)式(10)中detJ的符號(hào)，由命題 1可判斷參數(shù)曲線的右側(cè)為穩(wěn)定域，并結(jié)合式(13)得到封閉的參數(shù)穩(wěn)定域.

(2)給定期望的相角裕度φm，由式(17)和(18)，在穩(wěn)定域內(nèi)繪制相角裕度曲線.根據(jù)命題 1可判斷，該曲線的右側(cè)為相角裕度大于φm的參數(shù)區(qū)域.

(3)沿相角裕度曲線，根據(jù)期望閉環(huán)系統(tǒng)帶寬的要求選擇截止頻率ωc，并計(jì)算出(kP(ωc),kI(ωc)).對(duì)于幅值裕度，相對(duì)穩(wěn)定裕度的情形可類似討論.

4 仿真與實(shí)驗(yàn)

對(duì)所建立的單容水箱模型(2)，應(yīng)用算法 1進(jìn)行分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的設(shè)計(jì)，并做Matlab仿真與實(shí)際液位控制實(shí)驗(yàn).

4.1 確定參數(shù)穩(wěn)定域

對(duì)單容水箱模型(2)，應(yīng)用公式(11)和(12)，在kP?kI平面上，選取不同的分?jǐn)?shù)階次λ∈ (0,2)，繪制PIλ控制器的參數(shù)穩(wěn)定域，如圖2所示.圖中箭頭為ω增加方向.隨λ的減小，參數(shù)穩(wěn)定域變大，為系統(tǒng)性能設(shè)計(jì)提供了更大的空間.

圖2 不同的λ對(duì)應(yīng)的參數(shù)穩(wěn)定域Fig.2 Stability regions for differentλ

本文僅從分?jǐn)?shù)階 PIλ控制器能有效改善階躍響應(yīng)的瞬態(tài)性能的角度，討論了 PIλ的設(shè)計(jì)問題.λ取0.9，超調(diào)量明顯減小.λ再小，超調(diào)量會(huì)更小.但實(shí)際上，分?jǐn)?shù)階 PIλ控制器的另一個(gè)特點(diǎn)是能顯著改善系統(tǒng)對(duì)被控對(duì)象增益變化的魯棒性[9–10].從改善魯棒性的角度出發(fā)，積分階次λ應(yīng)相對(duì)大一些.這樣，動(dòng)態(tài)響應(yīng)與魯棒性之間是相互矛盾的，應(yīng)折衷考慮.所以，仿真與實(shí)驗(yàn)中，沒有選取過小的λ，而是取λ＝0.9.

4.2 繪制相角裕度曲線

取λ=0.9和λ=1(整數(shù)階 PI控制器)，給定期望的相角裕度mφ=45°.由式(17)和式(18)，在參數(shù)穩(wěn)定域內(nèi)繪制相角裕度曲線，如圖3所示.

圖3 λ=0.9和λ=1的相角裕度曲線Fig.3 Phase margins for λ=0.9 and λ=1

4.3 選擇截止頻率

根據(jù)閉環(huán)帶寬要求選取截止頻率ωc，如圖3中A點(diǎn)，其控制器參數(shù)為 kP= 0.84,kI= 0.0088.由于A點(diǎn)位于λ=0.9時(shí)的相角裕度曲線之內(nèi)，對(duì)于λ=0.9的分?jǐn)?shù)階 PIλ控制器來說，所達(dá)到的相角裕度大于45°，對(duì)應(yīng)的階躍響應(yīng)的超調(diào)量明顯減小，如圖 4中點(diǎn)劃線所示.

為了比較，圖 3中還給出了利用常規(guī) Ziegler-Nichols整數(shù)階PI控制器整定公式算出的參數(shù)點(diǎn)B，其控制器參數(shù)為 kP= 1.216,kI= 0.0146.相應(yīng)的階躍響應(yīng)曲線如圖 4中實(shí)線所示.取后，利用 MCGS組態(tài)軟件編程，在實(shí)際液位控制實(shí)驗(yàn)裝置上進(jìn)行液位控制實(shí)驗(yàn)，測(cè)得的3種情況下的階躍響應(yīng)曲線如圖5所示，與Matlab仿真結(jié)果基本一致.

圖4 不同參數(shù)下的階躍響應(yīng)曲線Fig.4 Step responses for different parameters

圖5 不同參數(shù)下的實(shí)際液位階躍響應(yīng)曲線Fig.5 Actual level step responses for different parameters

5 結(jié) 語

本文以單容水箱液位控制系統(tǒng)為工程背景，給出了分?jǐn)?shù)階 PIλ控制器設(shè)計(jì)的一種方法.將 Ziegler-Nichols參數(shù)整定方法和本文的 PI和PIλ參數(shù)整定方法進(jìn)行了比較，說明了本文方法的有效性，特別是采用 PIλ控制器能有效改善動(dòng)態(tài)響應(yīng)品質(zhì).仿真和實(shí)驗(yàn)都說明，分?jǐn)?shù)階PIλ控制器完全可以取代常規(guī)PI控制器，具有廣闊的應(yīng)用前景.

［1］Podlubny I. Fractional Differential Equations[M]. London，UK：Academic Press，1999.

［2］薛定宇，趙春娜. 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階 PID 控制器設(shè)計(jì)[J]. 控制理論與應(yīng)用，2007，24(5)：771–776.

［3］Lurie B J. Three-parameter tunable tilt-integral-derivative(TID)controller：US，5371670[P]. 1994–12–06.

［4］Oustaloup A，Mathien B，Lanusse P. The CRONE control of resonant plants：Application to a flexible transmission[J]. European Journal of Control，1995，1：113–121.

［5］Podlubny I. Fractional-order systems and PIλDμcontrollers[J]. IEEE Transactions on Automatic Control，1999，44：208–214.

［6］Monje C A，Calderon A J，Vigagre BM，et al. The Fractional order lead compensator[C]// Proceedings of Second IEEE International Conference on Computational Cybernetics. Vienna，Austria：IEEE，2004：347–352.

［7］Hamamci S E. Stabilization using fractional-order PI and PID controller[J]. Nonlinear Dynamic，2008，51：329–343.

［8］Maione G，Lino P. New tuning rules for fractional PIλcontrollers[J]. Nonlinear Dynamics，2007，49：251–257.

［9］Monje C A，Calderon A J，Vinagre B M，et al. On fractional PIλcontrollers：Some tuning rules for robustness to plant uncertainties[J]. Nonlinear Dynamics，2004，38：369–381.

［10］Luo Y，Chen Y Q. Fractional order [Proportional derivative] controller for a class of fractional order systems[J].Automatica，2009，45(10)：2446–2450.

［11］Ziegler J G，Nichols N B. Optimum setting for automatic controllers[J]. Transaction of the ASME，1942，64：759-768

［12］潘永湘，楊延西，趙躍. 過程控制與自動(dòng)化儀表[M]. 2版. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2007.

［13］Diekmann O，van Gils S A，Verduyn Lunel S M. Delay Equations：Fractional-，Complex- and Nonlinear Analysis[M]. New York：Springer-verlag，1995.

Level Control of Single Water Tank Based on Fractional-Order PIλControllers

CAI Guo-juan，WANG De-jin，LIU Zhen-quan
(College of Electronic Information and Automation，Tianjin University of Science & Technology，Tianjin 300222，China)

The application problem of fractional-order PIλcontroller in the level control of single water tank was discussed，and a design method of PIλcontroller was given based on a graphical stability criterion. The parameters stability region of PI controller was first determined，then，the performances of the closed-loop system were considered in the stability region，and a practical design algorithm was proposed also. Via Matlab simulation and the practical control test in the level control of water tank device，the control effects of fractional-order PIλcontrol，the conventional PI control and the Ziegler-Nichols tuning rule was compared. The results show the effectiveness of the design approach proposed and the superiority of fractionalorder PIλcontrol over the conventional PI control.

fractional-order PIλcontroller；level control systems of water tank；graphical stability criterion

TP273

A

1672-6510(2011)04-0057-04

2011–03–29；

2011–04–25

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60874028)

蔡國(guó)娟（1985—），女，吉林白城人，碩士研究生；通信作者：王德進(jìn)，教授，wdejin56@sina.com.