摘要:本文根據(jù)微分方程和矩陣代數(shù)的有關(guān)理論，給出了關(guān)于一階線性方程組x′=A(t)x解的伏朗斯基行列式的結(jié)論。

關(guān)鍵詞:伏朗斯基行列式 向量函數(shù) 線性微分方程組

1 預(yù)備知識

在實際問題中，我們將會看到稍微復(fù)雜的物理系統(tǒng)(例如兩個或兩個以上回路電流變化規(guī)律，幾個互相作用的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動等等)的數(shù)學(xué)模型會導(dǎo)出多于一個微分方程的方程組。通過某些簡化的假設(shè)，在相當(dāng)廣泛的問題里，這種方程組可以化為一階線性微分方程組。本文主要給出了一個一階齊線性微分方程組解的伏朗斯基行列式的結(jié)論。為討論問題的方便，引入以下定義。

定義1 對于線性微分方程組

(1)

其中A(t)是區(qū)間a≤x≤b上的已知n×n連續(xù)矩陣，它的元素為 aij(t)，i，j=1，2，…，n。f (t)是區(qū)間a≤x≤b上的已知n維連續(xù)列向量。如果f (t)≠0，則方程組(1)稱為非齊線性的;如果f (t)=0，則方程組的形式為

(2)

(2)稱為齊線性的。

本文主要討論齊線性微分方程組(2)的問題。

定義2 設(shè)有n個定義在區(qū)間a≤x≤b上的向量函數(shù)

由這n個向量函數(shù)構(gòu)成的行列式

稱為這些向量函數(shù)的伏朗斯基行列式。

定理 1

2 一階齊線性微分方程組(2)解的伏朗斯基行列式的結(jié)論

定理2 考慮一階齊線性微分方程組(2)，其中A(t)是區(qū)間a≤x≤b上的已知n×n連續(xù)矩陣，它的元素為aij(t)，i，j=1，2，…，n。

a.如果x1(t)，x2(t)，…xn(t)是方程組(2)的任意n個解，那么他們的伏朗斯基行列式W[x1(t)，x2(t)，…xn(t)]≡W(t)滿足下面的一階線性微分方程

W′=[a11(t)+a22(t)+…+ann(t)]W (6)

b.解上面的一階線性微分方程，有下式

成立。

證明 a.設(shè)

因為根據(jù)定理1

而由已知x1(t)，x2(t)，…xn(t)是方程組(2)的任意n個解，故

所以(8)式等于

根據(jù)行列式的性質(zhì)

即滿足(6)式。

b.將上面的一階線性微分方程(6)變量分離

積分求解得

結(jié)論b.得證

3 總結(jié)

本文結(jié)合微分方程和矩陣代數(shù)的有關(guān)理論，給出的一階齊線性微分方程組(2)解的伏朗斯基行列式具有的兩個結(jié)論，這在線性方程組的解的結(jié)構(gòu)中占有重要地位。

參考文獻(xiàn):

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[4]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等代數(shù).北京:高等教育出版社，2000.

項目資助:陜西理工學(xué)院學(xué)?？蒲匈Y助，編號:SLGQD0724