杜英芳

（天津師范大學(xué) 生命科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

隨機(jī)變量函數(shù)的一種全序排列及其在教學(xué)評(píng)估中的應(yīng)用

杜英芳

（天津師范大學(xué) 生命科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

首先給出了有界變差函數(shù)相等的一個(gè)充要條件，在此基礎(chǔ)上給出了隨機(jī)變量函數(shù)的一種全序排列集，并利用這種順序在學(xué)生成績(jī)?cè)u(píng)估中給出了一種依據(jù)學(xué)生分?jǐn)?shù)的全序排列.

隨機(jī)變量；有界變差函數(shù)；全序排列集

1 隨機(jī)變量函數(shù)的一種順序

文獻(xiàn)［3］證明了2個(gè)有界隨機(jī)變量具有相同分布的充要條件為其各階原點(diǎn)矩相同，本研究將其推廣為如下定理.

證明 僅證充分性.由f（x）和g（x）的有界性知式（10）中的積分都是存在的.η，ζ都是隨機(jī)變量，設(shè)其分布函數(shù)分別為G（x）和H（x），即

基于定理可以給出隨機(jī)變量的有界可測(cè)函數(shù)全體的一種順序.

2 應(yīng)用

隨機(jī)變量的矩有非常廣泛的實(shí)際應(yīng)用.在對(duì)各種不同的對(duì)象依據(jù)一些量化指標(biāo)比較優(yōu)劣時(shí)，通常是比較這些指標(biāo)的加權(quán)平均值，此即為隨機(jī)變量的一階原點(diǎn)矩.在分析時(shí)有時(shí)候會(huì)用到方差，相應(yīng)為隨機(jī)變量的二階中心矩.而單純用加權(quán)平均值是無(wú)法完全區(qū)分不同對(duì)象的優(yōu)劣的，如天津市2010年高考的理科考生5萬(wàn)余人，可能分值為0～750，利用平均分是不可能完全區(qū)分學(xué)生的優(yōu)劣的，類似的實(shí)際問題還有很多.而利用本研究給出的排序方法，只要對(duì)象之間的指標(biāo)不完全相同，就能比較其優(yōu)劣.該比較方法是合乎一些實(shí)際問題的，如對(duì)高考選拔而言，首先注意的是學(xué)生的綜合素質(zhì)，這一點(diǎn)可由學(xué)生的平均分來(lái)反映.在學(xué)生綜合素質(zhì)相同的情況下，希望學(xué)生在某些方面有特長(zhǎng)，這些可以由高階矩來(lái)反映，從而克服了總分相同的學(xué)生無(wú)法比較優(yōu)劣的缺點(diǎn).下面用某學(xué)院學(xué)生12門專業(yè)課程成績(jī)的排序來(lái)說(shuō)明本研究的方法.

首先，該學(xué)院共有12門專業(yè)課，名稱及相應(yīng)的學(xué)分見表1.用隨機(jī)變量ξ表示該院的專業(yè)課程科目，取值為其編號(hào)，相應(yīng)的概率pi為該科目的學(xué)分占總學(xué)分的比例，見表1.

表1 12門專業(yè)課的學(xué)分及其概率Table 1 Credits and probabilities of 12specialized courses

利用常用的加權(quán)平均值，可以得到該院40名學(xué)生的由各科成績(jī)計(jì)算得到的專業(yè)課成績(jī)排名表（表2）.

表2 40名學(xué)生的成績(jī)與排名Table 2 Scores and sort of 40students

從表2可以看出，2號(hào)、4號(hào)和35號(hào)學(xué)生的加權(quán)平均分相同，11號(hào)和27號(hào)學(xué)生的加權(quán)平均分相同，1號(hào)和3號(hào)學(xué)生的加權(quán)平均分相同，這些學(xué)生的成績(jī)單純利用加權(quán)平均分是無(wú)法比較優(yōu)劣的，但利用高階矩和本研究方法可以完全區(qū)分其優(yōu)劣.

設(shè)η＝f（ξ）為某學(xué)生的各科得分，則利用離散型隨機(jī)變量函數(shù)的各階矩的計(jì)算方法可知η＝f（ξ）的k階矩為

利用本研究建立的隨機(jī)變量函數(shù)的序關(guān)系，由式（16）及該院40名學(xué)生的各科成績(jī)可以計(jì)算得出其專業(yè)課成績(jī)排名，見表3.

表3 修正后的學(xué)生成績(jī)排名Table 3 Modified sort of scores

由此例可以看出，本研究對(duì)隨機(jī)變量函數(shù)的排序方法具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

［1］ 周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)［M］.北京：北京大學(xué)出版社，1995.

［2］ 謝庭藩，周頌平.實(shí)函數(shù)逼近論［M］.杭州：浙江大學(xué)出版社，1998.

［3］ 許貴橋，馮黎波，翟建仁.隨機(jī)變量相等的一個(gè)充要條件［J］.工科數(shù)學(xué)，1997，13（3）：92－93.

A totally ordered set on functions of random variable and its application in teaching estimation

DUYingfang
（College of Life Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

A necessary and sufficient condition for the equality of the bounded variation function is obtained，and a totally ordered set on the functions of random variable is given.By using the results a totally ordered set which depends on scores of students in teaching estimation is given.

random variable；bounded variation function；totallyordered set

O211.5

A

1671－1114（2011）02－0091－03

2010－03－19

杜英芳（1965—），女，助理研究員，主要從事概率統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用方面的研究.

（責(zé)任編校 馬新光）