李 慧

（忻州師范學(xué)院 專科部，山西 忻州 034000）

人口發(fā)展系統(tǒng)解的存在唯一性

李 慧

（忻州師范學(xué)院 ?？撇?，山西 忻州 034000）

文章利用算子半群發(fā)展系統(tǒng)知識(shí)證明了死亡率函數(shù)μ（r，t）與時(shí)間t有關(guān)的人口發(fā)展方程解的存在唯一性.

C0半群；人口發(fā)展方程；發(fā)展系統(tǒng)；存在唯一性

人口問(wèn)題已經(jīng)成為社會(huì)問(wèn)題，并且定量人口研究得到了進(jìn)一步的發(fā)展.在以往的研究中，在對(duì)未來(lái)人口進(jìn)行短期預(yù)測(cè)時(shí)，常常假定社會(huì)條件在一段時(shí)間內(nèi)保持相對(duì)穩(wěn)定，此時(shí)死亡率函數(shù)μ（r，t）＝μ（r）與時(shí)間無(wú)關(guān)而只是年齡變化的一元函數(shù)以后各年的死亡率函數(shù)用起始年的死亡率函數(shù)代替.由于這種簡(jiǎn)單處理使得人口發(fā)展方程簡(jiǎn)單易于求解，對(duì)人口短期預(yù)測(cè)具有相當(dāng)?shù)臏?zhǔn)確性.然而人口的存在和發(fā)展是由該社會(huì)生產(chǎn)方式?jīng)Q定的，同時(shí)也受到社會(huì)的政治、軍事、教育、婚姻等制度和自然條件的影響，死亡率函數(shù)應(yīng)與時(shí)間t有關(guān).本文利用算子半群發(fā)展系統(tǒng)理論考慮死亡率函數(shù)μ（r，t）與時(shí)間有關(guān)的人口發(fā)展方程（1）的解的存在唯一性.

其中p（r，t）稱為人口年齡分布密度函數(shù)，μ（r，t）表示t時(shí)刻r歲的死亡率，k（r）為年齡為r歲的女性生育率，h（r）為生育模式，β是平均生育率，rm是人口能活到的最高平均年齡.我們假設(shè)［r1，r2］為生育區(qū)間，k（r）h（r）在［0，rm］是連續(xù)的，對(duì)r∈［r1，r2］，k（r）h（r）＞0，μ（r，t）≥0在區(qū)間［0，rc］是連續(xù)的，rc＜rm；μ（r，t）滿足存在M＞0，使得μ（r，t）＜M且μ′（r，t）對(duì)變量（r，t）∈（0，rc）×［0，T］是連續(xù)的.取狀態(tài)空間為X＝L p（0，rc），這樣方程（1）轉(zhuǎn)化為發(fā)展問(wèn)題：

1 準(zhǔn)備知識(shí)

引理1［1］設(shè)A（t）是X上C0半群的生成元穩(wěn)定族，如果D（A（t））＝D與t無(wú)關(guān)且對(duì)任意v∈D，A（t）v在X上是連續(xù)可微的，則存在唯一發(fā)展系統(tǒng)U（t，s），0≤s≤t≤T滿足

5）對(duì)每個(gè)v∈Y，U（t，s）v是連續(xù)的，其中Y是稠連續(xù)嵌入到X中.

2 主要結(jié)論及證明

［1］Pazy A.Semigroup of linear operators and applications to partial differential equations［M］.New York：Springer-Verlag，1983

［2］于景元，郭寶株，朱廣田.人口分布參數(shù)系統(tǒng)控制理論［M］.武漢：華中理工大學(xué)出版社，1999

［3］Yu Xin.Differentiability of the age-dependent population system based on parity progression ［J］.Applied Mathematics Letters，2006，19：206-214

［4］徐孝成.時(shí)間依賴胎次遞進(jìn)方程解的存在唯一性［J］.延邊大學(xué)學(xué)報(bào)，1997（3）：23-25

［5］Xu Genqi.Eventually norm continuous semigroups on Hilbert space and perturbations［J］.J.Math.Anal.Appl，289，2004，493-504

The Existence and Uniqueness of the Solution of Population Evolution System

Li Hui
（Specialist Colleges of the Ministry of Xinzhou，Xinzhou 034000，China）

We proof the existence and uniqueness of the solution of population evolution System，where the relative mortality rate is dependent on time t，using the knowledge of evolution system.

C0semigroup；population evolution equation；evolution system；the existence and uniqueness

王映苗】

1672-2027（2011）03-0034-02

O177.92

A

2011-03-07

李 慧（1984-），女，山西定襄人，碩士，忻州師范學(xué)院?？撇恐?，主要從事算子半群理論及其應(yīng)用.