衛(wèi)麗娟

（中北大學(xué) 理學(xué)院，山西 太原 030051）

求解一類高階奇攝動線性邊值問題

衛(wèi)麗娟

（中北大學(xué) 理學(xué)院，山西 太原 030051）

文章研究了一類高階奇異攝動線性系統(tǒng)的近似解，通過降階將高階奇異攝動系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成一般的低階變系數(shù)奇異攝動系統(tǒng)，再根據(jù)不同的邊界層引入伸長變量構(gòu)造漸近解，并對其進行分析，得出了相應(yīng)的結(jié)果.

高階奇異攝動；系統(tǒng)降階；邊界層；漸近展開式

0 引言

奇異攝動微分系統(tǒng)是應(yīng)用數(shù)字的一個重要分支，應(yīng)用于動力系統(tǒng)、化學(xué)反應(yīng)、控制理論等各個方面，因此分析和解決奇異攝動問題引起了眾多學(xué)者極大的關(guān)注［1－7］.其中文獻［1］利用零階漸近展開解在再生核空間上分析了三階奇異攝動邊值問題，文獻［2］利用零階漸近解分析和四階奇異攝動邊值問題，而對于高階奇異邊值問題還很少進行研究.本文主要研究了高階奇異攝動系統(tǒng)的近似解.

考慮如下高階線性奇攝動問題

其中，0＜ε?1，m＞n，m，n∈N＋，ai（x）（i＝1，…，n＋1）為充分光滑的連續(xù)函數(shù)，bi（i＝1，…，k－1），bj（j＝1，…，m－k－1），k均為常數(shù).

首先假設(shè)如下條件成立：

（H2）如果ui（x）是式（1）的k個漸近解，那么漸近展開式（2）也是系統(tǒng)（1）的解.

當ε→0時，將（2）式代入（1）式并令ε的同次冪相等，得到

由（3）式容易求得u0的表達式，再將u0的表達式代入（4）式容易求得u1的表達式，依次可以求得u2，u3，…，un的表達式，再代入（2）式可以求得u（x，ε），即系統(tǒng)（1）的解.

1 系統(tǒng)降階

一般的高階奇異攝動問題直接求解是困難的，本文我們引入降階利用變換將高階的求解問題轉(zhuǎn)化為低階的求解問題，從而方便了我們的研究，而低階的問題又有不同的情形，現(xiàn)在進行具體的分析.

我們首先對系統(tǒng)進行降階運算.由于（H1）成立，可以對系統(tǒng)（1）進行變換，具體過程如下：

情形一：當m－n＝1時.

注 當m－n＞2時，降階方法同情形一、二一樣，但具體求解過程有待進一步探討.

2 系統(tǒng)解的分析

情形一：在［0，1］上，對于（9）式中二階奇異攝動系統(tǒng)a1（x）＞0系統(tǒng)（1）的邊界層在左端，當a1（x）＜0邊界層在右端［8］.

為了利用多重尺度法決定（9）式一致有效的首階近似，我們尋找一個關(guān)于u0，n漸近展開式

當x→0時，g（x）→x，將展開式（10），（12）代入系統(tǒng)（9），取ε0和ε－1的系數(shù)為零時，得到

同理可以得到一階及更高階的近似.

當x→1時，g（x）→1－x，將展開式（11）代入系統(tǒng)（9）取ε0和ε－1的系數(shù)為零時，得到

情形二：在［0，1］上對于系統(tǒng)（10）形式時，有兩個邊界x＝0和x＝1.

注 上面分析中得到的是進行n次求導(dǎo)后的近似解，在具體解決過程中要根據(jù)情況對近似解進行積分求得更精確的解，對于m－n＞3的情形有待進行更深入的探討.

3 小結(jié)

本文主要討論了一類高階奇異攝動線性邊值問題的求解方法，首先利用降階將高階轉(zhuǎn)化為低階，再運用多重尺度法對m－n＝1和m－n＝2兩種情況進行具體分析討論，得出相應(yīng)的結(jié)論.

［1］Cui Minggeng.A computational method for solving third－order singularly perturbed boundary－value problems［J］.Applied Mathematics and Computation，2008，198：896-903

［2］Shanthi V，Ramanujam N.Computational methods for reaction-diffusion problems for fourth order ordinary differential equations with a small parameter at the highest derivative［J］.Applied Mathematics and Computation，2004，147：97-113

［3］張小蕾，么煥名.求解一類二階奇異攝動兩點邊值問題［J］.哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，2009，25（6）：17-19

［4］莫嘉琪，韓祥臨.一類奇攝動非線性邊值問題［J］.數(shù)學(xué)研究與評論，2002，22（4）：626-630

［5］周 冉，張艷妮，黃京男.一階常微分方程組的奇異攝動問題［J］.吉林大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版），2009，47（5）：941-944

［6］Valarmathi S，Ramanujam N.An asymptotic numerical method for singularly perturbed third-order ordinary differential equations of convection-diffusion type［J］.Computers and Mathematics with Applications，2002，44：693-710

［7］Du Zengji.Singularly perturbed thire-order boundary value problem for nonlinear systems［J］.Applied Mathematics and Computation.2007，189：869-877

［8］Nafeh A H.Problems in perturbation［M］.New York：John Wiley ＆ Sons，1985

［9］Nafeh A H.Introduction to perturbation techniques［M］.New York：John Wiley Wiley ＆Sons，1981

Solving a Class of High-Order Singularly Perturbed Linear Value Problems

Wei Lijuan
（College of the Sciences，North University，Taiyuan 030051，China）

We discuss the approximate solution of a class of high-order singularly perturbed linear value Problems.First，we translate the high-order singular perturbed systems into general low-order variable coefficient singularly pertubed systems through the reduced order，Then according to the different boundary layer introducing a stretched variable and structuring asymptotic solution，carry on the analysis and obtain the correspondingresult.Finally，we give some examples to validate the correctness of the result.

high-order singularly perturbed；multi-scale method；boundary layer；asymptotic expansion

王映苗】

1672-2027（2011）03-0036-05

O175.14

A

2011-04-17

衛(wèi)麗娟（1985-），女，山西長治人，中北大學(xué)理學(xué)院在讀研究生，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究.